Séminaire de géométrie (archives)

En 1993, Basmajian introduit l'orthospectre : le multi-ensemble des longueurs des orthogéodésiques sur une surface hyperbolique à bord. De plus, nous définissons l'orthospectre simple comme le multi-ensemble des longueurs des orthogéodésiques sans auto-intersections. Masai et McShane étudient la question suivante : "Est ce que l'orthospectre détermine, à isométrie près, une surface hyperbolique ?". Ils donnent une réponse à la question et un résultat de rigidité dans le cas des surfaces avec une seule composante de bord. D'un autre côté, les surfaces hyperboliques vivent dans l'espace de Teichmüller qui est usuellement décrit avec les coordonnées de Fenchel-Nielsen. Dans cet exposé nous verrons comment, pour les surfaces hyperboliques à bord, il est possible d'utiliser les coordonnées de Ushijima et en quoi cela nous sera utile pour étudier la rigidité de l'orthospectre (simple) et étendre le résultat de Masai et McShane.

Une question centrale en géométrie kählérienne est celle de l’existence de métriques canoniques. Dans les années 1980, Calabi propose de rechercher des métriques extrémales. Du point de vue analytique, celles-ci sont des solutions d’une EDP non linéaire d’ordre quatre, et sont donc particulièrement difficiles à résoudre.

Dans cet exposé, nous aborderons l’existence de métriques extrémales sur les fibrés projectifs au-dessus d’une courbe à partir d’un point de vue « torique symplectique », inspiré des travaux de Donaldson. Nous verrons alors que l’existence d’une métrique extrémale sur un fibré projectif au-dessus d’une courbe peut être caractérisée par une condition de stabilité portant sur un certain polytope moment. Nous illustrerons cette condition à travers des classes d’exemples pour lesquelles elle peut être vérifiée, obtenant ainsi de nouvelles variétés « rêve de Calabi », c’est-à-dire admettant une métrique extrémale dans chaque classe de Kähler.

Cet exposé s’appuie en partie sur un travail en collaboration avec C. Yin.

Equipé de la topologie de Chabauty, l'espace des sous-groupes d'un groupe dénombrable G est un fermé du Cantor, muni d'une action par homéomorphismes donnée par la conjugaison. On s'intéresse à la dynamique induite par cette action sur des sous-espaces fermés invariant. Le plus gros sous-espace fermé sans point isolé est un exemple de tel espace, appelé noyau parfait de G. Dans un contexte acylindrique, Hull, Minasyan et Osin ont démontré des propriétés de mélange fort (µ-mélange topologique, un renforcement de la haute transitivité topologique). On met en évidence une situation radicalement différente dans le cas des groupes de Baumslag-Solitar non-unimodulaires. Pour la décomposition du noyau parfait introduite par Carderi, Gaboriau, Le Maître et Stalder (qui ont montré la haute transitivité topologique sur chaque pièce), on montre que l'action par conjugaison n'est µ-mélangeante sur aucune pièce sauf une pour un continuum de mesures µ. Pour les Baumslag-Solitar unimodulaires en revanche, on montre que l'action par conjugaison est µ-mélangeante sur toutes les pièce de la partition.

Une question fondamentale dans l’étude des 3-variétés consiste à comprendre la structure topologique des 3-variétés qui admettent une métrique riemannienne complète à courbure scalaire positive, appelées variétés PSC. Les travaux de Schoen-Yau, Gromov-Lawson et Perelman ont permis de classifier les 3-variétés PSC fermées : ce sont exactement celles qui se décomposent en sommes connexes de variétés sphériques et de produits S^2xS^1. Dans cet exposé, nous présenterons un résultat de décomposition des 3-variétés PSC non compactes : si sa courbure scalaire décroît assez lentement, alors la variété se décompose en une somme connexe (possiblement infinie) de variétés sphériques et S^2xS^1. Ce résultat fait suite à des travaux récents de Gromov et de Wang. Il s'agit d'un travail en collaboration avec F. Balacheff et S. Sabourau.

