Séminaire de géométrie (archives)

Une variété riemannienne à courbure de Ricci minorée vérifie plusieurs propriétés analytico-géométriques bien connues. Dans nos travaux récents avec Gilles Carron et Ilaria Mondello, nous travaillons sous une hypothèse strictement plus faible qu’une minoration de la courbure de Ricci: nous demandons que la partie négative du tenseur de Ricci soit contrôlée en un sens faible impliquant le noyau de la chaleur. Nous formalisons cette hypothèse à l’aide d’une quantité appelée constante de Kato. Je présenterai nos deux résultats concernant la stabilité des variétés fermées à constante de Kato petite et à premier nombre de Betti égal à la dimension. Le premier dit qu’une telle variété est Gromov-Hausdorff proche d’un tore plat. Le second dit que, sous une hypothèse de Kato plus forte, une telle variété est difféomorphe à un tore: ceci étend un résultat de Colding et Cheeger-Colding obtenu sous une hypothèse de courbure de Ricci minorée.

Dans cet exposé, on s’intéresse à une variété kählerienne compacte X admettant une structure de Poisson holomorphe. Sous l’hypothèse de l’existence d’une feuille compacte L à groupe fondamental fini du feuilletage de Poisson associé, on peut montrer qu’a revêtement fini près, X est un produit d’une variété symplectique (en l’occurence le revêtement universel de L) et d’une variété de Poisson. Ce résultat peut être vu comme une version globale du theorème de décomposition de Weinstein. Travail en commun avec Stéphane Druel, Jorge Pereira et Brent Pym.

La notion de stabilité est centrale dans le problème de classification des fibrés holomorphes sur une variété projective donnée. On s'intéresse dans cet exposé au comportement de la stabilité sous pullback par un morphisme entre variétés. Dans le cas d'une immersion générique de grand degré, un théorème de Mehta et Ramanathan stipule que le pullback d'un fibré (semi)stable reste semi(stable). On étudiera alors le cas des submersions, dans deux contextes. Le premier, lisse, via des méthodes de géométrie différentielle et l'étude des connexions Hermite-Yang-Mills (en collaboration avec Lars Martin Sektnan). Le deuxième, singulier et torique, via des méthodes combinatoires et algébriques (en collaboration avec Achim Napame)

This line of studies was initiated by Yasha Eliashberg. The central object of this talk is a piecewise constant Withney symplectic form on a combinatorial manifold. Basic questions are whether such symplectic structures satisfy Darboux and can be used to triangulate smooth symplectic manifolds. Some answers will be provided. This is a joint work with Julie Distexhe.

Étudions la structure asymptotique des bouts des $k$-surfaces de type fini dans $\Bbb{H}^3$. Nous nous en servons pour déduire des propriétés géométriques, non seulement de ces $k$-surfaces, mais aussi de leur espace de modules. Ces résultats sont apparus dans https://arxiv.org/abs/1908.04834.

On a Riemannian manifold $(M, g)$, the $\sigmak$ curvature is the $k$-th elementary symmetric function of the eigenvalues of the Schouten tensor $Ag$. It is known that the prescribing $\sigmak$ curvature equation on a closed manifold without boundary is variational if k=1, 2 or $g$ is locally conformally flat; indeed, this problem can be studied by means of the energy $\int \sigmak(Ag) dvg$. We construct a natural boundary functional which, when added to this energy, yields as its critical points solutions of prescribing $\sigma_k$ curvature equations with general non-vanishing boundary data. Moreover, we prove that the new energy satisfies the Dirichlet principle. If time permits, I will also discuss applications of our methods. This is joint work with Jeffrey Case.

La conjecture de Yau-Tian-Donaldson porte sur l'équivalence entre existence de métriques de Kähler à courbure scalaire constante sur une variété polarisée, et une condition algébro-géométrique de K-stabilité. Elle a été résolue dans le cas des variétés anticanoniquement polarisées par Chen-Donaldson-Sun, et dans le cas des surfaces toriques par Donaldson. Dans les deux cas, une condition plus faible que la K-stabilité attendue suffit, et dans le cas torique, Donaldson traduit la K-stabilité en un problème de géométrie convexe de polytopes. Dans cet exposé, je présenterai des progrès récents sur la conjecture de Yau-Tian-Donaldson pour les variétés sphériques, et en cas particulier, une résolution de cette conjecture dans le cas des variétés polarisées de cohomogénéité un (variétés équipées de l'action d'un groupe de Lie compact avec au moins une orbite hypersurface réelle).

Dans cet exposé, nous explorerons une théorie gravitationnelle au quatrième ordre en considérant l'espace temps comme point critique d'une courbure élastique quadratique, et donc d'ordre 4. Au delà des motivations physiques nous en étudierons la géométrie en introduisant une quantité conservée et en s'appuyant dessus pour montrer des théorèmes de rigidité et de positivité notamment grâce aux liens avec la Q-courbure.

Le flot de Ricci introduit par Hamilton dans les années 80 est une équation parabolique non linéaire sur l'espace des métriques riemanniennes d'une variété lisse fixée. Son invariance sous l'action des difféomorphismes la rend dégénérée, ce qui produit une ambiguïté vis-à-vis des questions d'existence et d'unicité. Dans cet exposé, nous établirons sous certaines hypothèses de courbure un résultat de proximité locale entre deux flots de Ricci ayant pour condition initiale un espace métrique. La vitesse de convergence en temps établie est optimale.

Dans cet exposé, nous allons nous intéresser à l'étude de la stabilité du faisceau tangent logarithmique $T{X}(- \log D)$ associé à une log-paire équivariante $(X, D)$ où $X$ est une variété torique lisse et $D$ un diviseur de Weil réduit à croisements normaux. Nous donnerons une condition nécessaire sur le diviseur $D$ qui assure l'existence des polarisations $L$ sur $X$ tel que le faisceau $T{X}(- \log D)$ soit semi-stable par rapport à $L$.