Séminaire de géométrie

Une métrique conique kählérienne à courbure scalaire constante est un point critique de la fonctionnelle d'Einstein--Hilbert. Celle-ci est l'analogue en géométrie complexe d'une fonctionnelle qu'Einstein lui-même a utilisée pour déduire l'équation portant son nom. Il se trouve que cette fonctionnelle ne dépend que des générateurs des champs de vecteurs hamiltoniens des métriques kählériennes coniques. Dans le cas où l'apex du cône est une singularité Q-Gorenstein, la fonctionnelle normalisée admet un unique point critique qui engendre le champ de vecteur d'une métrique de Calabi--Yau. Des exemples explicites semblent favoriser la conjecture que ces points critiques sont en nombre fini dans le cas général. Dans mon exposé, je présenterai des avancées récentes sur ce problème. Il s'agit d'un travail en commun avec Eveline Legendre.

Les applications harmoniques jouent un rôle central dans la théorie de Teichmüller. Dans cet exposé, nous présenterons des résultats récents caractérisant les homéomorphismes de Weil-Petersson en termes de leurs extensions harmoniques. Plus précisément, nous montrerons que la différentielle de Beltrami associée à l’extension harmonique est de carré intégrable et établirons une propriété de minimisation de l'énergie antiholomorphe de cette extension. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Vladimir Marković et Abderrahim Mesbah.

Dans cet exposé, on introduira par des exemples de nouvelles structures géométriques sur le tore, appelées tores de-Sitter singuliers, qui peuvent être vus comme des analogues Lorentziens aux surfaces hyperboliques. On s'intéressera au problème d'uniformisation des surfaces Lorentziennes par des tores de-Sitter singuliers, ce que l'on interprétera comme une question de rigidité différentiable de certains feuilletages du tore. Si le temps le permet, on abordera également la description des tores de-Sitter singuliers par les longueurs de leurs géodésiques fermées de type temps.

A translation surface is a compact Riemann surface equipped with a nonzero holomorphic one-form. Such a one-form determines a flat metric with conical singularities. This metric has distinguished geodesic segments joining singularities, called saddle connections. For fixed cone angles, unit-area translation surfaces form moduli spaces carrying finite measures, allowing one to study the statistics of saddle connections on a random translation surface. In particular, gap distributions between consecutive saddle connection directions have been studied. In this talk, I will explain how these gaps can be studied from the viewpoint of point processes, leading to limiting joint gap distributions and regularity results. I will then focus on the large-genus behavior of these gap distributions. The proofs combine probabilistic tools from point process theory with dynamics on moduli spaces of translation surfaces. This is joint work with Anthony Sanchez.