Séminaire de géométrie (archives)

Une structure de produit conforme sur une variété riemannienne $(M,g)$ est une connexion de Weyl (c'est-à-dire une connexion sans torsion qui préserve la classe conforme de la métrique $g$) à holonomie réductible. Nous classifions ces structures dans le cas où $M$ est compacte et $g$ est compatible avec une structure kählerienne. C'est un travail en collaboration avec Mihaela Pilca (Regensburg).

Après une introduction historique, j'expliquerai comment tirer une surface hyperbolique aléatoire de genre g. On se penchera ensuite sur le spectre des longueurs. Plus précisément, on regardera les géodésiques fermées courtes sur une surface hyperbolique aléatoire de genre g. Il se trouve que, lorsque g est grand, les longueurs de ces géodésiques se distribuent exactement de la même manière que les longueurs des cycles courts dans un graphe (en rubans) aléatoire de très grande taille. Il s'agit d'un travail en commun avec Simon Barazer et Alessandro Giacchetto.

En relativité générale, l’univers est modélisé par une variété lorentzienne de dimension quatre satisfaisant les équations d’Einstein. Un résultat fondamental de Choquet-Bruhat et Geroch (1969) établit l’existence et l’unicité d’un développement maximal associé à une donnée initiale. Ces solutions relèvent du cadre des espaces-temps globalement hyperboliques, lesquels sont naturellement munis d’une relation d’ordre partiel, conduisant à la notion d’extension maximale.

Dans cet exposé, je m’intéresserai à ces questions dans le contexte des espaces-temps globalement hyperboliques conformément plats. En 2013, C. Rossi a démontré l’existence et l’unicité d’une extension maximale dans ce cadre. Toutefois, sa preuve ne fournit pas de description explicite de cette extension.

Je présenterai une approche alternative et constructive, fondée sur la notion d’espace enveloppant, au sein duquel l’extension maximale se réalise de manière explicite. J’illustrerai cette construction par plusieurs exemples.

Let $(M,g,X)$ be a complete gradient Kähler–Ricci expander with quadratic curvature decay (including all derivatives). Its geometry at infinity is modeled by a unique asymptotic cone, which takes the form of a Kähler cone $(C0,g0)$. In this talk, we will show that if there exists a solution to the Kähler–Ricci flow on $M$ that desingularizes this cone, then it necessarily coincides with the self-similar solution determined by the soliton metric $g$. Furthermore, if one perturbs the soliton metric in a suitable manner, the resulting initial data generates an immortal solution to the Kähler–Ricci flow which, after appropriate rescaling, converges to an asymptotically conical gradient Kähler–Ricci expander.

Étant donnée une variété hyperbolique, le spectre de son Laplacien contient de nombreuses informations sur sa structure géométrique. Une question naturelle consiste à étudier son comportement lorsque la complexité de la variété augmente. Une manière d’aborder ce problème est d’utiliser des constructions aléatoires. Dans cet exposé, je présenterai un travail en collaboration avec Will Hide, Bram Petri et Joe Thomas, portant sur le comportement du trou spectral — la première valeur propre non nulle — pour un modèle de 3-variétés hyperboliques aléatoires.

Dans cet exposé, j'expliquerai comment étudier les déformations de surfaces hyperboliques de type fini à bord en utilisant un objet combinatoire appelé le complexe des arcs. Il s'agit d'un complexe simplicial à cliques pur, construit en utilisant les classes d'isotopie des arcs sur la surface. Cette approche a été proposée par Danciger-Guéritaud-Kassel dans « Margulis spacetimes via the arc complex » où ils effectuent des déformations en bandelettes d'une surface convexe cocompacte, le long d'une famille maximale d'arcs disjoints afin d'obtenir des déformations « admissibles » qui allongent uniformément toute géodésique sur la surface.

Nous généralisons ce résultat aux surfaces hyperboliques couronnées dont les pointes sont partiellement décorées par des horoboules. Le but de l'exposé est d'illustrer comment la topologie du complexe d'arcs permet de mieux comprendre les déformations admissibles. Dans la première partie, je me concentrerai sur les surfaces dites petites, dont le complexe d'arcs est fini. Dans la seconde partie, je parlerai des surfaces générales et discuterai de la façon dont on peut obtenir une paramétrisation des espaces-temps de Margulis partiellement décorés.

Based on joint work with Davide Macera and Joe Thomas. The first non-zero eigenvalue, or spectral gap, of the Laplacian on a closed hyperbolic surface encodes important geometric and dynamical information about the surface. We study the size of the spectral gap for random large genus hyperbolic surfaces sampled according to the Weil-Petersson probability measure. We show that there is a c>0 such that a random surface of genus g has spectral gap at least 1/4-O(g^-c) with high probability. Our approach adapts the polynomial method for the strong convergence of random matrices, introduced by Chen, Garza-Vargas, Tropp and van Handel, and its generalization to the strong convergence of surface groups by Magee, Puder and van Handel, to the Laplacian on Weil-Petersson random hyperbolic surfaces.

Certaines EDP géométriques comme l'équation hermitienne de Yang-Mills admettent une interprétation en terme d'application moment, ce qui permet (entre autres) de les étudier d'un point de vue perturbatif. L'idée est la suivante : on part d'une solution connue de cette équation et on en perturbe les paramètres, sous quelles conditions existe-t-il toujours une solution ? Lorsqu'elle existe, comment évolue-t-elle en fonction des paramètres modifiés ? Cet exposé présentera les résultats d'existence et de continuité obtenus ainsi qu'une idée des méthodes utilisées.

Dans cet exposé, je discuterai la preuve du résultat suivant, obtenu en collaboration avec Lahdili et Legendre : si X est une variété de Fano lisse qui porte un soliton de Kähler-Ricci, alors le cône canonique du produit de X avec l'espace projectif complexe de dimension suffisamment grande admet une métrique conique de Calabi-Yau. Cela peut être considéré comme une version asymptotique d'une conjecture de Mabuchi et Nikagawa. Le résultat est obtenu en utilisant l'ouverture (au sens C^0) de l'ensemble des fonctions de poids positifs v(x) définies sur un certain polytope associé à une variété de Fano lisse, pour laquelle existe un « v-soliton ». Si le temps le permet, je discuterai d'autres ramifications de cette approche.

Let (M,g) be a closed negatively curved manifold. We introduce a new invariant, the Marked Poincaré determinant (MPD) which associates to each free homotopy class of closed curves in M a number which measures the unstable volume expansion of the geodesic flow along the associated closed geodesic. This invariant can be seen as a weighted version (by a function called the unstable Jacobian) of a well-known invariant of (M,g): the marked length spectrum. We prove a local MPD rigidity result in dimension 3: if g is sufficiently close to a hyperbolic metric g0 and both metrics have the same MPD, then they are homothetic (i.e. isometric up to rescalling).The proof relies on a geometric fact of independent interest, namely, we show the Lichnerowicz Laplacian of g0 is injective on the space of trace-free divergence-free symmetric 2-tensors, which, to our knowledge, is the first result of its kind in negative curvature.

This is joint work with Karen Butt, Alena Erchenko, Thibault Lefeuvre and Amie Wilkinson.