Séminaire de géométrie (archives)

Il s'agit d'un travail en commun avec David Tewodrose (Cergy). Nous démontrons qu'un espace métrique mesuré possédant un noyau de la chaleur euclidien est en fait isométrique à l'espace Euclidien. Ce résultat a pour conséquence immédiate un résultat de presque rigidité. Ceci permet de donner une preuve d'un résultat de Colding à propos des variétés complètes à courbure de Ricci positive ou nulle dont la croissance du volume est presque Euclidienne.

J'expliquerai comment des méthodes d'analyse des EDP développées par Helffer et Sjöstrand dans les années 80-90 peuvent être adaptées à l'étude des propriétés statistiques des flots d'Anosov très réguliers et des fonctions zêtas associées. Il s'agit d'un travail en commun avec Yannick Guedes Bonthonneau.

Nous verrons comment utiliser la version à poids des fonctionnelles classiques de géométrie kählérienne pour aborder l'analogue sasakien du problème de Calabi. Les résultats présentés sont issus d'un travail en cours avec V. Apostolov et D.J.M. Calderbank.

Il s'agit d'un travail en commun avec Gabriel Rivière. Sur une surface à courbure négative, on montre que les séries de Poincaré comptant les arcs géodésiques orthogonaux à certaines courbes admettent un prolongement méromorphe au plan complexe. Quand ces courbes sont des géodésiques homologiquement triviales, nous montrons l'absence de pôles et la rationalité de la valeur en 0 en l'interprétant comme un nombre d'enlacement pour des nœuds Legendriens.

Nous montrerons comment une nouvelle inégalité reliant l'intégrale sur une variété et celle sur son bord d'une fonction $f$ satisfaisant $\Delta f\leq \lambda f$ permet de retrouver ou de produire de nouvelles estimations de valeurs propres d'opérateurs géométriques. Travail en commun avec Fida El Chami et Georges Habib, Université Libanaise.

La théorie de l'intégration convexe a été inventée dans les années 70 par Gromov. Elle permet de résoudre des contraintes différentielles vues comme un sous-ensemble de l'espace des jets et appelé relation différentielle. Dans le cas d'une relation d'ordre un, elle part de la donnée d'une section $(x,f(x),L(x))$ du fibré $J^1(M,W)\to M$ à image dans la relation et effectue une succession d'intégrations bien choisies, appelées "intégrations convexes" pour construire une solution F à la contrainte différentielle. Cette théorie a conduit récemment à la construction explicite de plongements isométriques $C^1$. Dans cet exposé, nous proposerons une formule alternative aux intégrations convexes et nous caractériserons également un type de relation différentielle pour laquelle la nouvelle formule se simplifie grandement. En application de ce résultat, nous donnerons une idée de construction d'une nouvelle immersion de $RP^2$ et nous énoncerons un théorème de plongement $C^1$-isométrique de type Nash-Kuiper dans le cas des applications totalement réelles.

Noncommutative tori are ubiquitous examples of noncommutative spaces. Following the seminal work of Connes-Tretkoff, Connes-Moscovici, and others a differential geometric apparatus is currently being built. So far the main focus has been on conformal deformation of the (flat) Euclidean metric or product of such metrics. A new challenge is the accounting of the non-triviality of the modular automorphism group due to the lack of commutativity.

This talk will report on ongoing work to deal with general Riemannian metrics on NC tori (in the sense of Jonathan Rosenberg). After explaining the construction of the Laplace-Beltrami operator in this setting, three main results will be presented. The first main result is a topological version of the Gauss-Bonnet theorem for NC tori. This extends the Gauss-Bonnet theorem of Connes-Tretkoff for conformally flat metrics. The second result is a microlocal Weyl law for noncommutative tori.This can be seen as a first step toward Quantum Ergocity on NC tori. The third result is a local index formula for NC 2-tori equipped with a (noncommutative) Kaelher structure.