Un domaine $f$-extrémal dans une variété $M$ est un domaine $\Omega$
qui admet une solution positive $u$ à l'équation $\Delta u+f(u)=0$ avec donnée
de Dirichlet nulle au bord et donnée de Neumann constante. Grâce à un résultat
de Serrin il est connu que dans $\mathbb R^n$ un tel domaine $f$-extrémal doit
être une boule. Dans cet exposé, je démontrerai qu'un domaine $f$-extrémal de
$\mathbb S^2$ qui est topologiquement un disque est nécessairement un disque
géodésique sous certaines hypothèses sur $f$.
Il s'agit d'un travail en commun avec J.M. Espinar.
Ce séminaire de géométrie, complètement à l'Ouest, réunit à Quimper, trois fois l'an, pour deux journées, le jeudi et le vendredi, des géomètres venus des régions Bretagne et Pays de Loire. Programme des 16-17 novembre
Les méthodes de recollement ont permis d'obtenir de nouveaux exemples de
métriques canoniques sur des variétés kählériennes, obtenues par exemple par
éclatement ou résolution de singularités d'un orbifold Kähler muni d'une
métrique à courbure scalaire constante ou extrémale.
L'objet de mes travaux est d'appliquer ces méthodes au cas plus général de
variétés presque-Kähler, autrement dit de variétés symplectiques munie d'une
structure presque complexe compatible mais non nécessairement intégrable.
Dans ce cadre, on construit des métriques à courbure hermitienne constante,
qui constituent une généralisation naturelle de la courbure scalaire dans le
cadre Kähler.
Une question naturelle à poser à un groupe discret qui agit
isométriquement sur un espace métrique est celle du comportement
asymptotique du nombre de points d'une de ses orbites avec des boules de
plus en plus grandes. Dans le cas de groupes de variétés hyperboliques, la
réponse à cette question est très liée au caractère chaotique du flot
géodésique. Nous décrirons les méthodes actuelles dans une première partie
de l'exposé ainsi que leur limites connues. On verra dans un second temps
que l'utilisation du mouvement brownien plutôt que le flot géodésique
donne également des estimées d'un côté plus faible mais de l'autre plus
générales.
Étant donnée une mesure de probabilité sur un groupe de type fini, on définit le bord de Martin de la marche aléatoire associée à l'aide de la fonction de Green. On obtient une compactification qui tient compte du comportement probabiliste de la marche et de la géométrie du groupe. On identifie le bord de Martin d'une marche à support fini sur un groupe Kleinéen : on montre qu'il coïncide avec le bord CAT(0) du groupe.
Une métrique extrémale, selon Calabi, est une métrique de
Kähler canonique: elle minimise la courbure au sein d'une classe de
Kähler donnée. Cette notion généralise celles de courbure scalaire
constante ou de Kähler-Einstein. La recherche de telles métriques donne
lieu à un problème variationnel dont les solutions devraient
correspondre, d'après la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, à des
variétés stable au sens de la théorie géométrique des invariants.
Dans cet exposé, on démontre qu'une variété projective munie d'une
métrique extrémale est asymptotiquement stable au sens de Chow,
confirmant une conjecture de Apostolov-Huang.
Comme applications, on obtient une preuve simplifiée de l'unicité d'une
métrique extrémale, ainsi qu'une généralisation du théorème de scission
d'Apostolov-Huang. Ceci est un travail en collaboration avec Yuji Sano
(Université de Fukuoka).
Let $X$ be a simply connected, complete Riemannian manifold with pinched negative sectional curvatures. The critical exponent $\delta\Gamma$ of a discrete group of isometries $\Gamma$ of $X$ is equal to the abscissa of convergence of the Poincaré series of $\Gamma$; and for a cocompact $\Gamma0$, this is given by the volume growth of $X$. (Moreover, if $X$ is a symmetric space then there is a relationship between $\delta\Gamma$ and the bottom of the spectrum of the Laplacian on $X/\Gamma$.) Using a more dynamical approach, we characterise the existence of a uniform gap $\delta\Gamma<\delta{\Gamma0}$ for a family of (infinite index) normal subgroups $\Gamma$ of $\Gamma0$, in terms of permutation representations given by the quotients $\Gamma0/\Gamma$.
We discuss recent developments on Gaussian upper bounds for the heat kernel depending on certain integral bounds for the
negative part of the Ricci curvature and connect them with the so called Kato condition, where the negative part of the Ricci curvature
will be considered as a perturbation of the Laplace-Beltrami operator.
