Séminaire de géométrie (archives)

Sur une surface fermée à courbure négative, Margulis a explicité la croissance asymptotique du nombre de géodésiques fermées de longueurs bornées, quand la borne tend vers l’infini. Une question naturelle est de savoir si on peut obtenir des résultats similaires pour des géodésiques qui sont sujettes à certaines contraintes, topologiques ou géométriques. Après un état de l’art sur la question, je présenterai des résultats récents sur le comptage de géodésiques fermées pour lesquelles on a prescrit certains nombres d’intersection géométriques avec une famille de courbes simples.

Les structures localement conformément produits se définissent sur les variétés conformes compactes admettant une connexion qui est localement, mais pas globalement, la connexion de Levi-Civita d’une métrique de la classe conforme. Elles sont caractérisées par leur holonomie, qui est réductible mais non triviale. Le relèvement d’une telle connexion au revêtement universel de la variété LCP est alors la connexion de L-C d’une métrique produit, donnant sont nom à la structure. On présentera dans cet exposé les propriétés de ces variétés. On étudiera également certains invariants naturels, en montrant qu’ils peuvent être fixés arbitrairement. On mettra en exergue un lien avec la théorie des corps algébriques de nombres, en expliquant la construction des exemples les plus généraux.

L’intégrale de la courbure moyenne au carré est un invariant conforme des surfaces ré- introduit par Willmore en 1965 dont l’étude eut une influence considérable sur l’analyse géométrique et en particulier sur les surfaces minimales ces dernières années. D’autre part, l’énergie de Loewner introduite par Yilin Wang en 2015 est une énergie invariante conforme des courbes planes, qui est liée aux processus SLE et à la classe de Weil-Petersson apparaissant en théorie de Teichmüller (universelle). Dans cet exposé, après une courte introduction historique, nous parlerons de récents développements liant l’énergie de Willmore et l’énergie de Loewner et ferons mention de nombreux problèmes ouverts. Travail en collaboration avec Yilin Wang (IHÉS)

Le point de départ de l'exposé sera une question à l'interface des probabilités et de la géométrie : "étant donnée une variété riemannienne, existe-t-il une géométrie aléatoire naturelle sur cette variété?". Dans le cas de la dimension deux, on sait donné une réponse assez complète à la question si l'on impose un critère d'invariance conforme dans la définition de "naturelle" grâce à des travaux sur la 'Liouville quantum gravity' par de nombreux auteurs. Je présenterai mes travaux récents avec L. Dello Schiavo, E. Kopfer et K-T. Sturm qui donnent des réponses partielles à la question en dimension paire ≥ 2 sur des variétés compactes ainsi que les nombreuses questions. Je me concentrerai, dans cet exposé, sur les aspects géométriques de ce travail.

Je présente une notion de configuration test et de stabilité (pour la fonctionnelle de Ding) pour des variétés dont le fibré anticanonique est gros, c'est-à-dire quand les sections des puissances de -K_X ont une croissance maximale, mais peuvent avoir des points-base. Pour ce faire, j'utilise le formalisme des espaces de Zariski-Riemann. J'explique ensuite comment cette notion de stabilité est liée à l'existence de métriques Kähler--Einstein singulières. Ces résultats sont basés sur un travail en commun avec Ruadhaí Dervan.

Depuis un résultat d'Hilbert-Effimov, nous savons que nous ne pouvons pas plonger isométriquement le plan hyperbolique dans l'espace euclidien de dimension 3 de manière C^2. En revanche, le théorème de plongement isométrique C^1 de Nash-Kuiper établit l'existence d'une infinité de tels plongements. Dans cet exposé nous verrons la construction explicite d'un plongement isométrique du disque de Poincaré, et nous donnerons des résultats sur le "bord à l'infini" de ce type de plongement. Ce travail a été fait en collaboration avec l'équipe Hévéa.

Une variété Riemannienne analytique réelle, compacte, connexe, de courbure négative et à bord analytique réel strictement convexe est déterminée à isométrie près par son application de diffusion. Dans cet exposé, je discuterai ce résultat, puis j'expliquerai comment le prouver en utilisant le principe du prolongement analytique. Il faut pour cela savoir que certains objets sont analytiques réels, ce qui est obtenu par des méthodes d'analyse microlocal en régularité analytique. Il s'agit d'un travail en commun avec Yannick Guedes Bonthonneau et Colin Guillarmou.

La conjecture de Yau--Tian--Donaldson prédit que l'existence d'une métrique extrémale (au sens de Calabi) dans une classe de Kähler donnée d'une variété kählérienne est équivalente à une certaine notion de stabilité algébro-géométrique de cette classe. Dans cet exposé, nous discuterons d'une résolution de cette conjecture pour une certaine classe de fibrations toriques, appelée fibrations toriques principales semisimples. Après avoir introduit le problème de Calabi pour des variétés kählériennes générales, nous nous concentrerons sur le cas torique. Nous introduisons alors la notion de stabilité pertinente dans notre contexte et nous expliquerons la construction des fibrations principales semisimple toriques. Finalement nous énoncerons notre résultat d'existence principal et nous discuterons des éléments de preuve. En particulier, nous verrons comment réduire le problème de Calabi sur l'espace total de la fibration à un problème à courbure scalaire constante pondérée sur les fibres toriques. (arXiv:2108.12297).