Séminaire de géométrie (archives)

Motivé par l'analyse du noyau de Bergman d'un domaine strictement pseudo-convexe, Charles Fefferman a lance vers la fin des années 70 le programme de déterminer tous les invariants biholomorphes locaux d'un domaine strictement pseudo-convexe. Ce programme a depuis évolue pour inclure d'autres géométries paraboliques telle que la géométrie conforme. Les fonctions de Green jouent un rôle important en géométrie conforme a l'interface des EDP et de la géométrie différentielle. Dans cet expose, je vais expliquer comment calculer explicitement les singularités logarithmiques des fonctions de Green des puissances conformes du Laplacien. Ces opérateurs inclus les opérateurs de Yamabe et Paneitz, et plus généralement les opérateurs GJMS de Graham et al, mais aussi les puissances fractionnaires obtenues a partir de la théorie du scattering pour les métriques asymptotiquement hyperboliques. Les résultats sont formules en termes d'invariant conformes définis a partir de la métrique ambiante de Fefferman-Graham. Comme application on obtient une caractérisation spectrale des classes conformes des sphères. Bien que les problèmes et les formules finales n'invoquent qu'analyse et géométrie, les calculs utilisent la théorie des représentations de façon essentielle.

Une cône-variété est une variété riemannienne dont la métrique présente des singularités de type conique, i.e. est asymptotique à celle du produit d'un cône avec un ouvert de R^n. De tels objets apparaissent naturellement en géométrie hyperbolique, en géométrie complexe, et en physique théorique. Dans cet exposé je présenterai les résultats récents sur l'existence de métriques coniques Einstein, dans le cas Kähler, où le problème est bien compris, et dans le cas réel, où l’on connaît beaucoup moins de choses au-delà de la dimension 3.

TBA

La factorisation de Birkhoff consiste, étant donnée une fonction G du cercle unité S^1 dans GL_N, à trouver deux fonctions à valeurs matricielles Y+ et Y- holomorphes respectivement à l'intérieur et à l'extérieur du cercle telles que sur le cercle Y+=(Y-)G.

Nous verrons comment on peut déformer cette factorisation en faisant agir des difféomorphismes du cercle sur G. Ces déformations sont gouvernées par un système intégrable, que l'on appellera système de Schlesinger universel, qui fournit une généralisation de dimension infinie du système de Schlesinger classique (décrivant les déformations isomonodromiques de systèmes fuchsiens).

Nous verrons également comment le système de Schlesinger universel décrit des déformations de surfaces minimales du type du disque à bord analytique, et comment il pourrait intervenir dans une résolution plus constructive du problème de Plateau par des systèmes intégrables.

A la fin des années 60, G. Margulis montre dans sa thèse comment la propriété de mélange du flot géodésique sur une variété compacte de courbure négative (pour une mesure - éponyme) entraîne l'existence d'un équivalent du volume des boules dans le revêtement universel de la variété. Dans un travail récent, nous donnons des conditions nécessaires (et faiblement suffisantes, au sens où il existe des contre-exemples si elles ne sont pas satisfaites) pour que l'existence d'un équivalent asymptotique persiste lorsque l'on considère des variétés de volume fini. Nous motiverons ce travail par une discussion préliminaire, de sorte à s'adresser à un public (relativement) large et nous discuterons également de l'asymptotique de la fonction de comptage du groupe.

(Travail en collaboration avec F. Dal'Bo, M. Peigné et A. Sambusetti)

J'expliquerai dans cette séance comment les systèmes intégrables permettent d'obtenir des résultats d'unicité en géométrie. Le cadre idéal pour cette technique est l'espace des applications harmoniques périodiques à valeur dans S(2) ou S(3) (i.e. des anneaux et des tores minimaux dans S(2)xR ou S(3)).

L'espace des applications harmoniques périodiques est paramétré par un espace modulaire de surfaces de Riemann hyperelliptiques (courbes spectrales) et de 1-formes méromorphes associées au problème de période via un système intégrable dit "de Lax".

Cette reformulation algébrique induit sur l'espace modulaire des anneaux minimaux une topologie dans laquelle la propriété géométrique d'être Alexandrov plongée est ouverte. L'étude de la connexité de cette espace modulaire permet de démontrer des théorèmes d'unicité/rigidité des anneaux Alexandrov plongés.

En particulier nous donnerons une nouvelle preuve de la conjecture de Lawson (démontré par Brendle et Andrews Li) de l'unicité du tore de Clifford et de la classification des tores de courbure moyenne constante de S(3).