Séminaire de géométrie (archives)

Dans cet exposé, on s’intéresse à une variété kählerienne compacte X admettant une structure de Poisson holomorphe. Sous l’hypothèse de l’existence d’une feuille compacte L à groupe fondamental fini du feuilletage de Poisson associé, on peut montrer qu’a revêtement fini près, X est un produit d’une variété symplectique (en l’occurence le revêtement universel de L) et d’une variété de Poisson. Ce résultat peut être vu comme une version globale du theorème de décomposition de Weinstein. Travail en commun avec Stéphane Druel, Jorge Pereira et Brent Pym.

La notion de stabilité est centrale dans le problème de classification des fibrés holomorphes sur une variété projective donnée. On s'intéresse dans cet exposé au comportement de la stabilité sous pullback par un morphisme entre variétés. Dans le cas d'une immersion générique de grand degré, un théorème de Mehta et Ramanathan stipule que le pullback d'un fibré (semi)stable reste semi(stable). On étudiera alors le cas des submersions, dans deux contextes. Le premier, lisse, via des méthodes de géométrie différentielle et l'étude des connexions Hermite-Yang-Mills (en collaboration avec Lars Martin Sektnan). Le deuxième, singulier et torique, via des méthodes combinatoires et algébriques (en collaboration avec Achim Napame)

This line of studies was initiated by Yasha Eliashberg. The central object of this talk is a piecewise constant Withney symplectic form on a combinatorial manifold. Basic questions are whether such symplectic structures satisfy Darboux and can be used to triangulate smooth symplectic manifolds. Some answers will be provided. This is a joint work with Julie Distexhe.

Étudions la structure asymptotique des bouts des $k$-surfaces de type fini dans $\Bbb{H}^3$. Nous nous en servons pour déduire des propriétés géométriques, non seulement de ces $k$-surfaces, mais aussi de leur espace de modules. Ces résultats sont apparus dans https://arxiv.org/abs/1908.04834.

On a Riemannian manifold $(M, g)$, the $\sigmak$ curvature is the $k$-th elementary symmetric function of the eigenvalues of the Schouten tensor $Ag$. It is known that the prescribing $\sigmak$ curvature equation on a closed manifold without boundary is variational if k=1, 2 or $g$ is locally conformally flat; indeed, this problem can be studied by means of the energy $\int \sigmak(Ag) dvg$. We construct a natural boundary functional which, when added to this energy, yields as its critical points solutions of prescribing $\sigma_k$ curvature equations with general non-vanishing boundary data. Moreover, we prove that the new energy satisfies the Dirichlet principle. If time permits, I will also discuss applications of our methods. This is joint work with Jeffrey Case.

La conjecture de Yau-Tian-Donaldson porte sur l'équivalence entre existence de métriques de Kähler à courbure scalaire constante sur une variété polarisée, et une condition algébro-géométrique de K-stabilité. Elle a été résolue dans le cas des variétés anticanoniquement polarisées par Chen-Donaldson-Sun, et dans le cas des surfaces toriques par Donaldson. Dans les deux cas, une condition plus faible que la K-stabilité attendue suffit, et dans le cas torique, Donaldson traduit la K-stabilité en un problème de géométrie convexe de polytopes. Dans cet exposé, je présenterai des progrès récents sur la conjecture de Yau-Tian-Donaldson pour les variétés sphériques, et en cas particulier, une résolution de cette conjecture dans le cas des variétés polarisées de cohomogénéité un (variétés équipées de l'action d'un groupe de Lie compact avec au moins une orbite hypersurface réelle).

Dans cet exposé, nous explorerons une théorie gravitationnelle au quatrième ordre en considérant l'espace temps comme point critique d'une courbure élastique quadratique, et donc d'ordre 4. Au delà des motivations physiques nous en étudierons la géométrie en introduisant une quantité conservée et en s'appuyant dessus pour montrer des théorèmes de rigidité et de positivité notamment grâce aux liens avec la Q-courbure.

Le flot de Ricci introduit par Hamilton dans les années 80 est une équation parabolique non linéaire sur l'espace des métriques riemanniennes d'une variété lisse fixée. Son invariance sous l'action des difféomorphismes la rend dégénérée, ce qui produit une ambiguïté vis-à-vis des questions d'existence et d'unicité. Dans cet exposé, nous établirons sous certaines hypothèses de courbure un résultat de proximité locale entre deux flots de Ricci ayant pour condition initiale un espace métrique. La vitesse de convergence en temps établie est optimale.

Dans cet exposé, nous allons nous intéresser à l'étude de la stabilité du faisceau tangent logarithmique $T{X}(- \log D)$ associé à une log-paire équivariante $(X, D)$ où $X$ est une variété torique lisse et $D$ un diviseur de Weil réduit à croisements normaux. Nous donnerons une condition nécessaire sur le diviseur $D$ qui assure l'existence des polarisations $L$ sur $X$ tel que le faisceau $T{X}(- \log D)$ soit semi-stable par rapport à $L$.

Un instanton gravitationnel est une vari\'et\'e riemannienne orientée complète $(M, g)$ de dimension 4, dont le tenseur de Ricci est nul et dont la courbure s'annule à l'infini. Les instantons gravitationnels considérés dans cet exposé ont en outre les propriétés suivantes: (1) le comportement à l'infini est de type ALF; (2) le tenseur de Weyl $W^+$ est dégénéré et non-nul, i. e. admet une valeur propre double non-nulle, ce qui implique que $(M, g)$ est conformément kaehlérienne; (3) $(M, g)$ est torique. Exemples connus de tels instantons gravitationnels: les espaces de Kerr riemanniens, incluant les espaces de Schwarzschild riemanniens; les espaces de Kerr-Taub-bolt, introduits par G. W. Gibbons et M. J. Perry en 1980, incluant en outre la métrique Taub-NUT autoduale et la métrique de Taub-bolt; les instantons découverts en 2011 par Yu Chen et Edward Teo. Dans ce travail, nous montrons que les instantons gravitationnels de cette classe sont entièrement déterminés, à changement d'échelle près, par une fonction convexe affine par morceaux, définie sur la droite réelle. Via cette description, nous montrons que les seuls instantons lisses de cette classe sont les exemples cités ci-dessus, mais qu'il existe en revanche une infinité d'exemples non-difféomorphes admettant des métriques à singularités coniques. Travail commun avec Olivier Biquard.