Séminaire de géométrie (archives)

Nous définissons le crochet de Schouten–Nijenhuis sur l’algèbre des différentielles de Kähler et étudions sa structure algébrique. En nous appuyant sur la propriété universelle des dérivations, nous construisons un cadre permettant de décrire les variétés de Poisson. Dans ce contexte, nous établissons l’équivalence entre une structure d’algèbre de Lie–Rinehart et une structure de Poisson, ce qui nous permet de retrouver la notion classique de variété de Poisson introduite par Lichnerowicz. Par ailleurs, nous montrons qu’une structure d’algèbre de Lie–Rinehart symplectique induit une structure de Poisson non dégénérée, et réciproquement, qu’une structure de Poisson non dégénérée donne lieu à une algèbre de Lie–Rinehart symplectique.

L'exposé portera sur des travaux en collaboration avec Simon Jubert, sur les invariants beta et delta analytique à poids. Il s'agit pour delta de la meilleure constante de coercivité pour l'entropie pondérée, dans le cadre de l'approche variationnelle à l'existence de métriques à courbure scalaire pondérée constante. Pour beta, il s'agit de la plus grande borne inférieure sur la courbure de Ricci pondérée. Je présenterai le lien entre les deux ainsi que des applications à l'existence de métriques Kählériennes canoniques via une version "réduite" de l'invariant delta analytique à poids.

L’espace pseudo-hyperbolique H2,n est l’analogue pseudo- Riemannien de l’espace hyperbolique. Dans cet exposé, j’expliquerai comment résoudre le problème de Plateau asymptotique dans cet espace : étant donné un cercle topologique dans le bord à l’infini de H2,n, nous construisons une unique surface maximale complète qui s’appuie sur ce cercle. Cette construction repose sur la théorie des courbes pseudo-holomorphes développée par Gromov. Il s’agit d’un travail en commun avec François Labourie et Mike Wolf.

One of the most studied problems in Differential Geometry is the existence of Riemannian metrics with constant scalar curvature. In the 1980s, the celebrated solution of the Yamabe problem by Trudinger, Aubin, and Schoen established that on a closed manifold one can always find a constant scalar curvature metric, in each conformal class of Riemannian metrics. In the context of Kähler geometry however the problem is still largely open. In this talk, I will present some progress in an ongoing project with Abdellah Lahdili (Université du Québec à Montréal) and Eveline Legendre (Université Lyon 1), in which we propose an approach to the existence of constant scalar curvature Kähler metrics that uses tools that first appeared in the solution of the CR-Yamabe problem, most notably a version of the Einstein-Hilbert functional. Time permitting, I will explain how our methods can be used to recover a well-know algebraic obstruction to the existence of constant scalar curvature Kähler metrics.

En recollant les côtés opposés d'un carré on obtient un tore muni d'une métrique plate héritée de la métrique euclidienne du plan. De la même façon, on peut créer des surfaces de genre plus grand en recollant des côtés parallèles de plusieurs carrés. Ces "surfaces à petits carreaux" sont naturellement munies d'une métrique plate à singularités coniques. Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents et des conjectures sur la géométrie de ces surfaces (et de familles plus générales de surfaces plates) en grand genre (travail en collaboration avec V. Delecroix, P.Zograf and A. Zorich). J'expliquerai également comment on peut interpréter ces résultats en terme de courbes fermées sur les surfaces, et en termes de méandres.

Les représentations irréductibles du groupe unitaire admettent une base canonique, qui a été implicitement introduite par Gelfand et Zetlin pour donner une construction de ces représentations à travers des formules explicites pour ses éléments de matrices. Dans cet exposé, nous expliquerons comment calculer leurs asymptotiques lorsque le plus haut poids poids de la représentation tend vers l'infini. Il s'agit d'une illustration de la méthode des orbites, où une représentation irréductible est interprétée comme la quantification géométrique d'une orbite coadjointe du groupe unitaire, considérée comme un espace des phases en mécanique classique. Cela utilise des outils de quantification de Berezin-Toeplitz, ainsi qu'une construction due à Guillemin et Sternberg d'un système intégrable naturel sur cette orbite coadjointe, appelé système de Gelfand-Zetlin.

Nous établissons une classification partielle des variétés riemanniennes complètes portant une fonction non triviale satisfaisant une équation de type Obata que nous préciserons. Travaux en commun avec Ines Kath, Université de Greifswald, et Georges Habib, Université Libanaise.

Référence : https://hal.science/hal-04035302v1

La systole d'une surface hyperbolique est la longueur de la géodésique fermée la plus courte sur la surface. Déterminer la systole maximale possible d'une surface hyperbolique d'une topologie donnée est une question classique en géométrie hyperbolique. Je vais parler d'un travail commun avec Mingkun Liu sur la question de ce que les constructions aléatoires peuvent apporter à ce problème d'optimisation.

Nous montrons qu'un domaine pseudoconvexe bidimensionnel de type fini avec une métrique de Bergman Kähler-Einstein est biholomorphe à la boule unité. Cela répond à une vieille question de Yau pour de tels domaines. La preuve repose sur l'asymptotique des dérivées du noyau de Bergman le long de chemins tangents critiques s'approchant de la frontière, où l'ordre de tangence est égal au type du point frontière approché. Travail en collaboration avec M. Xiao.

Les connexions hermitiennes de Yang-Mills (HYM) apparaissent en théorie de jauge comme solutions d'un problème de minimisation de courbure pour une métrique hermitienne sur un fibré vectoriel holomorphe donné. La célèbre correspondance de Kobayashi-Hitchin relate leur existence à une notion de "stabilité" en géométrie algébrique. Malgré cela, il reste difficile en général de déterminer si un fibré donné admet une telle connexion. Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle construction de connexions HYM, via des "pullbacks" le long d'éclatements entre variétés de Kähler. Ceci est basé sur des travaux en collaborations avec A. Clarke, et L. Sektnan.