Séminaire de géométrie (archives)

Je montrerai comment on peut construire des surfaces lagrangiennes, obtenues comme la limite d'un flot de gradient associé à une certaine application moment. La géométrie associée à cette application moment a la propriété de s'adapter facilement au cadre des surfaces polyédrales. L'équation d'évolution devient alors une simple équation différentielle ordinaire qui possède presque toutes propriétés agréables souhaitées (orbites bornées, stabilité générique des points fixes). Cette méthode permet de fabriquer des surfaces polyédrales lagrangiennes via des méthodes effectives, faciles à mettre en oeuvre sur un ordinateur.

Il s'agit d'un travail en commun avec David Tewodrose (Cergy). Nous démontrons qu'un espace métrique mesuré possédant un noyau de la chaleur euclidien est en fait isométrique à l'espace Euclidien. Ce résultat a pour conséquence immédiate un résultat de presque rigidité. Ceci permet de donner une preuve d'un résultat de Colding à propos des variétés complètes à courbure de Ricci positive ou nulle dont la croissance du volume est presque Euclidienne.

J'expliquerai comment des méthodes d'analyse des EDP développées par Helffer et Sjöstrand dans les années 80-90 peuvent être adaptées à l'étude des propriétés statistiques des flots d'Anosov très réguliers et des fonctions zêtas associées. Il s'agit d'un travail en commun avec Yannick Guedes Bonthonneau.

Nous verrons comment utiliser la version à poids des fonctionnelles classiques de géométrie kählérienne pour aborder l'analogue sasakien du problème de Calabi. Les résultats présentés sont issus d'un travail en cours avec V. Apostolov et D.J.M. Calderbank.

Il s'agit d'un travail en commun avec Gabriel Rivière. Sur une surface à courbure négative, on montre que les séries de Poincaré comptant les arcs géodésiques orthogonaux à certaines courbes admettent un prolongement méromorphe au plan complexe. Quand ces courbes sont des géodésiques homologiquement triviales, nous montrons l'absence de pôles et la rationalité de la valeur en 0 en l'interprétant comme un nombre d'enlacement pour des nœuds Legendriens.

Nous montrerons comment une nouvelle inégalité reliant l'intégrale sur une variété et celle sur son bord d'une fonction $f$ satisfaisant $\Delta f\leq \lambda f$ permet de retrouver ou de produire de nouvelles estimations de valeurs propres d'opérateurs géométriques. Travail en commun avec Fida El Chami et Georges Habib, Université Libanaise.

La théorie de l'intégration convexe a été inventée dans les années 70 par Gromov. Elle permet de résoudre des contraintes différentielles vues comme un sous-ensemble de l'espace des jets et appelé relation différentielle. Dans le cas d'une relation d'ordre un, elle part de la donnée d'une section $(x,f(x),L(x))$ du fibré $J^1(M,W)\to M$ à image dans la relation et effectue une succession d'intégrations bien choisies, appelées "intégrations convexes" pour construire une solution F à la contrainte différentielle. Cette théorie a conduit récemment à la construction explicite de plongements isométriques $C^1$. Dans cet exposé, nous proposerons une formule alternative aux intégrations convexes et nous caractériserons également un type de relation différentielle pour laquelle la nouvelle formule se simplifie grandement. En application de ce résultat, nous donnerons une idée de construction d'une nouvelle immersion de $RP^2$ et nous énoncerons un théorème de plongement $C^1$-isométrique de type Nash-Kuiper dans le cas des applications totalement réelles.