D'après des théorèmes d'Anderson et Bando-Kasue-Nakajima de 1989, toute
limite non-effondrée au sens de Gromov-Hausdorff de variétés d'Einstein
est un orbifold d'Einstein. Cet énoncé laisse en suspens plusieurs
questions. Tous les orbifolds d'Einstein sont-ils limites de suites de
variétés d'Einstein ? Quelle structure peut-on donner à l'ensemble des
métriques d'Einstein ainsi complété ? Nous présentons des techniques
permettant de répondre partiellement à ces deux questions en montrant que
toute métrique d'Einstein proche d'un orbifold d'Einstein peut être
produite par un procédé de recollement-perturbation.
Burns et Katok ont conjecturé en 1985 que le spectre marqué des longueurs d'une variété riemannienne à courbure sectionnelle strictement négative — la suite des longueurs des géodésiques périodiques, repérées par leur classe d'homotopie libre — déterminait la métrique à isométrie près. Croke et Otal ont démontré indépendamment la conjecture pour les surfaces en 1990 mais, depuis, la question est restée largement ouverte en dimension supérieure. Je présenterai une preuve d'une version locale de la conjecture, valable en dimension quelconque et, sous certaines hypothèses, dans le cadre plus général des variétés à flot géodésique hyperbolique (aussi appelé Anosov dans la littérature). Il s'agit d'un travail en collaboration avec Colin Guillarmou.
On considère un produit tordu (skew-product) d'une application
dilatante du cercle par une fonction tau. C'est un modèle simple de
dynamique partiellement hyperbolique, faisant intervenir une direction
neutre comme le font les flots. Les résonances de Ruelle sont les
valeurs propres de l'opérateur de transfert dans des espaces
appropriés, elles fournissent des informations sur la dynamique
(décroissance des corrélations). Dans ce modèle l'opérateur de
transfert se réduit par analyse de Fourier en une famille
d'opérateurs, dont nous étudions la distribution des traces (plates)
des itérés dans une limite semi-classique, lorsque la fonction tau est
aléatoire.
La notion de représentations Anosov s'est révélée ces dernières
années comme un bon analogue de celle de représentations
convexe-cocompactes pour les espaces symétrique de rang supérieur. Nous
nous tâcherons dans un premier temps d'expliquer comment elles sont reliées
à la géométrie projective. Notre exposé s'articulera ensuite autour de
l'étude de différents invariants : exposants critiques, entropies, et
dimension de Hausdorff dans le cas général des sous-groupes de SL(n,R) et
dans celui plus spécifique des représentations de SO(p,q). Nous
présenterons enfin deux résultats de rigidités pour ces invariants. Ces
travaux sont en commun avec D. Monclair et D. Monclair -- N. Tholozan.
The horofunction boundary was introduced by Gromov in the late 1970s as a general way of
compactifying metric spaces. I will describe this boundary in the case of Teichmüller space, and
discuss what it tells us about the geometry of this space.
Il s'agit d'un travail effectué en collaboration avec C. Rose
(TU-Chemnitz). Le théorème de Bonnet-Myers implique qu'une variété
riemannienne complète dont la courbure de Ricci est minorée par une constante
strictement positive est compact et que son groupe fondamental est fini. Nous
avons obtenu la même conclusion à partir d'une hypothèse de positivité
spectrale d'un opérateur de Schrödinger de type Laplacien + courbure de Ricci.
On s'intéresse à la croissance des sommes de Birkhoff sous l'itération des
systèmes dynamiques, et plus particulièrement aux suites $Bn$ pour lesquelles
$Sn f/Bn$ converge en distribution vers une limite non triviale. La plupart
des résultats dans la littérature font intervenir des suites $Bn$ de la forme
$n^\alpha L(n)$ où L est à variation lente. Je parlerai de la vitesse de
croissance possible de $Bn$, à la fois pour des applications préservant une
mesure de probabilité et pour des applications conservatives en mesure
infinie. En particulier, je décrirai des exemples où $Bn$ croît plus vite que
tous les polynômes, ou où $B{n+1}/Bn$ ne tend pas vers 1.
