Séminaire de géométrie (archives)

L’espace pseudo-hyperbolique H2,n est l’analogue pseudo- Riemannien de l’espace hyperbolique. Dans cet exposé, j’expliquerai comment résoudre le problème de Plateau asymptotique dans cet espace : étant donné un cercle topologique dans le bord à l’infini de H2,n, nous construisons une unique surface maximale complète qui s’appuie sur ce cercle. Cette construction repose sur la théorie des courbes pseudo-holomorphes développée par Gromov. Il s’agit d’un travail en commun avec François Labourie et Mike Wolf.

One of the most studied problems in Differential Geometry is the existence of Riemannian metrics with constant scalar curvature. In the 1980s, the celebrated solution of the Yamabe problem by Trudinger, Aubin, and Schoen established that on a closed manifold one can always find a constant scalar curvature metric, in each conformal class of Riemannian metrics. In the context of Kähler geometry however the problem is still largely open. In this talk, I will present some progress in an ongoing project with Abdellah Lahdili (Université du Québec à Montréal) and Eveline Legendre (Université Lyon 1), in which we propose an approach to the existence of constant scalar curvature Kähler metrics that uses tools that first appeared in the solution of the CR-Yamabe problem, most notably a version of the Einstein-Hilbert functional. Time permitting, I will explain how our methods can be used to recover a well-know algebraic obstruction to the existence of constant scalar curvature Kähler metrics.

En recollant les côtés opposés d'un carré on obtient un tore muni d'une métrique plate héritée de la métrique euclidienne du plan. De la même façon, on peut créer des surfaces de genre plus grand en recollant des côtés parallèles de plusieurs carrés. Ces "surfaces à petits carreaux" sont naturellement munies d'une métrique plate à singularités coniques. Dans cet exposé, je présenterai des résultats récents et des conjectures sur la géométrie de ces surfaces (et de familles plus générales de surfaces plates) en grand genre (travail en collaboration avec V. Delecroix, P.Zograf and A. Zorich). J'expliquerai également comment on peut interpréter ces résultats en terme de courbes fermées sur les surfaces, et en termes de méandres.

Les représentations irréductibles du groupe unitaire admettent une base canonique, qui a été implicitement introduite par Gelfand et Zetlin pour donner une construction de ces représentations à travers des formules explicites pour ses éléments de matrices. Dans cet exposé, nous expliquerons comment calculer leurs asymptotiques lorsque le plus haut poids poids de la représentation tend vers l'infini. Il s'agit d'une illustration de la méthode des orbites, où une représentation irréductible est interprétée comme la quantification géométrique d'une orbite coadjointe du groupe unitaire, considérée comme un espace des phases en mécanique classique. Cela utilise des outils de quantification de Berezin-Toeplitz, ainsi qu'une construction due à Guillemin et Sternberg d'un système intégrable naturel sur cette orbite coadjointe, appelé système de Gelfand-Zetlin.

Nous établissons une classification partielle des variétés riemanniennes complètes portant une fonction non triviale satisfaisant une équation de type Obata que nous préciserons. Travaux en commun avec Ines Kath, Université de Greifswald, et Georges Habib, Université Libanaise.

Référence : https://hal.science/hal-04035302v1

La systole d'une surface hyperbolique est la longueur de la géodésique fermée la plus courte sur la surface. Déterminer la systole maximale possible d'une surface hyperbolique d'une topologie donnée est une question classique en géométrie hyperbolique. Je vais parler d'un travail commun avec Mingkun Liu sur la question de ce que les constructions aléatoires peuvent apporter à ce problème d'optimisation.

Nous montrons qu'un domaine pseudoconvexe bidimensionnel de type fini avec une métrique de Bergman Kähler-Einstein est biholomorphe à la boule unité. Cela répond à une vieille question de Yau pour de tels domaines. La preuve repose sur l'asymptotique des dérivées du noyau de Bergman le long de chemins tangents critiques s'approchant de la frontière, où l'ordre de tangence est égal au type du point frontière approché. Travail en collaboration avec M. Xiao.

Les connexions hermitiennes de Yang-Mills (HYM) apparaissent en théorie de jauge comme solutions d'un problème de minimisation de courbure pour une métrique hermitienne sur un fibré vectoriel holomorphe donné. La célèbre correspondance de Kobayashi-Hitchin relate leur existence à une notion de "stabilité" en géométrie algébrique. Malgré cela, il reste difficile en général de déterminer si un fibré donné admet une telle connexion. Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle construction de connexions HYM, via des "pullbacks" le long d'éclatements entre variétés de Kähler. Ceci est basé sur des travaux en collaborations avec A. Clarke, et L. Sektnan.

Les variétés de Vaisman forment une classe spéciale des variétés hermitiennes. Elles sont non-kähleriennes, cependant elles sont munies d'un feuilletage holomorphe transversalement kählerien, et de ce fait héritent des propriétés analogues à celles provenant de la géométrie kählerienne. L'annulation de la première classe de Chern d'une variété de Vaisman se traduit en une condition sur la classe de Bott-Chern. Cette dernière a un signe qui determine un des trois comportements possibles de la variété, concernant l'existence des métriques de Vaisman canoniques, le groupe de biholomorphismes ainsi que leurs petites déformations.

Nous montrons que la première valeur propre du Laplacien admet un maximum parmi les métriques riemanniennes d’aire fixée sur une surface compacte orientable sans bord, quel que soit son genre. La réponse à cette question n’était connue que pour des topologies de genre petit, et restait ouverte depuis les travaux fondateurs de Hersch 1970 (sphère), ou Berger 1973, Nadirashvili 1996 (tores).