Un résultat classique de Green nous dit que toute n-variété à scal≥n(n-1) a son rayon d'injectivité majoré par π et que l'égalité est atteinte uniquement par la sphère. On montrera comment des avancés récentes initiées par Gromov permettent dans certains cas de renforcer cette majoration sous certaines contraintes topologiques excluant la sphère. Par exemple en dimension 3 on montrera qu’une variété ouverte à scal≥6 a un rayon d’injectivité inférieur à 2π/3. Si le temps le permet, on montrera aussi comment ces inégalités se généralisent pour des conditions spectrales de positivités sur la courbure scalaire.

En 2022, Delecroix-Goujard-Zograf-Zorich ont produit des estimées, pour les surfaces de grand genre, des fréquences relatives de multi-courbes simples. En particulier, leurs travaux montrent que la fréquence relative des courbes séparantes et non-séparantes tend vers 0 quand le genre grandit : en grand genre les courbes simples sont génériquement non-séparantes. Dans cet exposé on s’intéressera à des questions similaires pour des courbes avec auto-intersections. Comment exprimer leur fréquence ? Comment celle-ci se comporte-t-elle en grand genre ? Que dire des fréquences relatives de deux courbes données ? A quoi ressemble une courbe générique avec auto-intersections ? Ceci est un travail en collaboration avec M.Liu, K. Rafi, et J.Souto.

Une structure de produit conforme sur une variété riemannienne $(M,g)$ est une connexion de Weyl (c'est-à-dire une connexion sans torsion qui préserve la classe conforme de la métrique $g$) à holonomie réductible. Nous classifions ces structures dans le cas où $M$ est compacte et $g$ est compatible avec une structure kählerienne. C'est un travail en collaboration avec Mihaela Pilca (Regensburg).

Après une introduction historique, j'expliquerai comment tirer une surface hyperbolique aléatoire de genre g. On se penchera ensuite sur le spectre des longueurs. Plus précisément, on regardera les géodésiques fermées courtes sur une surface hyperbolique aléatoire de genre g. Il se trouve que, lorsque g est grand, les longueurs de ces géodésiques se distribuent exactement de la même manière que les longueurs des cycles courts dans un graphe (en rubans) aléatoire de très grande taille. Il s'agit d'un travail en commun avec Simon Barazer et Alessandro Giacchetto.

En relativité générale, l’univers est modélisé par une variété lorentzienne de dimension quatre satisfaisant les équations d’Einstein. Un résultat fondamental de Choquet-Bruhat et Geroch (1969) établit l’existence et l’unicité d’un développement maximal associé à une donnée initiale. Ces solutions relèvent du cadre des espaces-temps globalement hyperboliques, lesquels sont naturellement munis d’une relation d’ordre partiel, conduisant à la notion d’extension maximale.

Dans cet exposé, je m’intéresserai à ces questions dans le contexte des espaces-temps globalement hyperboliques conformément plats. En 2013, C. Rossi a démontré l’existence et l’unicité d’une extension maximale dans ce cadre. Toutefois, sa preuve ne fournit pas de description explicite de cette extension.

Je présenterai une approche alternative et constructive, fondée sur la notion d’espace enveloppant, au sein duquel l’extension maximale se réalise de manière explicite. J’illustrerai cette construction par plusieurs exemples.

Let $(M,g,X)$ be a complete gradient Kähler–Ricci expander with quadratic curvature decay (including all derivatives). Its geometry at infinity is modeled by a unique asymptotic cone, which takes the form of a Kähler cone $(C0,g0)$. In this talk, we will show that if there exists a solution to the Kähler–Ricci flow on $M$ that desingularizes this cone, then it necessarily coincides with the self-similar solution determined by the soliton metric $g$. Furthermore, if one perturbs the soliton metric in a suitable manner, the resulting initial data generates an immortal solution to the Kähler–Ricci flow which, after appropriate rescaling, converges to an asymptotically conical gradient Kähler–Ricci expander.