Séminaire de géométrie (archives)

Considérons un ellipsoïde et faisons tendre l'un de ses trois axes vers zéro : l'ellipsoïde s'aplatit et se rapproche d'une ellipse dans le plan formé par les deux autres axes. Comme l'avait remarqué Birkhoff, le flot géodésique sur l'ellipsoïde converge vers le flot de billard sur l'ellipse. En fait, ce phénomène est bien plus général : on énoncera un théorème analogue qui s'applique à presque n'importe quelle surface de R^3 que l'on aplatit selon un axe. De plus, si le billard obtenu à la limite est dispersif, alors le flot géodésique sur la surface est Anosov (les deux systèmes présentent alors le même type de dynamique chaotique). On utilisera enfin ce dernier résultat pour donner un nouvel exemple concret de système physique Anosov, un système articulé à cinq tiges.

Dans le contexte des graphes infinis, localement finis et pondérés, on s’intéresse à l’ étude des propriétés de l’opérateur discret de Gauss-Bonnet comme suite du travail de Colette Anné et Nabila Torki-Hamza. Plus précisément, on considère un opérateur de Gauss-Bonnet à image fermée qui est utile dans la décomposition de Hodge pour résoudre des problèmes tel que le problème de Kirchhoff.

De plus, on donne une version discrète de la notion importante de non-parabolicité à l’infini introduite par Gilles Carron pour les variétés Riemanniennes non-compactes, qui permet d’avoir un opérateur de Gauss-Bonnet "semi-Fredholm".

Depuis la fin des années 60 (avec les travaux de Kazdan et Margulis et de Wang), on sait que toute variété ou orbifold localement symétrique de type non-compact contient une boule plongée de rayon r(G) ne dépendant que du groupe des isométries G de son revêtement universel. Ceci implique en particulier l'existence d'une constante minorant le volume d'un quotient d'un espace symétrique fixé. Si on se fixe un tel espace, deux (au moins!) questions se posent alors naturellement: déterminer ce rayon maximal r(G) -ou au moins le borner- et déterminer le volume minimal de ses quotients, ainsi que les réseaux qui le réalisent.

En rang 1, les espaces symétriques de type non compact sont les espaces hyperboliques sur \R, \C, ainsi que sur les quaternions de Hamilton \H (et le plan sur les octaves de Cayley). Dans cet exposé, on abordera quelques propriétés extrémales des quotients de l'espace hyperbolique quaternionique.

L'espace des mesures de probabilités $\P2(\R^d)$ muni de la géométrie du transport optimal est communément appelé "espace de Wasserstein". Il est à courbure positive au sens d'Alexandrov ainsi que le sont les (hyper-)surfaces au bord des corps convexes des espaces euclidiens. On verra que contrairement aux espaces de dimension finie à courbure positive l'ensemble des points réguliers de $\P2(\R^d)$ (ceux dont le cône tangent est un espace de Hilbert) n'est pas géodésiquement convexe.

On étudiera l'ensemble des représentations Anosov d'un groupe discret agissant sur l'espace Anti de Sitter, et on montrera que cet ensemble est connexe. L'exposé sera l'occasion d'illustrer de différentes manières l'utilité des géodésiques de type temps dans les espaces-temps à courbure constante.

Le flot géodésique sur une variété de courbure négative (pas forcément constante) est un modèle de “dynamique très chaotique”. En utilisant l'analyse semi-classique on montrera que le champ de vecteur qui génère ce flot a un spectre discret intrinsèque dans des espaces de Sobolev spécifiques. Ce spectre, appelé “résonances de Ruelle”, gouverne l'expansion asymptotique des fonctions de corrélations dynamiques. Il est structuré en bandes séparées par des gaps. Nous expliquerons qu'une fonction “zêta semi-classique” (ou fonction “zêta de Gutzwiller Voros”) relie ce spectre aux longueurs des orbites fermées et qu'elle généralise la fonction zêta de Selberg au cas courbure non constante. On peut interpréter ces résultats en disant que la dynamique quantique émerge des fonctions de corrélations classiques. (Travail avec Johannes Sjöstrand et Masato Tsujii.)

I will report on some recent work with Swoboda, Weiss and Witt which aims to determine the detailed asymptotic structure of the hyperkähler metric on the moduli space of solutions of the Hitchin equation over a Riemann surface. This partially vindicates a conjectural (stringy) picture by Gaiotto-Moore-Neitzke.