Peut-on apprivoiser des systèmes dynamiques simples (ou de "basse complexité") ?
Notre travail avec Serge Cantat tourne explore cette question dans le cadre des difféomorphismes holomorphes des variétés kähleriennes complexes. Nous l'approchons sous différentes angles : automorphismes sans orbite périodique, équicontinuité, comportement des dérivées des itérations, automorphismes d'entropie topologique nulle...
Pour ces derniers, la notion plus fine d'entropie polynomiale peut être définie pour mesurer la complexité. Cette notion était déjà étudiée dans quelques contextes dynamiques : systèmes hamiltoniens intégrables, homéomorphismes de Brouwer, flots géodésiques, homéomorphismes du cercle, etc. Dans cet exposé, je formulerai des résultats et des conjectures concernant des applications "simples" et leur entropie polynomiale dans ce cadre holomorphe.
Sur une variété riemannienne orientée compacte, notons $\lambda_1^{(k)}$ la première valeur propre positive du Laplacien de Hodge agissant sur les $k$-formes différentielles Comment varie cette fonction de $k$ ? Je présenterai une formule de Verbitsky qui permet d'aborder cette question lorsque la variété possède une forme parallèle. C'est un travail en cours et en collaboration avec Junya Takahashi (Tohoku)
Je montrerai comment on peut construire des surfaces
lagrangiennes, obtenues comme la limite d'un flot de gradient associé à une certaine application moment.
La géométrie associée à cette application moment a la propriété de
s'adapter facilement au cadre des surfaces polyédrales. L'équation
d'évolution devient alors une simple équation différentielle ordinaire qui
possède presque toutes propriétés agréables souhaitées (orbites bornées, stabilité générique des points fixes).
Cette méthode permet de fabriquer des surfaces polyédrales lagrangiennes via
des méthodes effectives, faciles à mettre en oeuvre sur un ordinateur.
Il s'agit d'un travail en commun avec David Tewodrose (Cergy). Nous démontrons qu'un espace métrique mesuré possédant un noyau de la chaleur euclidien est en fait isométrique à l'espace Euclidien. Ce résultat a pour conséquence immédiate un résultat de presque rigidité. Ceci permet de donner une preuve d'un résultat de Colding à propos des variétés complètes à courbure de Ricci positive ou nulle dont la croissance du volume est presque Euclidienne.
J'expliquerai comment des méthodes d'analyse des EDP
développées par Helffer et Sjöstrand dans les années 80-90 peuvent être
adaptées à l'étude des propriétés statistiques des flots d'Anosov très
réguliers et des fonctions zêtas associées. Il s'agit d'un travail en
commun avec Yannick Guedes Bonthonneau.
Nous verrons comment utiliser la version à poids des fonctionnelles classiques
de géométrie kählérienne pour aborder l'analogue sasakien du problème de
Calabi. Les résultats présentés sont issus d'un travail en cours avec V. Apostolov et D.J.M. Calderbank.
