La factorisation de Birkhoff consiste, étant donnée une fonction G du cercle unité S^1 dans GL_N, à trouver deux fonctions à valeurs matricielles Y+ et Y- holomorphes respectivement à l'intérieur et à l'extérieur du cercle telles que sur le cercle Y+=(Y-)G.
Nous verrons comment on peut déformer cette factorisation en faisant agir des difféomorphismes du cercle sur G. Ces déformations sont gouvernées par un système intégrable, que l'on appellera système de Schlesinger universel, qui fournit une généralisation de dimension infinie du système de Schlesinger classique (décrivant les déformations isomonodromiques de systèmes fuchsiens).
Nous verrons également comment le système de Schlesinger universel décrit des déformations de surfaces minimales du type du disque à bord analytique, et comment il pourrait intervenir dans une résolution plus constructive du problème de Plateau par des systèmes intégrables.
A la fin des années 60, G. Margulis montre dans sa thèse comment la propriété de mélange du flot géodésique sur une variété compacte de courbure négative (pour une mesure - éponyme) entraîne l'existence d'un équivalent du volume des boules dans le revêtement universel de la variété. Dans un travail récent, nous donnons des conditions nécessaires (et faiblement suffisantes, au sens où il existe des contre-exemples si elles ne sont pas satisfaites) pour que l'existence d'un équivalent asymptotique persiste lorsque l'on considère des variétés de volume fini. Nous motiverons ce travail par une discussion préliminaire, de sorte à s'adresser à un public (relativement) large et nous discuterons également de l'asymptotique de la fonction de comptage du groupe.
(Travail en collaboration avec F. Dal'Bo, M. Peigné et A. Sambusetti)
J'expliquerai dans cette séance comment les systèmes intégrables
permettent d'obtenir des résultats d'unicité en géométrie. Le cadre
idéal pour cette technique est l'espace des applications harmoniques périodiques
à valeur dans S(2) ou S(3) (i.e. des anneaux et des tores minimaux dans S(2)xR ou S(3)).
L'espace des applications harmoniques périodiques est paramétré par un espace modulaire de surfaces
de Riemann hyperelliptiques (courbes spectrales) et de 1-formes méromorphes associées au problème de période
via un système intégrable dit "de Lax".
Cette reformulation algébrique induit sur l'espace modulaire des anneaux minimaux une topologie dans laquelle la propriété géométrique d'être Alexandrov plongée est ouverte. L'étude de la connexité de cette espace modulaire
permet de démontrer des théorèmes d'unicité/rigidité des anneaux Alexandrov plongés.
En particulier nous donnerons une nouvelle preuve de la conjecture de Lawson (démontré par Brendle et Andrews Li)
de l'unicité du tore de Clifford et de la classification des tores de courbure moyenne constante de S(3).
Il existe depuis une quinzaine d'années diverses formules paramétrant les surfaces de R^3 ou R^4 (et quelques autres variétés homogènes) au moyen de quantités «spinorielles», qui vérifient une équation dite de Dirac (travaux de Taimanov, Konopelchenko, Kusner, Schmitt etc.). L'objectif de cet exposé est d'expliquer d'où viennent ces formules et en quoi elles sont reliées à la théorie «classique» des spineurs, notamment aux travaux de Friedrich, Roth et al. sur les spineurs de Killing induits.
Une version géométrique (restreinte et imprécise) du théorème de superrigidité de Margulis affirme qu' un réseau dans un groupe de Lie semi-simple sans facteur compact n'agit que sur un unique espace symétrique de type non-compact : celui associé au groupe de Lie.
Nous verrons des espaces riemanniens symétriques de dimension infinie qui ont la remarquable propriété d'être de rang fini. A l'aide d'applications harmoniques pour des espaces métriques, nous verrons que la conclusion du théorème de superrigidité est encore vraie dans ce cas.
