Séminaire de géométrie (archives)

From Gromov's h-principle for diffeomorphism-invariant open partial differential relations on open manifolds, we derive existence theorems on (pseudo-)Riemannian metrics whose curvatures satisfy certain inequalities. Some typical results: Let $M$ be an open manifold of dimension $n\geq2$. For every real-valued continuous function $f$ on $M$, there is a (possibly incomplete) Riemannian metric with Ricci curvature greater than $f$. Let $\lambda1\leq\dots\leq\lambda{n(n-1)/2}$ and $\eps>0$ be real numbers. If $M$ is parallelizable, then $M$ admits a Riemannian metric $g$ such that pointwise the eigenvalues $\sigma1\leq\dots\leq\sigma{n(n-1)/2}$ of the curvature operator of $g$ satisfy $\lambdai<\sigmai<\lambda_i+\eps$. This is joint work with Marc Nardmann.

Considérons X une variété Kaehlerienne compacte et D un diviseur sur X. On étudie les équations de Monge-Ampère complexes sur la variété quasi-projective X\D, en établissant des estimées à priori uniformes qui généralisent les célèbres estimées à la fois de Yau et de Kolodziej. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Chinh Hoang Lu.

La conjecture de Milnor dit que tout groupe de transformations affines agissant de façon proprement discontinue est virtuellement résoluble. Pour le moment, les seuls contre-exemples connus sont ceux donnés par Abels, Margulis et Soifer en 2002 : ce sont des sous-groupes libres du groupe affine produit semi-direct de $SO(2n+2, 2n+1)$ par $mathbb{R}^{4n+3}$. Nous allons montrer comment adapter cette construction au groupe affine produit semi-direct de n'importe quel groupe de Lie réel semisimple non compact par sa propre algèbre de Lie (pour l'action adjointe).

Intersection cohomology, or IH*, is a topological tool defined in the 1980s to investigate a class of singular spaces called pseudo manifolds. Every point on a pseudo manifold, X, has a neighbourhood that looks like a disk cross the cone on a lower dimensional pseudo manifold called the link at that point. IH*(X) arises from a local upper truncation of the link cohomology. Several Hodge theorems have been proved relating IH(X) to harmonic forms for finite volume metrics on the regular part of X.

HI cohomology is a new cohomology theory for pseudo manifolds defined by M. Banagl based on the idea of co-truncation in the links, that is, using a lower truncation in the link cohomology. This talk will describe ongoing work relating this cohomology to harmonic forms for infinite volume metrics on the regular part of X.

(Joint work with M. Banagl)

I will give a short introduction into spectral zeta functions for manifolds and domains and explain the relation between heat kernel bounds, finite propagation speed bounds, and bounds for the spectral zeta function. In principle these results can be used to compute the spectral determinant rather accurately with rigorous error estimates. I will discuss briefly some questions about extremal properties of spectral zeta functions.

L’étude du flot de Ricci passe très souvent par la compréhension des conditions de positivité sur le tenseur de courbure qui sont stables sous l’action du flot de Ricci. Un principe du du maximum dû à Hamilton montre que l’étude des ces « conditions invariantes » revient à l’étude de certains cônes invariants sous le flot d’un champ de vecteur sur l’espace des « opérateur de courbure algébriques ». Dans l’exposé on verra des résultats montrant certaines restrictions sur la taille de ces cônes invariants, en particulier ils ne peuvent pas contenir dans leur intérieur l’opérateur de courbure de CP^n, à l’exception cône des opérateurs à courbure scalaire positive.

On exposera un résultat de classification des surfaces à courbure de Gauss constante positive dans l'espace euclidien dont la structure conforme extrinsèque est celle d'un domaine circulaire et dont l'application de Gauss est un difféomorphisme sur la sphère privée d'un nombre fini de points. On donnera des applications à l'existence de difféomorphismes harmoniques entre certains domaines de la sphère ainsi qu'à l'espace des solutions d'une équation de type Monge-Ampère sur la sphère. La preuve du résultat principal exploite la solution du problème de Minkowski. On expliquera également comment cette idée permet de prouver l'existence d'une large famille de nouvelles surfaces capillaires contenues dans des polyèdres convexes de l'espace euclidien.

Un inégalité isopérimétrique sur une variété est une minoration du volume du bord de tout domaine en fonction du volume du domaine lui-même. On connait l'inégalité isopérimétrique optimale pour chacune des variétés à courbure constante (sphères, espace euclidien, espaces hyperboliques), et on constate facilement que plus leur courbure est basse, plus l'inégalité isopérimétrique est forte. Il a donc naturellement été conjecturé que, sous des hypothèses raisonnables (simple connexité, ...), toute variété de courbure majorée par k devrait satisfaire à l'inégalité isopérimétrique de la variété modèle à courbure k.

Seuls quelques cas de cette conjecture sont actuellement résolus : dimension 2 (Weil et Aubin notamment), 3 (Kleiner) et 4 pour k=0 (Croke).

Le but de cet exposé est de présenter les idées d'une preuve de la conjecture ci-dessus en dimension 2 et 4 pour k>0, ainsi qu'une réponse partielle pour k<0. Ce résultat a été obtenu en collaboration avec G. Kuperberg (Université de Californie à Davis).