Séminaire de géométrie (archives)

Il s'agit d'un travail en commun avec Gabriel Rivière. Sur une surface à courbure négative, on montre que les séries de Poincaré comptant les arcs géodésiques orthogonaux à certaines courbes admettent un prolongement méromorphe au plan complexe. Quand ces courbes sont des géodésiques homologiquement triviales, nous montrons l'absence de pôles et la rationalité de la valeur en 0 en l'interprétant comme un nombre d'enlacement pour des nœuds Legendriens.

Nous montrerons comment une nouvelle inégalité reliant l'intégrale sur une variété et celle sur son bord d'une fonction $f$ satisfaisant $\Delta f\leq \lambda f$ permet de retrouver ou de produire de nouvelles estimations de valeurs propres d'opérateurs géométriques. Travail en commun avec Fida El Chami et Georges Habib, Université Libanaise.

La théorie de l'intégration convexe a été inventée dans les années 70 par Gromov. Elle permet de résoudre des contraintes différentielles vues comme un sous-ensemble de l'espace des jets et appelé relation différentielle. Dans le cas d'une relation d'ordre un, elle part de la donnée d'une section $(x,f(x),L(x))$ du fibré $J^1(M,W)\to M$ à image dans la relation et effectue une succession d'intégrations bien choisies, appelées "intégrations convexes" pour construire une solution F à la contrainte différentielle. Cette théorie a conduit récemment à la construction explicite de plongements isométriques $C^1$. Dans cet exposé, nous proposerons une formule alternative aux intégrations convexes et nous caractériserons également un type de relation différentielle pour laquelle la nouvelle formule se simplifie grandement. En application de ce résultat, nous donnerons une idée de construction d'une nouvelle immersion de $RP^2$ et nous énoncerons un théorème de plongement $C^1$-isométrique de type Nash-Kuiper dans le cas des applications totalement réelles.

Noncommutative tori are ubiquitous examples of noncommutative spaces. Following the seminal work of Connes-Tretkoff, Connes-Moscovici, and others a differential geometric apparatus is currently being built. So far the main focus has been on conformal deformation of the (flat) Euclidean metric or product of such metrics. A new challenge is the accounting of the non-triviality of the modular automorphism group due to the lack of commutativity.

This talk will report on ongoing work to deal with general Riemannian metrics on NC tori (in the sense of Jonathan Rosenberg). After explaining the construction of the Laplace-Beltrami operator in this setting, three main results will be presented. The first main result is a topological version of the Gauss-Bonnet theorem for NC tori. This extends the Gauss-Bonnet theorem of Connes-Tretkoff for conformally flat metrics. The second result is a microlocal Weyl law for noncommutative tori.This can be seen as a first step toward Quantum Ergocity on NC tori. The third result is a local index formula for NC 2-tori equipped with a (noncommutative) Kaelher structure.

The talk is based on a joint work with Gregory Edwards (University of Notre-Dame). We produce Ricci-flat Kähler metrics, in two complex dimensions, with cone singularities along three or more intersecting complex lines. We concentrate in the case when the angles strictly do not satisfy the Troyanov condition. As a result, we identify the tangent cone at the intersection point.

We first produce an approximate solution, with the desired singular behaviour. The main work is on inverting the Laplacian of such singular metrics.

Étant donné une marche aléatoire dans un groupe de type fini, le problème de la limite locale consiste à trouver une asymptotique précise de $pn$, la probabilité d'être revenu au point de départ au temps n. On discutera de ce problème dans le contexte des groupes hyperboliques et relativement hyperboliques. On montrera notamment qu'on obtient un équivalent de la forme $pn\sim CR^{-n}n^{-3/2}$. Pour obtenir ce résultat, on commencera par établir un équivalent précis de la fonction de Green à son rayon de convergence. Pour cela, on utilisera la machinerie du formalisme thermodynamique. On sera alors amené à discuter de structures automatiques et relativement automatiques.

CE SÉMINAIRE EST ANNULÉ (grève contre une réforme des retraites)

Nous verrons comment utiliser la version à poids des fonctionnelles classiques de géométrie kählérienne pour aborder l'analogue sasakien du problème de Calabi. Les résultats présentés sont issus d'un travail en cours avec V. Apostolov et D.J.M. Calderbank.

Dans cet exposé, on s'intéressera à des sous-variétés algébriques aléatoires dans la sphère euclidienne de dimension $n$. Ces sous-variétés sont obtenues comme lieu d'annulation de polynômes homogènes aléatoires de degré $d$ en $n+1$ variables, distribués selon une loi dite de Kostlan. On énoncera d'abord deux résultats donnant les asymptotiques de la moyenne et de la variance du volume de ces sous-variétés, lorsque $d\to\infty$. En dimension ambiante $n=1$, l'objet qui nous intéresse est l'ensemble des racines d'un certain polynôme aléatoire sur le cercle. Dans ce cas, on obtient une loi forte des grands nombres et un théorème central limite pour ce nombre de racines, dans la limite des grands degrés. Plus généralement, ces résultats sont valables pour un modèle de sous-variétés algébriques aléatoires dans une variété projective réelle. Cet exposé est basé sur des travaux en commun avec M. Ancona et M. Puchol.