Séminaire de géométrie (archives)

L’étude du flot de Ricci passe très souvent par la compréhension des conditions de positivité sur le tenseur de courbure qui sont stables sous l’action du flot de Ricci. Un principe du du maximum dû à Hamilton montre que l’étude des ces « conditions invariantes » revient à l’étude de certains cônes invariants sous le flot d’un champ de vecteur sur l’espace des « opérateur de courbure algébriques ». Dans l’exposé on verra des résultats montrant certaines restrictions sur la taille de ces cônes invariants, en particulier ils ne peuvent pas contenir dans leur intérieur l’opérateur de courbure de CP^n, à l’exception cône des opérateurs à courbure scalaire positive.

On exposera un résultat de classification des surfaces à courbure de Gauss constante positive dans l'espace euclidien dont la structure conforme extrinsèque est celle d'un domaine circulaire et dont l'application de Gauss est un difféomorphisme sur la sphère privée d'un nombre fini de points. On donnera des applications à l'existence de difféomorphismes harmoniques entre certains domaines de la sphère ainsi qu'à l'espace des solutions d'une équation de type Monge-Ampère sur la sphère. La preuve du résultat principal exploite la solution du problème de Minkowski. On expliquera également comment cette idée permet de prouver l'existence d'une large famille de nouvelles surfaces capillaires contenues dans des polyèdres convexes de l'espace euclidien.

Un inégalité isopérimétrique sur une variété est une minoration du volume du bord de tout domaine en fonction du volume du domaine lui-même. On connait l'inégalité isopérimétrique optimale pour chacune des variétés à courbure constante (sphères, espace euclidien, espaces hyperboliques), et on constate facilement que plus leur courbure est basse, plus l'inégalité isopérimétrique est forte. Il a donc naturellement été conjecturé que, sous des hypothèses raisonnables (simple connexité, ...), toute variété de courbure majorée par k devrait satisfaire à l'inégalité isopérimétrique de la variété modèle à courbure k.

Seuls quelques cas de cette conjecture sont actuellement résolus : dimension 2 (Weil et Aubin notamment), 3 (Kleiner) et 4 pour k=0 (Croke).

Le but de cet exposé est de présenter les idées d'une preuve de la conjecture ci-dessus en dimension 2 et 4 pour k>0, ainsi qu'une réponse partielle pour k<0. Ce résultat a été obtenu en collaboration avec G. Kuperberg (Université de Californie à Davis).

Après avoir rappelé quelques résultats classiques sur les spineurs de Killing et les spineurs de Killing généralisés, nous donnerons des résultats récents. Tout d'abord sur les spineurs de Killing généralisés antisymétriques en dimension 2 et 3 et ensuite sur les spineurs de Killing généralisés sur un fibré des spineurs tordu. Ces derniers apparaissent dans le cas limite d'une minoration de la première valeur propre de l'opérateur de Dirac d'une sous-variété.

On sait depuis les travaux de Cheng que sur une surface compacte donnée, la multiplicité de la 2e valeur propre d'un opérateur de Schrödinger est majorée indépendamment de la métrique et du potentiel. Dans les années 80, Yves Colin de Verdière a mis en lumière un lien (encore assez largement conjecturel) entre cette borne sur la multiplicité et le nombre chromatique de la surface. Récemment, ce problème de multiplicité a été étudié pour le spectre de Steklov (c-a-d le spectre de l'opérateur Dirichlet-Neumann) sur les surfaces à bord. Dans cet exposé, on présentera ces différents résultats et on introduira un nouvel invariant chromatique des surfaces à bord qui permet d'étendre la conjecture de Colin de Verdière au spectre de Steklov.

On s'intéresse à un modèle de billard dans le plan introduit par les physiciens Ehrenfest-Ehrenfest (1912) et Hardy-Weber (1980) : dans le plan euclidien sont disposés régulièrement le long du réseau Z^2 des rectangles de taille fixée (a,b). On considère le billard dans le complémentaire de ces rectangles : une particule se déplace en ligne droite en rebondit de manière élastique sur les obstacles (voir le dessin ci-dessous). Lorsqu'on remplace les obstacles rectangulaires par des boules il s'agit du modèle périodique du gaz de Lorenz. Dans ce cas, les trajectoires s'apparente à des marches aléatoires; on a en particulier une vitesse de diffusion en T^(1/2) (penser au théorème central limite). Dans le cas du modèle d'Ehrenfest, les corrélations sont très fortes et nous verrons que la vitesse de diffusion est en T^(2/3). La preuve de ce résultat repose sur la renormalisation des flots de translation par le flot de Teichmueller.

Let G be a torsion-free, discrete subgroup of either the isometry group of quaternionic or Cayley hyperbolic space; that is, up to isogeny, $G < Sp(n;1)$ for $n \geq 2$ or $G < F4^{-20}$. We prove that if G contains no parabolics then there is a gap in the possible homological dimension $hd(G)$ of $G$. Namely, if $G < Sp(n;1)$, either $hd(G) = 4n$ or $hd(G)\leq 4n-2$, and if $G < F4^{-20}$, then either $hd(G) = 16$ or $hd(G)\leq 12$. This result does not hold in the real or complex hyperbolic cases, or if $G$ is allowed to have parabolics (even for subgroups of lattices). Our method requires a generalization of work of Besson–Courtois–Gallot on estimates of p–Jacobians of natural maps. We also generalize an inequality of M. Kapovich between the homological dimension and critical exponent for discrete subgroups of the isometry group of real hyperbolic n–space. This is joint work with Benson Farb and Ben McReynolds.

Motivé par l'analyse du noyau de Bergman d'un domaine strictement pseudo-convexe, Charles Fefferman a lance vers la fin des années 70 le programme de déterminer tous les invariants biholomorphes locaux d'un domaine strictement pseudo-convexe. Ce programme a depuis évolue pour inclure d'autres géométries paraboliques telle que la géométrie conforme. Les fonctions de Green jouent un rôle important en géométrie conforme a l'interface des EDP et de la géométrie différentielle. Dans cet expose, je vais expliquer comment calculer explicitement les singularités logarithmiques des fonctions de Green des puissances conformes du Laplacien. Ces opérateurs inclus les opérateurs de Yamabe et Paneitz, et plus généralement les opérateurs GJMS de Graham et al, mais aussi les puissances fractionnaires obtenues a partir de la théorie du scattering pour les métriques asymptotiquement hyperboliques. Les résultats sont formules en termes d'invariant conformes définis a partir de la métrique ambiante de Fefferman-Graham. Comme application on obtient une caractérisation spectrale des classes conformes des sphères. Bien que les problèmes et les formules finales n'invoquent qu'analyse et géométrie, les calculs utilisent la théorie des représentations de façon essentielle.

Une cône-variété est une variété riemannienne dont la métrique présente des singularités de type conique, i.e. est asymptotique à celle du produit d'un cône avec un ouvert de R^n. De tels objets apparaissent naturellement en géométrie hyperbolique, en géométrie complexe, et en physique théorique. Dans cet exposé je présenterai les résultats récents sur l'existence de métriques coniques Einstein, dans le cas Kähler, où le problème est bien compris, et dans le cas réel, où l’on connaît beaucoup moins de choses au-delà de la dimension 3.