Séminaire de géométrie (archives)

La notion d’une structure kahlérienne généralisée (GK) a été introduite au début des années 2000 par Hitchin et Gualtieri, dans le but de fournir un cadre mathématiquement rigoureux de certaines théories de modèles sigma non linéaires en physique. Depuis, le sujet a connu un développement rapide et on a compris, grâce aux travaux plus récents de Hitchin, Goto, Gualtieri, Bischoff et Zabzine, que les structures GK sont naturellement attachées aux variétés kahlériennes munies d’une structure de Poisson holomorphe. Inspiré par le programme de Calabi en géométrie kahlérienne, qui a pour but de trouver une métrique kahlérienne « canonique » associée à une variété projective polarisée, je présenterai dans cet exposé une approche vers une version « généralisée » du problème de Calabi, passant par un formalisme d’application moment en dimension infinie et utilisant la théorie de flot de Bismut-Ricci introduit par Streets et Tian. Comme application, nous donnons une description complète —conjecturée par D. Joyce— des structures GK sur le tore $T^{4n}$ muni d’une structure de Poisson holomorphe non-dégénérée. (Travaux en collaboration avec J. Streets et U. Ustinovskiy.)

Résumé: On introduit un problème variationnel sur l'ensemble des structures Spin(7) isométriques d'une variété de dimension 8. Je parlerai principalement des propriétés analytiques du flot associé.

Je présenterai deux constructions de variétés kählériennes, munies d'actions Hamiltoniennes de tores de dimensions infinies. Dans le premier exemple, les zéros de l'application moment peuvent être interprétés comme des applications isotropes du tore T^2 dans R^4. Dans le deuxième exemple, la construction est hyperkählériennes et les zéros sont identifiés aux symplectomorphismes du tore T^4. Des flots d'application moment peuvent être naturellement associés à ces constructions et leur existence en temps court est garantie. Des constructions analogues, de dimension finie, trouvent des applications en géométrie symplectique polyédrale, un domaine où des travaux de fondation restent à accomplir.

Je présenterai un travail en cours avec B. Premoselli (Université Libre de Bruxelles) sur le problème suivant. Soit (M,g) une variété riemannienne compacte, sans bord, normalisée (i.e. de volume 1) et de dimension au moins trois. On suppose que le laplacien conforme de g admet au moins deux valeurs propres négatives. On sait que le nombre de valeurs propres négatives du laplacien conforme est constant sur toute classe conforme donnée. Le problème consiste à maximiser chaque valeur propre négative sur la classe conforme normalisée de g. Dans le cas de la première valeur propre, on retrouve le problème de Yamabe; en ce sens, notre problème est une extension du problème de Yamabe.

Les flots Axiome A sont des flots introduits par Smale en 1967 qui généralisent deux types de dynamiques dites hyperboliques : les flots de Morse (induits par le gradient d'une fonction de Morse) et les flots géodésiques sur des variétés à courbure négative. Sur une variété riemannienne, les flots de Morse sont connus pour avoir des liens avec la topologie de la variété, notamment grâce aux inégalités de Morse. D'un autre côté, les flots géodésiques sur des variétés (compactes) à courbure négative ont également des liens avec la topologie qui sont comparables à ceux présents en théorie de Hodge pour le Laplacien de Hodge-De Rham. Dans les deux cas un complexe dit de Morse a bien été défini mais cela restait un mystère dans le cas Axiome A.

Dans cet exposé, je présenterai comment l'analyse permet de définir un complexe de Morse pour les Axiome A qui généralise ceux définis au préalable pour les flots de Morse et les flots géodésiques.

En 1911, Toepliz posa la question suivante : toute courbe de Jordan contient-elle les sommets d'un carré ? En pleine généralité, la question reste ouverte. On l'étude, ensemble avec sa généralisation à certains rectangles, à l'aide des surfaces non-orientables plongées dans les 4-variété, raffinant des idée de Vaughan et Hugelmeyer. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Peter Feller.

Résumé : Il s'agit d'un travail en commun avec Ilaria Mondello et David Tewodrose
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Dans les années 90, Cheeger et Colding ont obtenu des résultats sur la géométrie des limites pour la topologie de Gromov-Hausdorff de variétés dont la courbure de Ricci est minorée. Nous avons obtenu des résultats similaires avec une condition plus faible. Je commencerai par expliquer le rôle du théorème de comparaison de Bishop-Gromov dans une perspective de comprendre les limites Gromov-Hausdorff sous une condition de courbure de Ricci minorée puis j'introduirai la condition de Kato et expliquerai finallement ce qui dans notre cas joue le rôle de Bishop-Gromov.

Nous montrons qu'une variété riemanienne à poids $(M,g,\mu)$ qui admet une inégalité de Faber-Krahn relative vérifie une égalité à la "Fefferman-Phong" : $$\forall \psi\in \mathcal{C}^1_0(M)\colon\ \int_M V\psi^2d\mu\le C \int_M |d\psi|^2d\mu$$ où la constante $C$ dépend d'une norme Morrey de V. Nous en déduisons une estimation sur le bas du spectre de l'opérateur de Schrödinger $\Delta-V$.

À annoncer

La conjecture de Yau-Tian-Donaldson prédit que l'existence d'une métrique extrémale (au sens de Calabi) dans une classe de Kähler donnée d'une variété kählérienne est équivalente à une certaine notion de stabilité algébro-géométrique de cette classe. Dans cet exposé, nous discuterons d'une résolution de cette conjecture pour une certaine classe de fibrations toriques, appelée fibrations toriques principales semisimples. Après avoir introduit le problème de Calabi pour des variétés kählériennes générales, nous nous concentrerons sur le cas torique. Nous introduisons alors la notion de stabilité pertinente dans notre contexte et nous expliquerons la construction des fibrations principales semisimple toriques. Finalement nous énoncerons notre résultat d'existence principal et nous discuterons des éléments de preuve. En particulier, nous verrons comment réduire le problème de Calabi sur l'espace total de la fibration à un problème à courbure scalaire constante pondérée sur les fibres toriques. (arXiv:2108.12297).