Dans cet exposé, on s'intéressera à des sous-variétés algébriques aléatoires dans la sphère euclidienne de dimension $n$. Ces sous-variétés sont obtenues comme lieu d'annulation de polynômes homogènes aléatoires de degré $d$ en $n+1$ variables, distribués selon une loi dite de Kostlan. On énoncera d'abord deux résultats donnant les asymptotiques de la moyenne et de la variance du volume de ces sous-variétés, lorsque $d\to\infty$. En dimension ambiante $n=1$, l'objet qui nous intéresse est l'ensemble des racines d'un certain polynôme aléatoire sur le cercle. Dans ce cas, on obtient une loi forte des grands nombres et un théorème central limite pour ce nombre de racines, dans la limite des grands degrés. Plus généralement, ces résultats sont valables pour un modèle de sous-variétés algébriques aléatoires dans une variété projective réelle. Cet exposé est basé sur des travaux en commun avec M. Ancona et M. Puchol.
À un flot de type Anosov (par exemple le flot géodésique sur une variété à courbure négative), on peut associer une fonction méromorphe construite à partir des longueurs de ses orbites périodiques et appelée fonction zêta de Ruelle. Dans cet exposé, je rappellerai les propriétés analytiques de ces fonctions zêta ainsi que leur lien avec les résonances de Ruelle. J'expliquerai ensuite de quelle manière le comportement en 0 de ces fonctions zêta encode des informations sur la topologie de la variété (cohomologie de de Rham, torsion de Reidemeister dans le cas acyclique). Il s'agit de travaux en collaboration avec N.V. Dang (Lyon), C. Guillarmou (Orsay) et S. Shen (Jussieu).
By a theorem of Karshon any compact four-dimensional symplectic manifold with a Hamiltonian $S^1$ action has a compatible $S^1$-invariant Kaehler structure. Taking a product of $S^2$ with a non-Kaehler symplectic 4-manifold one immediately constructs a counter-example to such a statement in dimension 6. However, in case one imposes the condition on the action to have only isolated fixed points, such a counter-example was unknown. In a joint work with Nick Lindsay I prove the existence of such a 6-dimensional example with $b_2=2$. This is a minimal such example, since by the work of Tolman and McDuff in the case $b_2=1$ the symplectic 6-manifold has a compatible Kaehler structure.
Dans cet exposé, on présentera une nouvelle approche pour
construire des exemples de fibrés holomorphes munis de métriques
d'Hermite-Einstein. On étudiera à cette fin la descente de fibrés
holomorphes sous réduction symplectique, en partant du cas torique. À
l'aide de la correspondence de Kobayashi-Hitchin, on en déduira un
critère combinatoire pour comparer des espaces de modules de fibrés
stables sur des variétés toriques reliées par des quotients GIT.
J'expliquerai comment les surfaces polyèdrales isotropes peuvent être vues comme les zéros d'applications moment. Ces applications moments peuvent être à leur tour utilisées pour contruire des surfaces polyèdrales via le théorème du point fixe, ou la limite de certains flots en dimension finie. Ces techniques sont finalement implémentées sur ordinateur pour obtenir de nombreux exemples de surfaces polyhédrales lagrangiennes de $R^4$.
On considère le laplacien de Hodge-de Rham H sur les formes différentielles
sur une variété riemannienne complète non compacte. L'objectif est de
comprendre sous quelles conditions géométriques (portant sur la courbure de
Ricci) le semi-groupe e^{-tH} agit sur tous les L^p et obtenir la meilleure
majoration possible de sa norme. Pour ce faire, nous étudions quelques
estimations du noyau de la chaleur correspondant à H. Ces questions sont liées
à d'autres problèmes tels que la transformée de Riesz ou le gradient du noyau
de la chaleur sur les fonctions. Dans cet exposé, nous ferons le point sur ces
questions et présentons quelques résultats récents.
Ces dernières années ont vu le développement de l’étude d’espace métrique à la marge
des variétés riemanniennes: variétés sous-riemanniennes, variété presque riemanniennes,
ou bien limite de variétés riemanniennes. Pensons aussi aux variétés Finsler,
ou pseudo-riemannienne qui sont en un sens plus générales que les variétés riemanniennes.
Une question que l’on retrouve est la recherche d'une définition d’une notion
de courbure adaptée à ces situations. Dans cet exposé nous voulons faire un petit tour subjectif de notions qui nous
paraissent pertinentes en suivant quelques exemples qui nous semblent parlant.
