Séminaire de géométrie

Let (M,g) be a closed negatively curved manifold. We introduce a new invariant, the Marked Poincaré determinant (MPD) which associates to each free homotopy class of closed curves in M a number which measures the unstable volume expansion of the geodesic flow along the associated closed geodesic. This invariant can be seen as a weighted version (by a function called the unstable Jacobian) of a well-known invariant of (M,g): the marked length spectrum. We prove a local MPD rigidity result in dimension 3: if g is sufficiently close to a hyperbolic metric g0 and both metrics have the same MPD, then they are homothetic (i.e. isometric up to rescalling).The proof relies on a geometric fact of independent interest, namely, we show the Lichnerowicz Laplacian of g0 is injective on the space of trace-free divergence-free symmetric 2-tensors, which, to our knowledge, is the first result of its kind in negative curvature.

This is joint work with Karen Butt, Alena Erchenko, Thibault Lefeuvre and Amie Wilkinson.

Dans cet exposé, je discuterai la preuve du résultat suivant, obtenu en collaboration avec Lahdili et Legendre : si X est une variété de Fano lisse qui porte un soliton de Kähler-Ricci, alors le cône canonique du produit de X avec l'espace projectif complexe de dimension suffisamment grande admet une métrique conique de Calabi-Yau. Cela peut être considéré comme une version asymptotique d'une conjecture de Mabuchi et Nikagawa. Le résultat est obtenu en utilisant l'ouverture (au sens C^0) de l'ensemble des fonctions de poids positifs v(x) définies sur un certain polytope associé à une variété de Fano lisse, pour laquelle existe un « v-soliton ». Si le temps le permet, je discuterai d'autres ramifications de cette approche.

Certaines EDP géométriques comme l'équation hermitienne de Yang-Mills admettent une interprétation en terme d'application moment, ce qui permet (entre autres) de les étudier d'un point de vue perturbatif. L'idée est la suivante : on part d'une solution connue de cette équation et on en perturbe les paramètres, sous quelles conditions existe-t-il toujours une solution ? Lorsqu'elle existe, comment évolue-t-elle en fonction des paramètres modifiés ? Cet exposé présentera les résultats d'existence et de continuité obtenus ainsi qu'une idée des méthodes utilisées.

Let $(M,g,X)$ be a complete gradient Kähler–Ricci expander with quadratic curvature decay (including all derivatives). Its geometry at infinity is modeled by a unique asymptotic cone, which takes the form of a Kähler cone $(C0,g0)$. In this talk, we will show that if there exists a solution to the Kähler–Ricci flow on $M$ that desingularizes this cone, then it necessarily coincides with the self-similar solution determined by the soliton metric $g$. Furthermore, if one perturbs the soliton metric in a suitable manner, the resulting initial data generates an immortal solution to the Kähler–Ricci flow which, after appropriate rescaling, converges to an asymptotically conical gradient Kähler–Ricci expander.