Séminaire de géométrie (archives)

On sait depuis les travaux de Cheng que sur une surface compacte donnée, la multiplicité de la 2e valeur propre d'un opérateur de Schrödinger est majorée indépendamment de la métrique et du potentiel. Dans les années 80, Yves Colin de Verdière a mis en lumière un lien (encore assez largement conjecturel) entre cette borne sur la multiplicité et le nombre chromatique de la surface. Récemment, ce problème de multiplicité a été étudié pour le spectre de Steklov (c-a-d le spectre de l'opérateur Dirichlet-Neumann) sur les surfaces à bord. Dans cet exposé, on présentera ces différents résultats et on introduira un nouvel invariant chromatique des surfaces à bord qui permet d'étendre la conjecture de Colin de Verdière au spectre de Steklov.

On s'intéresse à un modèle de billard dans le plan introduit par les physiciens Ehrenfest-Ehrenfest (1912) et Hardy-Weber (1980) : dans le plan euclidien sont disposés régulièrement le long du réseau Z^2 des rectangles de taille fixée (a,b). On considère le billard dans le complémentaire de ces rectangles : une particule se déplace en ligne droite en rebondit de manière élastique sur les obstacles (voir le dessin ci-dessous). Lorsqu'on remplace les obstacles rectangulaires par des boules il s'agit du modèle périodique du gaz de Lorenz. Dans ce cas, les trajectoires s'apparente à des marches aléatoires; on a en particulier une vitesse de diffusion en T^(1/2) (penser au théorème central limite). Dans le cas du modèle d'Ehrenfest, les corrélations sont très fortes et nous verrons que la vitesse de diffusion est en T^(2/3). La preuve de ce résultat repose sur la renormalisation des flots de translation par le flot de Teichmueller.

Let G be a torsion-free, discrete subgroup of either the isometry group of quaternionic or Cayley hyperbolic space; that is, up to isogeny, $G < Sp(n;1)$ for $n \geq 2$ or $G < F4^{-20}$. We prove that if G contains no parabolics then there is a gap in the possible homological dimension $hd(G)$ of $G$. Namely, if $G < Sp(n;1)$, either $hd(G) = 4n$ or $hd(G)\leq 4n-2$, and if $G < F4^{-20}$, then either $hd(G) = 16$ or $hd(G)\leq 12$. This result does not hold in the real or complex hyperbolic cases, or if $G$ is allowed to have parabolics (even for subgroups of lattices). Our method requires a generalization of work of Besson–Courtois–Gallot on estimates of p–Jacobians of natural maps. We also generalize an inequality of M. Kapovich between the homological dimension and critical exponent for discrete subgroups of the isometry group of real hyperbolic n–space. This is joint work with Benson Farb and Ben McReynolds.

Motivé par l'analyse du noyau de Bergman d'un domaine strictement pseudo-convexe, Charles Fefferman a lance vers la fin des années 70 le programme de déterminer tous les invariants biholomorphes locaux d'un domaine strictement pseudo-convexe. Ce programme a depuis évolue pour inclure d'autres géométries paraboliques telle que la géométrie conforme. Les fonctions de Green jouent un rôle important en géométrie conforme a l'interface des EDP et de la géométrie différentielle. Dans cet expose, je vais expliquer comment calculer explicitement les singularités logarithmiques des fonctions de Green des puissances conformes du Laplacien. Ces opérateurs inclus les opérateurs de Yamabe et Paneitz, et plus généralement les opérateurs GJMS de Graham et al, mais aussi les puissances fractionnaires obtenues a partir de la théorie du scattering pour les métriques asymptotiquement hyperboliques. Les résultats sont formules en termes d'invariant conformes définis a partir de la métrique ambiante de Fefferman-Graham. Comme application on obtient une caractérisation spectrale des classes conformes des sphères. Bien que les problèmes et les formules finales n'invoquent qu'analyse et géométrie, les calculs utilisent la théorie des représentations de façon essentielle.

Une cône-variété est une variété riemannienne dont la métrique présente des singularités de type conique, i.e. est asymptotique à celle du produit d'un cône avec un ouvert de R^n. De tels objets apparaissent naturellement en géométrie hyperbolique, en géométrie complexe, et en physique théorique. Dans cet exposé je présenterai les résultats récents sur l'existence de métriques coniques Einstein, dans le cas Kähler, où le problème est bien compris, et dans le cas réel, où l’on connaît beaucoup moins de choses au-delà de la dimension 3.

TBA

La factorisation de Birkhoff consiste, étant donnée une fonction G du cercle unité S^1 dans GL_N, à trouver deux fonctions à valeurs matricielles Y+ et Y- holomorphes respectivement à l'intérieur et à l'extérieur du cercle telles que sur le cercle Y+=(Y-)G.

Nous verrons comment on peut déformer cette factorisation en faisant agir des difféomorphismes du cercle sur G. Ces déformations sont gouvernées par un système intégrable, que l'on appellera système de Schlesinger universel, qui fournit une généralisation de dimension infinie du système de Schlesinger classique (décrivant les déformations isomonodromiques de systèmes fuchsiens).

Nous verrons également comment le système de Schlesinger universel décrit des déformations de surfaces minimales du type du disque à bord analytique, et comment il pourrait intervenir dans une résolution plus constructive du problème de Plateau par des systèmes intégrables.