Séminaire de géométrie

Une question centrale en géométrie kählérienne est celle de l’existence de métriques canoniques. Dans les années 1980, Calabi propose de rechercher des métriques extrémales. Du point de vue analytique, celles-ci sont des solutions d’une EDP non linéaire d’ordre quatre, et sont donc particulièrement difficiles à résoudre.

Dans cet exposé, nous aborderons l’existence de métriques extrémales sur les fibrés projectifs au-dessus d’une courbe à partir d’un point de vue « torique symplectique », inspiré des travaux de Donaldson. Nous verrons alors que l’existence d’une métrique extrémale sur un fibré projectif au-dessus d’une courbe peut être caractérisée par une condition de stabilité portant sur un certain polytope moment. Nous illustrerons cette condition à travers des classes d’exemples pour lesquelles elle peut être vérifiée, obtenant ainsi de nouvelles variétés « rêve de Calabi », c’est-à-dire admettant une métrique extrémale dans chaque classe de Kähler.

Cet exposé s’appuie en partie sur un travail en collaboration avec C. Yin.

Dans cet exposé, on introduira par des exemples de nouvelles structures géométriques sur le tore, appelées tores de-Sitter singuliers, qui peuvent être vus comme des analogues Lorentziens aux surfaces hyperboliques. On s'intéressera au problème d'uniformisation des surfaces Lorentziennes par des tores de-Sitter singuliers, ce que l'on interprétera comme une question de rigidité différentiable de certains feuilletages du tore. Si le temps le permet, on abordera également la description des tores de-Sitter singuliers par les longueurs de leurs géodésiques fermées de type temps.