Séminaire de géométrie (archives)

Un résultat récent de Ben Ovadia permet de coder les difféomorphismes réguliers de variétés compactes par des décalages de Markov. J'expliquerai comment on peut localiser ces codages sur les classes homoclines mesurées en utilisant notamment ce qu'avec Mike Boyle nous avons appelé la propriété de Bowen. J'en déduirai un résultat d'unicité locale de la mesure d'équilibre définie par le formalisme thermodynamique.

Travail en collaboration avec Sylvain Crovisier et Omri Sarig.

Nous parlerons d’analyse harmonique sur certains groupes discrets: les groupes hyperboliques. Nous définirons des fonctions sphériques, inspiré par la définition de telles fonctions sur les groupes de Lie semisimple, sur un groupe hyperbolique à l’aide de son bord de Gromov et de la classe de mesure de Patterson-Sullivan. Ces fonctions sont associées à des représentations provenant de l’action du groupe sur son bord. Nous étudierons la décroissance remarquable de telles fonctions, ainsi que certaines inégalités spectrales associées aux représentations. On mentionnera également certaines application de ces inégalités sur l’irréductibilité de certaines représentations.

Dans la première partie, on considérera un système dynamique fibré analogue aux rotations sur le cercle, et on identifiera la condition (asynchronicité) qui est l'analogue de l'irrationalité de l'angle de rotation. Dans une deuxième partie, on exhibera un exemple non trivial qui vient naturellement de la dynamique homogène, et en quoi ces considérations peuvent aider pour démontrer l'ergodicité de certaines transformations homogènes sur l'espace des grilles au dessus de l'espace des réseaux.

Partons du système dynamique suivant. Soit $G=\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ et $\Gamma$ un sous-groupe discret, Zariski dense de $G$, agissant proprement discontinuement sur $\mathbb{H}^2$ et de covolume infini. L'action par multiplication à droite du sous-groupe des matrices diagonales $A$ sur $\Gamma \backslash G$ s'identifie alors à l'action du flot géodésique sur le fibré unitaire tangent $T^1 \Gamma \backslash \mathbb{H}^2$. Il est alors bien connu que cette action est topologiquement mélangeante sur son ensemble non-errant.

Que se passe-t-il lorsque $G= \mathrm{PSL}(2,\mathbb{R}) \times \mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$, ou plus généralement pour un groupe de Lie semisimple réel linéaire de type non-compact de rang réel quelconque ? Dans un travail commun avec Olivier Glorieux, nous avons obtenu une condition nécessaire et suffisante de mélange topologique pour les flots directionnels des chambres de Weyl.

Je présenterai dans cet exposé les principales idées de la preuve de ce Théorème de mélange.

trois exposés. Le programme est ici

It is not known whether a contractible 3-manifold admits a complete metric of positive scalar curvature. For example, the Whitehead manifold is a contractible 3-manifold but not homeomorphic to $R^{3}$. In this talk, I will present my proof that it does not have a complete metric with positive scalar curvature. I will further explain that a contractible genus one 3-manifold, a notion introduced by McMillan, does not admit a complete metric of positive scalar curvature.

The goal of this talk is to describe new constructions of four-dimensional, compact, negatively curved Einstein manifolds which are not locally homogeneous. Einstein metrics will be constructed on two main families of examples: ramified covers of compact hyperbolic four-manifolds with symmetries on the one hand, and quotients of such hyperbolic manifolds on the other hand. The Einstein metrics are obtained here through a deformation procedure. An approximate solution is obtained by interpolating between a model, black-hole conical Einstein metric and the hyperbolic metric. This is a joint work with J. Fine (ULB).

On considère un graphe orienté et pondéré avec des poids d’arêtes non symétriques et on introduit le Laplacien associé à ce graphe. Sous une con- dition de ”conductivité totale des sommets de graphe” on s’intéresse à l’étude du spectre essentiel du Laplacien, de la sectorialité et de la m-accrétivité du Laplacien.

Soit n>3, soit Fn un groupe libre de rang n, et soit Out(Fn) le groupe de ses automorphismes extérieurs. En 2007, Farb et Handel ont montré que tout isomorphisme entre deux sous-groupes d'indice fini de Out(Fn) est donné par la conjugaison par un élément de Out(Fn). C'est un théorème de rigidité, analogue pour Out(Fn) au théorème de rigidité de Mostow, qui affirme que Out(Fn) n'a pas plus de symétries que les symétries `évidentes' données par les automorphismes intérieurs. Dans un travail en commun avec Richard D. Wade, nous donnons une nouvelle démonstration du théorème de Farb et Handel, qui nous permet de le généraliser dans différentes directions, et en particulier d'établir un théorème de rigidité analogue pour un grand nombre de sous-groupes intéressants de Out(F_n).