Séminaire de géométrie (archives)

Burns et Katok ont conjecturé en 1985 que le spectre marqué des longueurs d'une variété riemannienne à courbure sectionnelle strictement négative — la suite des longueurs des géodésiques périodiques, repérées par leur classe d'homotopie libre — déterminait la métrique à isométrie près. Croke et Otal ont démontré indépendamment la conjecture pour les surfaces en 1990 mais, depuis, la question est restée largement ouverte en dimension supérieure. Je présenterai une preuve d'une version locale de la conjecture, valable en dimension quelconque et, sous certaines hypothèses, dans le cadre plus général des variétés à flot géodésique hyperbolique (aussi appelé Anosov dans la littérature). Il s'agit d'un travail en collaboration avec Colin Guillarmou.

On considère un produit tordu (skew-product) d'une application dilatante du cercle par une fonction tau. C'est un modèle simple de dynamique partiellement hyperbolique, faisant intervenir une direction neutre comme le font les flots. Les résonances de Ruelle sont les valeurs propres de l'opérateur de transfert dans des espaces appropriés, elles fournissent des informations sur la dynamique (décroissance des corrélations). Dans ce modèle l'opérateur de transfert se réduit par analyse de Fourier en une famille d'opérateurs, dont nous étudions la distribution des traces (plates) des itérés dans une limite semi-classique, lorsque la fonction tau est aléatoire.

La notion de représentations Anosov s'est révélée ces dernières années comme un bon analogue de celle de représentations convexe-cocompactes pour les espaces symétrique de rang supérieur. Nous nous tâcherons dans un premier temps d'expliquer comment elles sont reliées à la géométrie projective. Notre exposé s'articulera ensuite autour de l'étude de différents invariants : exposants critiques, entropies, et dimension de Hausdorff dans le cas général des sous-groupes de SL(n,R) et dans celui plus spécifique des représentations de SO(p,q). Nous présenterons enfin deux résultats de rigidités pour ces invariants. Ces travaux sont en commun avec D. Monclair et D. Monclair -- N. Tholozan.

The horofunction boundary was introduced by Gromov in the late 1970s as a general way of compactifying metric spaces. I will describe this boundary in the case of Teichmüller space, and discuss what it tells us about the geometry of this space.

Il s'agit d'un travail effectué en collaboration avec C. Rose (TU-Chemnitz). Le théorème de Bonnet-Myers implique qu'une variété riemannienne complète dont la courbure de Ricci est minorée par une constante strictement positive est compact et que son groupe fondamental est fini. Nous avons obtenu la même conclusion à partir d'une hypothèse de positivité spectrale d'un opérateur de Schrödinger de type Laplacien + courbure de Ricci.

On s'intéresse à la croissance des sommes de Birkhoff sous l'itération des systèmes dynamiques, et plus particulièrement aux suites $Bn$ pour lesquelles $Sn f/Bn$ converge en distribution vers une limite non triviale. La plupart des résultats dans la littérature font intervenir des suites $Bn$ de la forme $n^\alpha L(n)$ où L est à variation lente. Je parlerai de la vitesse de croissance possible de $Bn$, à la fois pour des applications préservant une mesure de probabilité et pour des applications conservatives en mesure infinie. En particulier, je décrirai des exemples où $Bn$ croît plus vite que tous les polynômes, ou où $B{n+1}/Bn$ ne tend pas vers 1.

Quasistatic dynamical systems (QDS), introduced by Dobbs and Stenlund around 2015, model dynamics that transform slowly over time due to external influences. They are generalizations of conventional dynamical systems and belong to the realm of deterministic non-equilibrium processes.

I will first define QDSs and then give an ergodic theorem, which is needed since the usual theorem of Birkhoff does not apply in the absence of invariant measures. After briefly explaining some applications of the ergodic theorem, I will give results on the statistical properties of a particular QDS in which the evolution of states is described by intermittent Pomeau-Manneville type maps. One of these results is a functional central limit theorem, obtained by solving a well-posed martingale problem, which (in a certain parameter range) describes statistical behavior as a stochastic diffusion process.

Boundaries of hyperbolic groups can tell you a great deal about the group. For instance, one can show two groups are not quasi-isometric by showing their boundaries are not homeomorphic. Paulin showed that under the right conditions you can show that two groups with homeomorphic boundaries are quasi-isometric. By restricting to rays satisfying the Morse property, one can define an analogous boundary for more general groups. Inspired by the theorem of Paulin, we give precise conditions for when a homeomorphism between the Morse boundaries of two groups is induced by a quasi-isometry of the groups themselves. This is joint work with Ruth Charney and Devin Murray.