Séminaire de géométrie (archives)

En 1911, Toepliz posa la question suivante : toute courbe de Jordan contient-elle les sommets d'un carré ? En pleine généralité, la question reste ouverte. On l'étude, ensemble avec sa généralisation à certains rectangles, à l'aide des surfaces non-orientables plongées dans les 4-variété, raffinant des idée de Vaughan et Hugelmeyer. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Peter Feller.

Résumé : Il s'agit d'un travail en commun avec Ilaria Mondello et David Tewodrose
lien vers Arxiv

Dans les années 90, Cheeger et Colding ont obtenu des résultats sur la géométrie des limites pour la topologie de Gromov-Hausdorff de variétés dont la courbure de Ricci est minorée. Nous avons obtenu des résultats similaires avec une condition plus faible. Je commencerai par expliquer le rôle du théorème de comparaison de Bishop-Gromov dans une perspective de comprendre les limites Gromov-Hausdorff sous une condition de courbure de Ricci minorée puis j'introduirai la condition de Kato et expliquerai finallement ce qui dans notre cas joue le rôle de Bishop-Gromov.

Nous montrons qu'une variété riemanienne à poids $(M,g,\mu)$ qui admet une inégalité de Faber-Krahn relative vérifie une égalité à la "Fefferman-Phong" : $$\forall \psi\in \mathcal{C}^1_0(M)\colon\ \int_M V\psi^2d\mu\le C \int_M |d\psi|^2d\mu$$ où la constante $C$ dépend d'une norme Morrey de V. Nous en déduisons une estimation sur le bas du spectre de l'opérateur de Schrödinger $\Delta-V$.

À annoncer

La conjecture de Yau-Tian-Donaldson prédit que l'existence d'une métrique extrémale (au sens de Calabi) dans une classe de Kähler donnée d'une variété kählérienne est équivalente à une certaine notion de stabilité algébro-géométrique de cette classe. Dans cet exposé, nous discuterons d'une résolution de cette conjecture pour une certaine classe de fibrations toriques, appelée fibrations toriques principales semisimples. Après avoir introduit le problème de Calabi pour des variétés kählériennes générales, nous nous concentrerons sur le cas torique. Nous introduisons alors la notion de stabilité pertinente dans notre contexte et nous expliquerons la construction des fibrations principales semisimple toriques. Finalement nous énoncerons notre résultat d'existence principal et nous discuterons des éléments de preuve. En particulier, nous verrons comment réduire le problème de Calabi sur l'espace total de la fibration à un problème à courbure scalaire constante pondérée sur les fibres toriques. (arXiv:2108.12297).

Peut-on apprivoiser des systèmes dynamiques simples (ou de "basse complexité") ?

Notre travail avec Serge Cantat tourne explore cette question dans le cadre des difféomorphismes holomorphes des variétés kähleriennes complexes. Nous l'approchons sous différentes angles : automorphismes sans orbite périodique, équicontinuité, comportement des dérivées des itérations, automorphismes d'entropie topologique nulle...

Pour ces derniers, la notion plus fine d'entropie polynomiale peut être définie pour mesurer la complexité. Cette notion était déjà étudiée dans quelques contextes dynamiques : systèmes hamiltoniens intégrables, homéomorphismes de Brouwer, flots géodésiques, homéomorphismes du cercle, etc. Dans cet exposé, je formulerai des résultats et des conjectures concernant des applications "simples" et leur entropie polynomiale dans ce cadre holomorphe.

Sur une variété riemannienne orientée compacte, notons $\lambda_1^{(k)}$ la première valeur propre positive du Laplacien de Hodge agissant sur les $k$-formes différentielles Comment varie cette fonction de $k$ ? Je présenterai une formule de Verbitsky qui permet d'aborder cette question lorsque la variété possède une forme parallèle. C'est un travail en cours et en collaboration avec Junya Takahashi (Tohoku)

Je montrerai comment on peut construire des surfaces lagrangiennes, obtenues comme la limite d'un flot de gradient associé à une certaine application moment. La géométrie associée à cette application moment a la propriété de s'adapter facilement au cadre des surfaces polyédrales. L'équation d'évolution devient alors une simple équation différentielle ordinaire qui possède presque toutes propriétés agréables souhaitées (orbites bornées, stabilité générique des points fixes). Cette méthode permet de fabriquer des surfaces polyédrales lagrangiennes via des méthodes effectives, faciles à mettre en oeuvre sur un ordinateur.