Séminaire de géométrie (archives)

CE SÉMINAIRE EST ANNULÉ (grève contre une réforme des retraites)

Nous verrons comment utiliser la version à poids des fonctionnelles classiques de géométrie kählérienne pour aborder l'analogue sasakien du problème de Calabi. Les résultats présentés sont issus d'un travail en cours avec V. Apostolov et D.J.M. Calderbank.

Dans cet exposé, on s'intéressera à des sous-variétés algébriques aléatoires dans la sphère euclidienne de dimension $n$. Ces sous-variétés sont obtenues comme lieu d'annulation de polynômes homogènes aléatoires de degré $d$ en $n+1$ variables, distribués selon une loi dite de Kostlan. On énoncera d'abord deux résultats donnant les asymptotiques de la moyenne et de la variance du volume de ces sous-variétés, lorsque $d\to\infty$. En dimension ambiante $n=1$, l'objet qui nous intéresse est l'ensemble des racines d'un certain polynôme aléatoire sur le cercle. Dans ce cas, on obtient une loi forte des grands nombres et un théorème central limite pour ce nombre de racines, dans la limite des grands degrés. Plus généralement, ces résultats sont valables pour un modèle de sous-variétés algébriques aléatoires dans une variété projective réelle. Cet exposé est basé sur des travaux en commun avec M. Ancona et M. Puchol.

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À un flot de type Anosov (par exemple le flot géodésique sur une variété à courbure négative), on peut associer une fonction méromorphe construite à partir des longueurs de ses orbites périodiques et appelée fonction zêta de Ruelle. Dans cet exposé, je rappellerai les propriétés analytiques de ces fonctions zêta ainsi que leur lien avec les résonances de Ruelle. J'expliquerai ensuite de quelle manière le comportement en 0 de ces fonctions zêta encode des informations sur la topologie de la variété (cohomologie de de Rham, torsion de Reidemeister dans le cas acyclique). Il s'agit de travaux en collaboration avec N.V. Dang (Lyon), C. Guillarmou (Orsay) et S. Shen (Jussieu).

Le séminaire quimpériodique se tient sur deux jours jeudi 7 et vendredi 8 novembre. Renseignements et Inscription ici

By a theorem of Karshon any compact four-dimensional symplectic manifold with a Hamiltonian $S^1$ action has a compatible $S^1$-invariant Kaehler structure. Taking a product of $S^2$ with a non-Kaehler symplectic 4-manifold one immediately constructs a counter-example to such a statement in dimension 6. However, in case one imposes the condition on the action to have only isolated fixed points, such a counter-example was unknown. In a joint work with Nick Lindsay I prove the existence of such a 6-dimensional example with $b_2=2$. This is a minimal such example, since by the work of Tolman and McDuff in the case $b_2=1$ the symplectic 6-manifold has a compatible Kaehler structure.

Dans cet exposé, on présentera une nouvelle approche pour construire des exemples de fibrés holomorphes munis de métriques d'Hermite-Einstein. On étudiera à cette fin la descente de fibrés holomorphes sous réduction symplectique, en partant du cas torique. À l'aide de la correspondence de Kobayashi-Hitchin, on en déduira un critère combinatoire pour comparer des espaces de modules de fibrés stables sur des variétés toriques reliées par des quotients GIT.

J'expliquerai comment les surfaces polyèdrales isotropes peuvent être vues comme les zéros d'applications moment. Ces applications moments peuvent être à leur tour utilisées pour contruire des surfaces polyèdrales via le théorème du point fixe, ou la limite de certains flots en dimension finie. Ces techniques sont finalement implémentées sur ordinateur pour obtenir de nombreux exemples de surfaces polyhédrales lagrangiennes de $R^4$.

On considère le laplacien de Hodge-de Rham H sur les formes différentielles sur une variété riemannienne complète non compacte. L'objectif est de comprendre sous quelles conditions géométriques (portant sur la courbure de Ricci) le semi-groupe e^{-tH} agit sur tous les L^p et obtenir la meilleure majoration possible de sa norme. Pour ce faire, nous étudions quelques estimations du noyau de la chaleur correspondant à H. Ces questions sont liées à d'autres problèmes tels que la transformée de Riesz ou le gradient du noyau de la chaleur sur les fonctions. Dans cet exposé, nous ferons le point sur ces questions et présentons quelques résultats récents.