Séminaire de géométrie (archives)

The goal of this talk is to describe new constructions of four-dimensional, compact, negatively curved Einstein manifolds which are not locally homogeneous. Einstein metrics will be constructed on two main families of examples: ramified covers of compact hyperbolic four-manifolds with symmetries on the one hand, and quotients of such hyperbolic manifolds on the other hand. The Einstein metrics are obtained here through a deformation procedure. An approximate solution is obtained by interpolating between a model, black-hole conical Einstein metric and the hyperbolic metric. This is a joint work with J. Fine (ULB).

On considère un graphe orienté et pondéré avec des poids d’arêtes non symétriques et on introduit le Laplacien associé à ce graphe. Sous une con- dition de ”conductivité totale des sommets de graphe” on s’intéresse à l’étude du spectre essentiel du Laplacien, de la sectorialité et de la m-accrétivité du Laplacien.

Soit n>3, soit Fn un groupe libre de rang n, et soit Out(Fn) le groupe de ses automorphismes extérieurs. En 2007, Farb et Handel ont montré que tout isomorphisme entre deux sous-groupes d'indice fini de Out(Fn) est donné par la conjugaison par un élément de Out(Fn). C'est un théorème de rigidité, analogue pour Out(Fn) au théorème de rigidité de Mostow, qui affirme que Out(Fn) n'a pas plus de symétries que les symétries `évidentes' données par les automorphismes intérieurs. Dans un travail en commun avec Richard D. Wade, nous donnons une nouvelle démonstration du théorème de Farb et Handel, qui nous permet de le généraliser dans différentes directions, et en particulier d'établir un théorème de rigidité analogue pour un grand nombre de sous-groupes intéressants de Out(F_n).

D'après des théorèmes d'Anderson et Bando-Kasue-Nakajima de 1989, toute limite non-effondrée au sens de Gromov-Hausdorff de variétés d'Einstein est un orbifold d'Einstein. Cet énoncé laisse en suspens plusieurs questions. Tous les orbifolds d'Einstein sont-ils limites de suites de variétés d'Einstein ? Quelle structure peut-on donner à l'ensemble des métriques d'Einstein ainsi complété ? Nous présentons des techniques permettant de répondre partiellement à ces deux questions en montrant que toute métrique d'Einstein proche d'un orbifold d'Einstein peut être produite par un procédé de recollement-perturbation.

Burns et Katok ont conjecturé en 1985 que le spectre marqué des longueurs d'une variété riemannienne à courbure sectionnelle strictement négative — la suite des longueurs des géodésiques périodiques, repérées par leur classe d'homotopie libre — déterminait la métrique à isométrie près. Croke et Otal ont démontré indépendamment la conjecture pour les surfaces en 1990 mais, depuis, la question est restée largement ouverte en dimension supérieure. Je présenterai une preuve d'une version locale de la conjecture, valable en dimension quelconque et, sous certaines hypothèses, dans le cadre plus général des variétés à flot géodésique hyperbolique (aussi appelé Anosov dans la littérature). Il s'agit d'un travail en collaboration avec Colin Guillarmou.

On considère un produit tordu (skew-product) d'une application dilatante du cercle par une fonction tau. C'est un modèle simple de dynamique partiellement hyperbolique, faisant intervenir une direction neutre comme le font les flots. Les résonances de Ruelle sont les valeurs propres de l'opérateur de transfert dans des espaces appropriés, elles fournissent des informations sur la dynamique (décroissance des corrélations). Dans ce modèle l'opérateur de transfert se réduit par analyse de Fourier en une famille d'opérateurs, dont nous étudions la distribution des traces (plates) des itérés dans une limite semi-classique, lorsque la fonction tau est aléatoire.

La notion de représentations Anosov s'est révélée ces dernières années comme un bon analogue de celle de représentations convexe-cocompactes pour les espaces symétrique de rang supérieur. Nous nous tâcherons dans un premier temps d'expliquer comment elles sont reliées à la géométrie projective. Notre exposé s'articulera ensuite autour de l'étude de différents invariants : exposants critiques, entropies, et dimension de Hausdorff dans le cas général des sous-groupes de SL(n,R) et dans celui plus spécifique des représentations de SO(p,q). Nous présenterons enfin deux résultats de rigidités pour ces invariants. Ces travaux sont en commun avec D. Monclair et D. Monclair -- N. Tholozan.