Séminaire de géométrie (archives)

Le séminaire quimpériodique se tient sur deux jours jeudi 7 et vendredi 8 novembre. Renseignements et Inscription ici

By a theorem of Karshon any compact four-dimensional symplectic manifold with a Hamiltonian $S^1$ action has a compatible $S^1$-invariant Kaehler structure. Taking a product of $S^2$ with a non-Kaehler symplectic 4-manifold one immediately constructs a counter-example to such a statement in dimension 6. However, in case one imposes the condition on the action to have only isolated fixed points, such a counter-example was unknown. In a joint work with Nick Lindsay I prove the existence of such a 6-dimensional example with $b_2=2$. This is a minimal such example, since by the work of Tolman and McDuff in the case $b_2=1$ the symplectic 6-manifold has a compatible Kaehler structure.

Dans cet exposé, on présentera une nouvelle approche pour construire des exemples de fibrés holomorphes munis de métriques d'Hermite-Einstein. On étudiera à cette fin la descente de fibrés holomorphes sous réduction symplectique, en partant du cas torique. À l'aide de la correspondence de Kobayashi-Hitchin, on en déduira un critère combinatoire pour comparer des espaces de modules de fibrés stables sur des variétés toriques reliées par des quotients GIT.

J'expliquerai comment les surfaces polyèdrales isotropes peuvent être vues comme les zéros d'applications moment. Ces applications moments peuvent être à leur tour utilisées pour contruire des surfaces polyèdrales via le théorème du point fixe, ou la limite de certains flots en dimension finie. Ces techniques sont finalement implémentées sur ordinateur pour obtenir de nombreux exemples de surfaces polyhédrales lagrangiennes de $R^4$.

On considère le laplacien de Hodge-de Rham H sur les formes différentielles sur une variété riemannienne complète non compacte. L'objectif est de comprendre sous quelles conditions géométriques (portant sur la courbure de Ricci) le semi-groupe e^{-tH} agit sur tous les L^p et obtenir la meilleure majoration possible de sa norme. Pour ce faire, nous étudions quelques estimations du noyau de la chaleur correspondant à H. Ces questions sont liées à d'autres problèmes tels que la transformée de Riesz ou le gradient du noyau de la chaleur sur les fonctions. Dans cet exposé, nous ferons le point sur ces questions et présentons quelques résultats récents.

Ces dernières années ont vu le développement de l’étude d’espace métrique à la marge des variétés riemanniennes: variétés sous-riemanniennes, variété presque riemanniennes, ou bien limite de variétés riemanniennes. Pensons aussi aux variétés Finsler, ou pseudo-riemannienne qui sont en un sens plus générales que les variétés riemanniennes. Une question que l’on retrouve est la recherche d'une définition d’une notion de courbure adaptée à ces situations. Dans cet exposé nous voulons faire un petit tour subjectif de notions qui nous paraissent pertinentes en suivant quelques exemples qui nous semblent parlant.

Un résultat récent de Ben Ovadia permet de coder les difféomorphismes réguliers de variétés compactes par des décalages de Markov. J'expliquerai comment on peut localiser ces codages sur les classes homoclines mesurées en utilisant notamment ce qu'avec Mike Boyle nous avons appelé la propriété de Bowen. J'en déduirai un résultat d'unicité locale de la mesure d'équilibre définie par le formalisme thermodynamique.

Travail en collaboration avec Sylvain Crovisier et Omri Sarig.

Nous parlerons d’analyse harmonique sur certains groupes discrets: les groupes hyperboliques. Nous définirons des fonctions sphériques, inspiré par la définition de telles fonctions sur les groupes de Lie semisimple, sur un groupe hyperbolique à l’aide de son bord de Gromov et de la classe de mesure de Patterson-Sullivan. Ces fonctions sont associées à des représentations provenant de l’action du groupe sur son bord. Nous étudierons la décroissance remarquable de telles fonctions, ainsi que certaines inégalités spectrales associées aux représentations. On mentionnera également certaines application de ces inégalités sur l’irréductibilité de certaines représentations.

Dans la première partie, on considérera un système dynamique fibré analogue aux rotations sur le cercle, et on identifiera la condition (asynchronicité) qui est l'analogue de l'irrationalité de l'angle de rotation. Dans une deuxième partie, on exhibera un exemple non trivial qui vient naturellement de la dynamique homogène, et en quoi ces considérations peuvent aider pour démontrer l'ergodicité de certaines transformations homogènes sur l'espace des grilles au dessus de l'espace des réseaux.

Partons du système dynamique suivant. Soit $G=\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ et $\Gamma$ un sous-groupe discret, Zariski dense de $G$, agissant proprement discontinuement sur $\mathbb{H}^2$ et de covolume infini. L'action par multiplication à droite du sous-groupe des matrices diagonales $A$ sur $\Gamma \backslash G$ s'identifie alors à l'action du flot géodésique sur le fibré unitaire tangent $T^1 \Gamma \backslash \mathbb{H}^2$. Il est alors bien connu que cette action est topologiquement mélangeante sur son ensemble non-errant.

Que se passe-t-il lorsque $G= \mathrm{PSL}(2,\mathbb{R}) \times \mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$, ou plus généralement pour un groupe de Lie semisimple réel linéaire de type non-compact de rang réel quelconque ? Dans un travail commun avec Olivier Glorieux, nous avons obtenu une condition nécessaire et suffisante de mélange topologique pour les flots directionnels des chambres de Weyl.

Je présenterai dans cet exposé les principales idées de la preuve de ce Théorème de mélange.