Séminaire de géométrie (archives)

Mon objectif sera d'énoncer un résultat de compacité pour l'espace de modules des équations de Seiberg-Witten des 4-variétés a bouts périodiques (vérifiant certaines conditions). Dans ce but, je prouverai aussi la Fredholmité de certains opérateurs elliptiques qui sont apparu dans le cadre de mes recherches.

L'existence des métriques hyperkälériennes avec torsion sur des variétés hypercomplexes de dimension 8

Résumé: Dans cet exposé, je vais introduire la notion de métriques hyperkälériennes avec torsion (HKT) sur des variétés hypercomplexes. Ces métriques présentent des propriétés analogues à celles des métriques kählériennes sur des variétés complexes. Le but de l'exposé est de montrer qu'une variété hypercomplexe compacte de dimension 8, avec l'holonomie de la connection d'Obata dans SL(2,H), admet une métrique HKT si et seulement si H^{0,1} est paire. Ceci est l'analagoue au résultat de Buchdahl et Lamari qui dit qu'une surface compacte complexe est kählérienne si et seulement si le premier nombre de betti est paire.

Nous étudierons la convergence spectrale du Laplacien de Hodge agissant sur les formes différentielles d'une variété riemannienne compacte lors d'une perturbation consistant en l'effondrement d'une partie de cette variété.

Le problème de rigidité du bord est un problème inverse où l'on demande si, sur une variété Riemannienne à bord, l'ensemble des longueurs des géodésiques qui relient les points du bord détermine la métrique à isométrie près. On discutera de ce problème en courbure négative. La transformée rayon X apparaît naturellement en lien avec cette question.

Les surfaces piégées ont été introduites par R. Penrose en 1965 pour prouver l'existence de singularités des solutions des équations de la relativité générale d'Einstein.

Le concept voisin de surfaces marginalement piégées décrit l'horizon apparent d'un trou noir. Mathématiquement, ces surfaces sont définies par une propriété naturelle de leur courbure : leur vecteur de courbure moyenne est de "type-lumière", c'est-à-dire que sa norme est nulle. Après avoir introduit les concepts de vecteur de courbure moyenne, et motivé la définition de surface marginalement piégée, on décrira des résultats récents qui donnent une description locale des surfaces marginalement piégées dans plusieurs espaces ambiants (espaces de Sitter et anti de Sitter, espaces produits, espaces de Robertson-Walker). Il s'agit de travaux en collaboration avec Y. Godoy (Université de Córdoba, Argentine) et N. Cipriani (KU Leuven, Belgique).

Dans cet exposé je vais présenter un travail fait en collaboration avec R. Mazzeo et F. Pacard sur la construction de sous-variétés de courbure moyenne constante en codimension quelconque dans les variétés riemanniennes munies de métriques génériques. Notre résultat est une généralisation du théorème de R. Ye qui construit des familles d'hypersurfaces de courbure moyenne constante qui sont des petites déformations de sphères géodésiques centrées en des points critiques non-dégénérés de la courbure scalaire et d'un travail plus récent de F. Pacard et X. Xu où de telles hypersurfaces sont obtenues autours de points critiques d'un autre invariant de courbure.

En codimension quelconque, on définit les sous-variétés de courbure moyenne constante comme les bords des sous-variétés qui sont des points critiques d'une certaine énergie. En utilisant des techniques développées par Pacard et Xu, on construit telles sous-variétés autours des points critiques d'une fonctionnelle, qu'on appelle la courbure scalaire partielle, qui est définie sur le fibré grassmanien de la variété ambiante et coïncide avec la courbure scalaire dans le cas de codimension 1.