Séminaire de géométrie (archives)

Un instanton gravitationnel est une vari\'et\'e riemannienne orientée complète $(M, g)$ de dimension 4, dont le tenseur de Ricci est nul et dont la courbure s'annule à l'infini. Les instantons gravitationnels considérés dans cet exposé ont en outre les propriétés suivantes: (1) le comportement à l'infini est de type ALF; (2) le tenseur de Weyl $W^+$ est dégénéré et non-nul, i. e. admet une valeur propre double non-nulle, ce qui implique que $(M, g)$ est conformément kaehlérienne; (3) $(M, g)$ est torique. Exemples connus de tels instantons gravitationnels: les espaces de Kerr riemanniens, incluant les espaces de Schwarzschild riemanniens; les espaces de Kerr-Taub-bolt, introduits par G. W. Gibbons et M. J. Perry en 1980, incluant en outre la métrique Taub-NUT autoduale et la métrique de Taub-bolt; les instantons découverts en 2011 par Yu Chen et Edward Teo. Dans ce travail, nous montrons que les instantons gravitationnels de cette classe sont entièrement déterminés, à changement d'échelle près, par une fonction convexe affine par morceaux, définie sur la droite réelle. Via cette description, nous montrons que les seuls instantons lisses de cette classe sont les exemples cités ci-dessus, mais qu'il existe en revanche une infinité d'exemples non-difféomorphes admettant des métriques à singularités coniques. Travail commun avec Olivier Biquard.

Résumé : Ceci est un travail en commun avec S. Marouani. D'une part, nous généralisons l'hyperbolicité kählérienne de Gromov en proposant la notion de variété $n$-dimensionnelle "équilibrée hyperbolique" en demandant l'existence d'une métrique hermitienne dont la puissance $(n-1)-$ème devient d-exacte avec un potentiel borné sur le revêtement universel de la variété. D'autre part, nous généralisons l'hyperbolicité au sens de Brody en proposant la notion de variété "divisoriellement hyperbolique" en interdisant l'existence d'applications holomorphes non dégénérées et satisfaisant une hypothèse de croissance de $\mathbb{C}^{n-1}$ dans la variété donnée. Un de nos résultats principaux stipule que la première notion implique la deuxième. Nous donnons ensuite des exemples de variétés hyperboliques et non hyperboliques dans ces deux sens, étudions plusieurs de leurs propriétés et proposons également les notions de classes de cohomologie "divisoriellement nef" et "divisoriellement kählériennes" pour faire le lien entre l'hyperbolicité et la théorie de la positivité de différents objets géométriques.

Le théorème de rigidité symplectique d'Eliashberg-Gromov affirme que la limite d'une suite de symplectomorphismes convergeant au sens C^0 vers un difféomorphisme est encore un symplectomorphisme. Ce résultat suggère que l'essence de la géométrie symplectique peut se transposer sur un modèle topologique, et donc par extension sur un modèle PL. Après avoir dressé un bref cadre historique de cette géométrie symplectique PL, nous discuterons d'un résultat de flexibilité quant au immersion lagrangienne dans le cas lisse, ce qui nous conduira à présenter une construction permettant d'approcher un tore lagrangien lisse par une surface PL lagrangienne au sens C^1.

Je discuterai du problème (ouvert) à savoir si les cônes kählériens scalaire plat, et plus généralement les structures cscS, sont isolés dans leur cône de Reeb. J'expliquerai vaguement l'intérêt de répondre à cette question et ses liens avec une valeur propre du laplacien.

Soit G un groupe fini agissant sur une variété abélienne A librement en codimension 1. Les terminalisations (notamment, s'il en existe, les résolutions crépantes) du quotient A/G sont des variétés K-triviales qui, selon A et G, peuvent admettre une forme holomorphe symplectique ou non, avoir un groupe fondamental trivial, fini ou infini... Plus généralement, le type de la décomposition de Beauville-Bogomolov de telles terminalisations dépend de A et de G, et cette dépendance n'est pas entièrement transparente. Dans cet exposé, je parlerai des variétés de Calabi-Yau lisses obtenues en résolvant un quotient A/G, où G est un groupe fini agissant sur une variété abélienne A librement en codimension 2. Je rappellerai la classification due en dimension 3 à K. Oguiso, énoncerai une classification en dimension 4, et présenterai des résultats partiels en dimension supérieure.

Dans un travail en commun avec Patrick Graf et Henri Guenancia, nous nous sommes intéressés à un analogue singulier du théorème de Yau qui affirme qu'une variété kählérienne compacte dont les 2 premières classes de Chern sont nulles admet un revêtement étale qui est un tore. Pour généraliser ce type de résultat au cas klt, nous établissons une version singulière de l'inégalité de Bogomolov-Gieseker. Nous nous appuyons également sur le théorème de décomposition pour les espaces kählériens Ricci plat obtenu par Bakker--Guenancia--Lehn.

La notion d’une structure kahlérienne généralisée (GK) a été introduite au début des années 2000 par Hitchin et Gualtieri, dans le but de fournir un cadre mathématiquement rigoureux de certaines théories de modèles sigma non linéaires en physique. Depuis, le sujet a connu un développement rapide et on a compris, grâce aux travaux plus récents de Hitchin, Goto, Gualtieri, Bischoff et Zabzine, que les structures GK sont naturellement attachées aux variétés kahlériennes munies d’une structure de Poisson holomorphe. Inspiré par le programme de Calabi en géométrie kahlérienne, qui a pour but de trouver une métrique kahlérienne « canonique » associée à une variété projective polarisée, je présenterai dans cet exposé une approche vers une version « généralisée » du problème de Calabi, passant par un formalisme d’application moment en dimension infinie et utilisant la théorie de flot de Bismut-Ricci introduit par Streets et Tian. Comme application, nous donnons une description complète —conjecturée par D. Joyce— des structures GK sur le tore $T^{4n}$ muni d’une structure de Poisson holomorphe non-dégénérée. (Travaux en collaboration avec J. Streets et U. Ustinovskiy.)

Résumé: On introduit un problème variationnel sur l'ensemble des structures Spin(7) isométriques d'une variété de dimension 8. Je parlerai principalement des propriétés analytiques du flot associé.

Je présenterai deux constructions de variétés kählériennes, munies d'actions Hamiltoniennes de tores de dimensions infinies. Dans le premier exemple, les zéros de l'application moment peuvent être interprétés comme des applications isotropes du tore T^2 dans R^4. Dans le deuxième exemple, la construction est hyperkählériennes et les zéros sont identifiés aux symplectomorphismes du tore T^4. Des flots d'application moment peuvent être naturellement associés à ces constructions et leur existence en temps court est garantie. Des constructions analogues, de dimension finie, trouvent des applications en géométrie symplectique polyédrale, un domaine où des travaux de fondation restent à accomplir.

Je présenterai un travail en cours avec B. Premoselli (Université Libre de Bruxelles) sur le problème suivant. Soit (M,g) une variété riemannienne compacte, sans bord, normalisée (i.e. de volume 1) et de dimension au moins trois. On suppose que le laplacien conforme de g admet au moins deux valeurs propres négatives. On sait que le nombre de valeurs propres négatives du laplacien conforme est constant sur toute classe conforme donnée. Le problème consiste à maximiser chaque valeur propre négative sur la classe conforme normalisée de g. Dans le cas de la première valeur propre, on retrouve le problème de Yamabe; en ce sens, notre problème est une extension du problème de Yamabe.