Séminaire de géométrie (archives)

Durant cet exposé je détaillerai les liens qu'il y a entre l'asymptotique en temps petit du noyau de la chaleur aux points de coupure conjugués et le type de singularités de l'application exponentielle aux mêmes points [1,2]. Nous verrons des applications pour les métriques génériques en petites dimensions, à la fois pour ce qui concerne les singularités de l'exponentielle que le noyau de la chaleur [2].

[1] On the heat diffusion for generic Riemannian and sub-Riemannian structures, D. Barilari, U. Boscain, G. Charlot, R. Neel, arxiv.org/abs/1310.0911 [2] Small-time heat kernel asymptotics at the sub-Riemannian cut locus. D. Barilari, U. Boscain, R. Neel, J. Differential Geom. 92 (2012), no. 3, 373–416.

Considérons un ellipsoïde et faisons tendre l'un de ses trois axes vers zéro : l'ellipsoïde s'aplatit et se rapproche d'une ellipse dans le plan formé par les deux autres axes. Comme l'avait remarqué Birkhoff, le flot géodésique sur l'ellipsoïde converge vers le flot de billard sur l'ellipse. En fait, ce phénomène est bien plus général : on énoncera un théorème analogue qui s'applique à presque n'importe quelle surface de R^3 que l'on aplatit selon un axe. De plus, si le billard obtenu à la limite est dispersif, alors le flot géodésique sur la surface est Anosov (les deux systèmes présentent alors le même type de dynamique chaotique). On utilisera enfin ce dernier résultat pour donner un nouvel exemple concret de système physique Anosov, un système articulé à cinq tiges.

Dans le contexte des graphes infinis, localement finis et pondérés, on s’intéresse à l’ étude des propriétés de l’opérateur discret de Gauss-Bonnet comme suite du travail de Colette Anné et Nabila Torki-Hamza. Plus précisément, on considère un opérateur de Gauss-Bonnet à image fermée qui est utile dans la décomposition de Hodge pour résoudre des problèmes tel que le problème de Kirchhoff.

De plus, on donne une version discrète de la notion importante de non-parabolicité à l’infini introduite par Gilles Carron pour les variétés Riemanniennes non-compactes, qui permet d’avoir un opérateur de Gauss-Bonnet "semi-Fredholm".

Depuis la fin des années 60 (avec les travaux de Kazdan et Margulis et de Wang), on sait que toute variété ou orbifold localement symétrique de type non-compact contient une boule plongée de rayon r(G) ne dépendant que du groupe des isométries G de son revêtement universel. Ceci implique en particulier l'existence d'une constante minorant le volume d'un quotient d'un espace symétrique fixé. Si on se fixe un tel espace, deux (au moins!) questions se posent alors naturellement: déterminer ce rayon maximal r(G) -ou au moins le borner- et déterminer le volume minimal de ses quotients, ainsi que les réseaux qui le réalisent.

En rang 1, les espaces symétriques de type non compact sont les espaces hyperboliques sur \R, \C, ainsi que sur les quaternions de Hamilton \H (et le plan sur les octaves de Cayley). Dans cet exposé, on abordera quelques propriétés extrémales des quotients de l'espace hyperbolique quaternionique.

L'espace des mesures de probabilités $\P2(\R^d)$ muni de la géométrie du transport optimal est communément appelé "espace de Wasserstein". Il est à courbure positive au sens d'Alexandrov ainsi que le sont les (hyper-)surfaces au bord des corps convexes des espaces euclidiens. On verra que contrairement aux espaces de dimension finie à courbure positive l'ensemble des points réguliers de $\P2(\R^d)$ (ceux dont le cône tangent est un espace de Hilbert) n'est pas géodésiquement convexe.

On étudiera l'ensemble des représentations Anosov d'un groupe discret agissant sur l'espace Anti de Sitter, et on montrera que cet ensemble est connexe. L'exposé sera l'occasion d'illustrer de différentes manières l'utilité des géodésiques de type temps dans les espaces-temps à courbure constante.