Résumé de l'exposé
Un résultat classique de Green nous dit que toute n-variété à scal≥n(n-1) a son rayon d'injectivité majoré par π et que l'égalité est atteinte uniquement par la sphère. On montrera comment des avancés récentes initiées par Gromov permettent dans certains cas de renforcer cette majoration sous certaines contraintes topologiques excluant la sphère. Par exemple en dimension 3 on montrera qu’une variété ouverte à scal≥6 a un rayon d’injectivité inférieur à 2π/3. Si le temps le permet, on montrera aussi comment ces inégalités se généralisent pour des conditions spectrales de positivités sur la courbure scalaire.