Séminaire de géométrie (archives)

Les variétés harmoniques sont celles pour lesquelles les fonctions harmoniques ont la propriété de la moyenne. Dans cet exposé nous nous intéresseront à une version asymptotique de cette propriété introduite par F. Ledrappier. Les variétés asymptotiquement harmoniques ont été essentiellement étudiées dans les cas cocompact ou homogène. Nous verrons que dans le cas général cette propriété fournit de nombreuse informations sur la géométrie asymptotique de la variété, et nous en donneront une caractérisation à l'aide du comportement asymptotique de la forme volume. Ce travail est une collaboration avec Andrea Sambusetti.

Mon objectif sera d'énoncer un résultat de compacité pour l'espace de modules des équations de Seiberg-Witten des 4-variétés a bouts périodiques (vérifiant certaines conditions). Dans ce but, je prouverai aussi la Fredholmité de certains opérateurs elliptiques qui sont apparu dans le cadre de mes recherches.

L'existence des métriques hyperkälériennes avec torsion sur des variétés hypercomplexes de dimension 8

Résumé: Dans cet exposé, je vais introduire la notion de métriques hyperkälériennes avec torsion (HKT) sur des variétés hypercomplexes. Ces métriques présentent des propriétés analogues à celles des métriques kählériennes sur des variétés complexes. Le but de l'exposé est de montrer qu'une variété hypercomplexe compacte de dimension 8, avec l'holonomie de la connection d'Obata dans SL(2,H), admet une métrique HKT si et seulement si H^{0,1} est paire. Ceci est l'analagoue au résultat de Buchdahl et Lamari qui dit qu'une surface compacte complexe est kählérienne si et seulement si le premier nombre de betti est paire.

Nous étudierons la convergence spectrale du Laplacien de Hodge agissant sur les formes différentielles d'une variété riemannienne compacte lors d'une perturbation consistant en l'effondrement d'une partie de cette variété.

Le problème de rigidité du bord est un problème inverse où l'on demande si, sur une variété Riemannienne à bord, l'ensemble des longueurs des géodésiques qui relient les points du bord détermine la métrique à isométrie près. On discutera de ce problème en courbure négative. La transformée rayon X apparaît naturellement en lien avec cette question.

Les surfaces piégées ont été introduites par R. Penrose en 1965 pour prouver l'existence de singularités des solutions des équations de la relativité générale d'Einstein.

Le concept voisin de surfaces marginalement piégées décrit l'horizon apparent d'un trou noir. Mathématiquement, ces surfaces sont définies par une propriété naturelle de leur courbure : leur vecteur de courbure moyenne est de "type-lumière", c'est-à-dire que sa norme est nulle. Après avoir introduit les concepts de vecteur de courbure moyenne, et motivé la définition de surface marginalement piégée, on décrira des résultats récents qui donnent une description locale des surfaces marginalement piégées dans plusieurs espaces ambiants (espaces de Sitter et anti de Sitter, espaces produits, espaces de Robertson-Walker). Il s'agit de travaux en collaboration avec Y. Godoy (Université de Córdoba, Argentine) et N. Cipriani (KU Leuven, Belgique).