Séminaire de géométrie (archives)

Le point de départ de l'exposé sera une question à l'interface des probabilités et de la géométrie : "étant donnée une variété riemannienne, existe-t-il une géométrie aléatoire naturelle sur cette variété?". Dans le cas de la dimension deux, on sait donné une réponse assez complète à la question si l'on impose un critère d'invariance conforme dans la définition de "naturelle" grâce à des travaux sur la 'Liouville quantum gravity' par de nombreux auteurs. Je présenterai mes travaux récents avec L. Dello Schiavo, E. Kopfer et K-T. Sturm qui donnent des réponses partielles à la question en dimension paire ≥ 2 sur des variétés compactes ainsi que les nombreuses questions. Je me concentrerai, dans cet exposé, sur les aspects géométriques de ce travail.

Je présente une notion de configuration test et de stabilité (pour la fonctionnelle de Ding) pour des variétés dont le fibré anticanonique est gros, c'est-à-dire quand les sections des puissances de -K_X ont une croissance maximale, mais peuvent avoir des points-base. Pour ce faire, j'utilise le formalisme des espaces de Zariski-Riemann. J'explique ensuite comment cette notion de stabilité est liée à l'existence de métriques Kähler--Einstein singulières. Ces résultats sont basés sur un travail en commun avec Ruadhaí Dervan.

Depuis un résultat d'Hilbert-Effimov, nous savons que nous ne pouvons pas plonger isométriquement le plan hyperbolique dans l'espace euclidien de dimension 3 de manière C^2. En revanche, le théorème de plongement isométrique C^1 de Nash-Kuiper établit l'existence d'une infinité de tels plongements. Dans cet exposé nous verrons la construction explicite d'un plongement isométrique du disque de Poincaré, et nous donnerons des résultats sur le "bord à l'infini" de ce type de plongement. Ce travail a été fait en collaboration avec l'équipe Hévéa.

Une variété Riemannienne analytique réelle, compacte, connexe, de courbure négative et à bord analytique réel strictement convexe est déterminée à isométrie près par son application de diffusion. Dans cet exposé, je discuterai ce résultat, puis j'expliquerai comment le prouver en utilisant le principe du prolongement analytique. Il faut pour cela savoir que certains objets sont analytiques réels, ce qui est obtenu par des méthodes d'analyse microlocal en régularité analytique. Il s'agit d'un travail en commun avec Yannick Guedes Bonthonneau et Colin Guillarmou.

La conjecture de Yau--Tian--Donaldson prédit que l'existence d'une métrique extrémale (au sens de Calabi) dans une classe de Kähler donnée d'une variété kählérienne est équivalente à une certaine notion de stabilité algébro-géométrique de cette classe. Dans cet exposé, nous discuterons d'une résolution de cette conjecture pour une certaine classe de fibrations toriques, appelée fibrations toriques principales semisimples. Après avoir introduit le problème de Calabi pour des variétés kählériennes générales, nous nous concentrerons sur le cas torique. Nous introduisons alors la notion de stabilité pertinente dans notre contexte et nous expliquerons la construction des fibrations principales semisimple toriques. Finalement nous énoncerons notre résultat d'existence principal et nous discuterons des éléments de preuve. En particulier, nous verrons comment réduire le problème de Calabi sur l'espace total de la fibration à un problème à courbure scalaire constante pondérée sur les fibres toriques. (arXiv:2108.12297).

On introduit une nouvelle méthode pour établir l’estimation uniforme C^0 des solutions aux équations de Monge-Ampère complexes. Notre approche est basée sur une utilisation raffinée des enveloppes plurisousharmoniques. C’est un travail en collaboration avec Vincent Guedj.

Les variétés de Vaisman sont des variétés complexes admettant des métriques localement conformément kähleriennes dont la forme de Lee est parallèle. La géométrie de ces variétés est en proche relation avec la géométrie kählerienne, car les variétés de Vaisman admettent une foliation transversalement kählerienne naturelle. Cependent ces variétés ne vérifient pas le lemme de dd^c, il est donc intéressant d'étudier leur cohomologie de Bott-Chern, qui devient un invariant raffiné. Dans cet exposé, j'expliquerai comment on peut exprimer cette cohomologie par rapport à la cohomologie basique de la foliation, et en particulier déduire que les nombres de Bott-Chern et les nombres de Dolbeaut se déterminent réciproquement. Je montrerai en même temps que les obstructions numériques au lemme de dd^c peuvent être arbitrairement grosses. Ceci est un travail commun avec Alexandra Otiman.

La croissance asymptotique du nombre de géodésiques fermées sur une surface hyperbolique a été étudiée depuis Huber (1961) et a des applications dans plusieurs sujets en mathématiques. Dans sa thèse, Mirzakhani a démontré que pour une surface hyperbolique orientable d'aire finie, le nombre de géodésiques fermées, simples, de longueur au plus L est équivalent à un monôme en L, dont le degré dépend seulement de la caractéristique d'Euler de la surface. Dans le contexte non-orientable, la situation est très différente. Une des principales différences dans ce cas-là est le comportement de l'action du mapping class group sur l'espace des laminations mesurées. En collaboration avec Erlandsson, Gendulphe et Souto, nous avons caractérisé l'adhérence des orbites pour cette action des laminations mesurées, des laminations mesurées projectives et des points de l'espace de Teichmüller de la surface.

Le recherche de métriques de Kähler canoniques sur les variétés projectives peut être considérée comme une tentative d'extension du théorème d'uniformisation des surfaces de Riemann en toute dimension. Cette recherche a connu d'importants progrès ces dernières années, culminant dans ce qui s'appelle aujourd'hui le programme de Yau-Tian-Donaldson. Dans cet exposé, je vais expliquer le rôle joué par les méthodes de quantification au sein de ce programme, et comment elles peuvent être améliorées par une étude semi-classique du bruit quantique de la quantification de Berezin-Toeplitz. Cet exposé est basé sur un projet en commun avec Leonid Polterovich.