Séminaire de géométrie (archives)

Sur une variété riemannienne orientée compacte, notons $\lambda_1^{(k)}$ la première valeur propre positive du Laplacien de Hodge agissant sur les $k$-formes différentielles Comment varie cette fonction de $k$ ? Je présenterai une formule de Verbitsky qui permet d'aborder cette question lorsque la variété possède une forme parallèle. C'est un travail en cours et en collaboration avec Junya Takahashi (Tohoku)

Je montrerai comment on peut construire des surfaces lagrangiennes, obtenues comme la limite d'un flot de gradient associé à une certaine application moment. La géométrie associée à cette application moment a la propriété de s'adapter facilement au cadre des surfaces polyédrales. L'équation d'évolution devient alors une simple équation différentielle ordinaire qui possède presque toutes propriétés agréables souhaitées (orbites bornées, stabilité générique des points fixes). Cette méthode permet de fabriquer des surfaces polyédrales lagrangiennes via des méthodes effectives, faciles à mettre en oeuvre sur un ordinateur.

Il s'agit d'un travail en commun avec David Tewodrose (Cergy). Nous démontrons qu'un espace métrique mesuré possédant un noyau de la chaleur euclidien est en fait isométrique à l'espace Euclidien. Ce résultat a pour conséquence immédiate un résultat de presque rigidité. Ceci permet de donner une preuve d'un résultat de Colding à propos des variétés complètes à courbure de Ricci positive ou nulle dont la croissance du volume est presque Euclidienne.

J'expliquerai comment des méthodes d'analyse des EDP développées par Helffer et Sjöstrand dans les années 80-90 peuvent être adaptées à l'étude des propriétés statistiques des flots d'Anosov très réguliers et des fonctions zêtas associées. Il s'agit d'un travail en commun avec Yannick Guedes Bonthonneau.

Nous verrons comment utiliser la version à poids des fonctionnelles classiques de géométrie kählérienne pour aborder l'analogue sasakien du problème de Calabi. Les résultats présentés sont issus d'un travail en cours avec V. Apostolov et D.J.M. Calderbank.

Il s'agit d'un travail en commun avec Gabriel Rivière. Sur une surface à courbure négative, on montre que les séries de Poincaré comptant les arcs géodésiques orthogonaux à certaines courbes admettent un prolongement méromorphe au plan complexe. Quand ces courbes sont des géodésiques homologiquement triviales, nous montrons l'absence de pôles et la rationalité de la valeur en 0 en l'interprétant comme un nombre d'enlacement pour des nœuds Legendriens.