Séminaire de géométrie (archives)

La théorie des produits de matrices aléatoires initiée par Kesten et Furstenberg dans les années 1960-1970 et développée ultérieurement de façon considérable par l’école française et russe a connu dans les dernières années d'énormes applications aux graphes expanseurs, à la classification des mesures stationnaires sur les espaces homogènes, en approximation diophantienne …

La théorie des produits de matrices aléatoires est bien développée dans le cadre où le support de la mesure de probabilité sur le groupe général linéaire (sur un corps local quelconque) engendre un semi-groupe de matrices irréductible (hypothèse algébrique/géométrique) et proximal (hypothèse dynamique). Cela n’est pas indépendant du fait que la plupart des applications de cette théorie à présent concernent les marches aléatoires sur les groupes réductifs.

Dans cet exposé, nous présentons des résultats obtenus récemment avec Yves Guivarc’h où nous faisons abstraction de l’hypothèse d’irréductibilité tout en gardant une hypothèse dynamique (exposant de Lyapunov simple). Nous montrerons l’existence et l’unicité de la mesure stationnaire sur l'espace projectif en dehors d’un sous-espace projectif, mettant dans un même cadre les marches aléatoires dans le cas irréducible-proximal (i-p) et celles sur le groupe affine. Le cadre général étudié se trouve être en fait un mix entre le deux cas précédents: il s’agit essentiellement d’une marche aléatoire sur un espace fibré en affine au dessus d’un espace projectif où l’action est essentiellement i-p. Nous présentons des résultats décrivant le support de la mesure stationnaire et montrons sa régularité holdérienne. Enfin, nous mettons le point sur les questions qu’ouvre ce travail.

Cet exposé sera centré sur le résultat suivant, établi avec Cyril Lecuire et reposant sur de nombreuses contributions: un groupe de type fini quasi-isométrique au groupe fondamental d'une variété compacte de dimension trois contient un sous-groupe d'indice fini isomorphe au groupe fondamental d'une variété compacte de dimension trois.

It is well known that the Gauss map $T: [0,1] \setminus \mathbb{Q} \to [0,1] \setminus \mathbb{Q}$ given by $$T(x)= \frac{1}{x} \mod 1$$ has an absolutely continuous invariant probability measure $\muT$ given by $$\muT(A)= \frac{1}{\log 2} \int_A \frac{1}{1+x} dx.$$

Let $\mu{\mathbf{p}}$ denote the Bernoulli measure associated to the countable probability vector $\mathbf{p}$, projected to $[0,1]$ in the usual way. Kifer, Peres and Weiss showed that the Bernoulli measures for the Gauss map satisfy a \emph{dimension gap} meaning that there exists $c>0$ such that \begin{eqnarray} (1)\quad\sup{\mathbf{p}} \dim{\mathrm{H}} \mu{\mathbf{p}} < 1- c. \label{dimgap} \end{eqnarray} Moreover, they showed that $c \geq 10^{-7}$. Their proof was based on considering sets of large deviations for the asymptotic frequency of certain digits from the one prescribed by $\mu_T$.

In this talk we will discuss an alternative proof of (1) which instead reduces to obtaining good lower bounds on the asymptotic variance of a class of potentials.

Journée de lancement des Annales Henri Lebesgue infos

Depuis le début du 20e siècle, les groupes de torsion infinis ont été la source de nombreux développements en théorie des groupes : groupes de Burnside libres, monstre de Tarski, groupe de Grigorchuck, etc. D'un point de vue géométrique, on aimerait comprendre sur quel type d'espaces un tel groupe peut agir "raisonnablement" par isométries. Dans cet exposé, on étudiera le cas des espaces CAT(0) et plus précisément des complexes cubiques CAT(0). En particulier on présentera un exemple de groupe non moyennable muni d'une action propre sur un complexe cubique CAT(0). Le contenu de cet exposé est un travail en collaboration avec Vincent Guirardel.

Étant donnés deux convexes fermés proprement immergés dans une variété riemannienne de courbure strictement négative, nous montrons l'équidistribution (avec terme de reste), dans leurs fibrés normaux rentrants et sortants, des vecteurs tangents aux extrémités de leurs perpendiculaires communes de longueur tendant vers l'infini. Nous en déduisons par exemple une formule asymptotique pour le nombre de composantes connexes du domaine de discontinuité d'un groupe kleinéen quand leur diamètre tend vers 0. Ceci est un travail en commun avec Jouni Parkkonen.

Pour établir l'inégalité isopérimétrique dans le plan, Jakob Steiner introduit une transformation des ensembles du plan qui, tout en conservant les aires, diminue les périmètres. Cette opération, que nous appelons symétrisation, fut par la suite transposée à d'autres contextes, et utilisée là encore pour établir des inégalités isopérimétriques (F. Bernstein à la sphère, A. Ehrhard aux espaces gaussiens). Appliquée aux ensembles de niveau des fonctions, la symétrisation permet, dans les cadres précités, d'obtenir des inégalités dites de réarrangement, outils puissants pour établir des inégalités fonctionnelles.

Dans un premier temps, nous reviendrons sur ces opérations de symétrisation et de réarrangement en proposant un point de vue unifié pour les décrire. Puis nous proposerons une généralisation des ces opérations à d'autres cadres. Enfin, après avoir abordé certains outils de théorie géométrique de la mesure, nous exposerons un résultat de réarrangement dans des espaces produits.

We show that for arbitrary nonelementary actions $G\curvearrowright X$ of hyperbolic groups on Gromov hyperbolic spaces, translation length on average grows linearly in word length. In particular, the proportion of loxodromic elements in a large ball in the Cayley graph converges to 1. This holds even when the action is not in any sense alignment preserving: for example a dense free subgroup of $SL_2R$ acting on the hyperbolic plane, or a hyperbolic subgroup of the mapping class group acting on the curve complex. Along the way we describe the behavior in the space $X$ of typical word geodesics in the group: for example, with respect to the Patterson-Sullivan measure on the boundary group, the orbit of almost every word geodesic logarithmically tracks a geodesic in $X$. We prove analogous counting results for more general groups, including relatively hyperbolic groups with virtually abelian subgroups and right angled Artin and Coxeter groups. Our results hold more generally for automatic groups satisfying certain properties: groups parametrized by paths in a finite directed graph. Indeed, the automatic structure is what allows us to reduce the asymptotic geometry of the Cayley graph of $G$ to a certain Markov chain on a finite graph and a family of random walks on $G$ associated to vertices of the finite graph. This is joint work with Sam Taylor and Giulio Tiozzo.

Dans cet exposé, je discuterai la structure locale du champ de Teichmüller d'une variété réelle fixée M, qui code l'ensemble des structures complexes sur M à biholomorphisme isotope à l'identité près. J'expliquerai en particulier les différences entre les composantes kählériennes (i.e. correspondant à des structures kählériennes) et les composantes non kählériennes.