Séminaire de géométrie (archives)

En relativité générale, les équations de contraintes déterminent les données initiales permettant de résoudre les équations d'Einstein comme un problème d'évolution. La méthode conforme - initiée par Choquet-Bruhat, Lichnerowicz et York - rend ces équations déterminées en les posant sous la forme d'un système d'équations elliptiques non-linéaires (sur)-critiques fortement couplé.

Nous étudierons dans cet exposé des propriété de stabilité de ce système elliptique. La notion de stabilité étudiée ici, définie comme une propriété de dépendance continue de l'ensemble des solutions du système en ses coefficients, se traduit en termes de pertinence physique de la méthode conforme dans la construction d'espace-temps solutions des équations d'Einstein. L'analyse de la stabilité du système des contraintes fait intervenir des techniques fines de blow-up et d'étude des défauts de compacité d'équations elliptiques critiques

Le groupe de tresse à n brins a un espace classifiant simplicial intéressant, découvert par Tom Brady. Le link de chaque sommet est isomorphe au complexe des partitions non croisées de n points. En munissant ce complexe de la métrique induite par un immeuble sphérique, je montrerai ainsi que le groupe de tresse est CAT(0) (à courbure négative ou nulle) pour n<=7.

Ceci est un travail en cours, en collaboration avec Dawid Kielak et Petra Schwer.

Dans son article "Supersymmetry and Morse theory" (Journal Diff. Geom. 1982) Witten a donné une nouvelle preuve analytique des célebres inegalités de Morse. La preuve de Witten etant inspirée par la théorie quantique des champs, elle possède de nombreuses applications et généralisations, notamment dans sa variante holomorphe. En outre elle a été utilisée dans les annees '90 par Bismut et Zhang dans leur preuve du théorème de comparaison entre torsion analytique et torsion topologique pour les variétés lisses.

Le but de cet exposé est d'expliquer la généralisation de la déformation de Witten au cas des espaces singuliers a singularités coniques munis d'une fonction de Morse radiale et au cas des courbes complexes munis d'une fonction de Morse stratifiée au sens de Goresky/MacPherson. Dans les deux cas on obtient comme premier résultat des inégalités de Morse pour la cohomologie L2 et l'homologie d'intersection. Un résultat beaucoup plus fort est la généralisation de la comparaison entre le complexe de Witten et le complexe de Morse-Thom-Smale pour ces deux situations.

La première partie de cet exposé donnera une introduction aux méthodes de Witten dans le cas classique.

In this talk, we describe how to obtain uncountably many periodic solutions to the singular Yamabe problem on a round sphere, that blow up along a great circle.

These are (complete) constant scalar curvature metrics on the complement of a circle inside S^m, m greater than 5, that are conformal to the round (incomplete) metric and periodic in the sense of being invariant under a discrete group of conformal transformations.

Furthermore, for 5 ≤ m ≤ 7, the solutions come from bifurcating branches of constant scalar curvature metrics on the compact quotient.

This is joint work with R. Bettiol (Notre Dame) and P. Piccione (USP).

From Gromov's h-principle for diffeomorphism-invariant open partial differential relations on open manifolds, we derive existence theorems on (pseudo-)Riemannian metrics whose curvatures satisfy certain inequalities. Some typical results: Let $M$ be an open manifold of dimension $n\geq2$. For every real-valued continuous function $f$ on $M$, there is a (possibly incomplete) Riemannian metric with Ricci curvature greater than $f$. Let $\lambda1\leq\dots\leq\lambda{n(n-1)/2}$ and $\eps>0$ be real numbers. If $M$ is parallelizable, then $M$ admits a Riemannian metric $g$ such that pointwise the eigenvalues $\sigma1\leq\dots\leq\sigma{n(n-1)/2}$ of the curvature operator of $g$ satisfy $\lambdai<\sigmai<\lambda_i+\eps$. This is joint work with Marc Nardmann.

Considérons X une variété Kaehlerienne compacte et D un diviseur sur X. On étudie les équations de Monge-Ampère complexes sur la variété quasi-projective X\D, en établissant des estimées à priori uniformes qui généralisent les célèbres estimées à la fois de Yau et de Kolodziej. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Chinh Hoang Lu.

La conjecture de Milnor dit que tout groupe de transformations affines agissant de façon proprement discontinue est virtuellement résoluble. Pour le moment, les seuls contre-exemples connus sont ceux donnés par Abels, Margulis et Soifer en 2002 : ce sont des sous-groupes libres du groupe affine produit semi-direct de $SO(2n+2, 2n+1)$ par $mathbb{R}^{4n+3}$. Nous allons montrer comment adapter cette construction au groupe affine produit semi-direct de n'importe quel groupe de Lie réel semisimple non compact par sa propre algèbre de Lie (pour l'action adjointe).

Intersection cohomology, or IH*, is a topological tool defined in the 1980s to investigate a class of singular spaces called pseudo manifolds. Every point on a pseudo manifold, X, has a neighbourhood that looks like a disk cross the cone on a lower dimensional pseudo manifold called the link at that point. IH*(X) arises from a local upper truncation of the link cohomology. Several Hodge theorems have been proved relating IH(X) to harmonic forms for finite volume metrics on the regular part of X.

HI cohomology is a new cohomology theory for pseudo manifolds defined by M. Banagl based on the idea of co-truncation in the links, that is, using a lower truncation in the link cohomology. This talk will describe ongoing work relating this cohomology to harmonic forms for infinite volume metrics on the regular part of X.

(Joint work with M. Banagl)

I will give a short introduction into spectral zeta functions for manifolds and domains and explain the relation between heat kernel bounds, finite propagation speed bounds, and bounds for the spectral zeta function. In principle these results can be used to compute the spectral determinant rather accurately with rigorous error estimates. I will discuss briefly some questions about extremal properties of spectral zeta functions.