Séminaire de géométrie (archives)

D'après des théorèmes d'Anderson et Bando-Kasue-Nakajima de 1989, toute limite non-effondrée au sens de Gromov-Hausdorff de variétés d'Einstein est un orbifold d'Einstein. Cet énoncé laisse en suspens plusieurs questions. Tous les orbifolds d'Einstein sont-ils limites de suites de variétés d'Einstein ? Quelle structure peut-on donner à l'ensemble des métriques d'Einstein ainsi complété ? Nous présentons des techniques permettant de répondre partiellement à ces deux questions en montrant que toute métrique d'Einstein proche d'un orbifold d'Einstein peut être produite par un procédé de recollement-perturbation.

Burns et Katok ont conjecturé en 1985 que le spectre marqué des longueurs d'une variété riemannienne à courbure sectionnelle strictement négative — la suite des longueurs des géodésiques périodiques, repérées par leur classe d'homotopie libre — déterminait la métrique à isométrie près. Croke et Otal ont démontré indépendamment la conjecture pour les surfaces en 1990 mais, depuis, la question est restée largement ouverte en dimension supérieure. Je présenterai une preuve d'une version locale de la conjecture, valable en dimension quelconque et, sous certaines hypothèses, dans le cadre plus général des variétés à flot géodésique hyperbolique (aussi appelé Anosov dans la littérature). Il s'agit d'un travail en collaboration avec Colin Guillarmou.

On considère un produit tordu (skew-product) d'une application dilatante du cercle par une fonction tau. C'est un modèle simple de dynamique partiellement hyperbolique, faisant intervenir une direction neutre comme le font les flots. Les résonances de Ruelle sont les valeurs propres de l'opérateur de transfert dans des espaces appropriés, elles fournissent des informations sur la dynamique (décroissance des corrélations). Dans ce modèle l'opérateur de transfert se réduit par analyse de Fourier en une famille d'opérateurs, dont nous étudions la distribution des traces (plates) des itérés dans une limite semi-classique, lorsque la fonction tau est aléatoire.

La notion de représentations Anosov s'est révélée ces dernières années comme un bon analogue de celle de représentations convexe-cocompactes pour les espaces symétrique de rang supérieur. Nous nous tâcherons dans un premier temps d'expliquer comment elles sont reliées à la géométrie projective. Notre exposé s'articulera ensuite autour de l'étude de différents invariants : exposants critiques, entropies, et dimension de Hausdorff dans le cas général des sous-groupes de SL(n,R) et dans celui plus spécifique des représentations de SO(p,q). Nous présenterons enfin deux résultats de rigidités pour ces invariants. Ces travaux sont en commun avec D. Monclair et D. Monclair -- N. Tholozan.

The horofunction boundary was introduced by Gromov in the late 1970s as a general way of compactifying metric spaces. I will describe this boundary in the case of Teichmüller space, and discuss what it tells us about the geometry of this space.

Il s'agit d'un travail effectué en collaboration avec C. Rose (TU-Chemnitz). Le théorème de Bonnet-Myers implique qu'une variété riemannienne complète dont la courbure de Ricci est minorée par une constante strictement positive est compact et que son groupe fondamental est fini. Nous avons obtenu la même conclusion à partir d'une hypothèse de positivité spectrale d'un opérateur de Schrödinger de type Laplacien + courbure de Ricci.

Quasistatic dynamical systems (QDS), introduced by Dobbs and Stenlund around 2015, model dynamics that transform slowly over time due to external influences. They are generalizations of conventional dynamical systems and belong to the realm of deterministic non-equilibrium processes.