Séminaire de géométrie (archives)

Il existe depuis une quinzaine d'années diverses formules paramétrant les surfaces de R^3 ou R^4 (et quelques autres variétés homogènes) au moyen de quantités «spinorielles», qui vérifient une équation dite de Dirac (travaux de Taimanov, Konopelchenko, Kusner, Schmitt etc.). L'objectif de cet exposé est d'expliquer d'où viennent ces formules et en quoi elles sont reliées à la théorie «classique» des spineurs, notamment aux travaux de Friedrich, Roth et al. sur les spineurs de Killing induits.

Une version géométrique (restreinte et imprécise) du théorème de superrigidité de Margulis affirme qu' un réseau dans un groupe de Lie semi-simple sans facteur compact n'agit que sur un unique espace symétrique de type non-compact : celui associé au groupe de Lie.

Nous verrons des espaces riemanniens symétriques de dimension infinie qui ont la remarquable propriété d'être de rang fini. A l'aide d'applications harmoniques pour des espaces métriques, nous verrons que la conclusion du théorème de superrigidité est encore vraie dans ce cas.

On considère des graphes métriques avec un laplacien auto-adjoint (déterminé par des conditions aux sommets du graphe) et on se pose la question quelle conditions peuvent être approximées par un laplacien sur une variété qui converge vers le graphe ("graphe épais"). On donne aussi la construction de ce graphe épais (avec une "micro structure" autour de chaque sommet).

Dans les années 60, Vinberg a décrit comment à partir d'un polyèdre projectif muni de réflexions projectives, on pouvait construire un ouvert convexe $\Omega$ sur lequel le groupe de Coxeter $W$ associé au polyèdre agissait. Vinberg a donné une CNS pour que l'action de $W$ sur $\Omega$ soit cocompact. Je donnerai une CS pour que l'action de $W$ sur $\Omega$ soit de covolume fini, ou convexe-cocompact.

D'après un célèbre théorème de Gromov, un groupe de type fini à croissance polynomiale est virtuellement nilpotent. Nous discuterons d'une version "géométrique" de ce théorème, conséquence d'un résultat récent de Breuillard, Green et Tao. Nous en déduirons le résultat suivant, obtenu en collaboration avec Benjamini et Finucane: Soit une suite de graphes finis dont le volume croît au plus polynomialement par rapport au diamètre. Alors la suite d'espaces métriques de diamètre 1 obtenus en renormalisant la distance est relativement compacte pour la distance de Gromov-Hausdorff. De plus les points d'accumulation sont des tores munis d'une métrique invariante finslerienne.

We investigate the problem of constructing extremal Kähler metrics on the projectivisation of an unstable vector bundle (unstable in the sense of Mumford-Takemoto). This provides us with new examples of extremal Kähler metrics not having constant scalar curvature. The main technique employed to prove the existence results is an adiabatic limit, as already used in earlier works by Hong and Fine. I will talk about the general ideas and an outline of the existence proof, without worrying too much about the analytical and technical details.

La dimension conforme d'un groupe hyperbolique $G$ est un invariant numérique de quasi-isométrie. Introduite par Pansu, elle est définie comme l'infimum des dimensions de Hausdorff de toutes les distances Ahlfors régulières dans la jauge conforme du bord à l'infini de $G$. Elle joue un rôle important dans l'approche de Bonk et Kleiner à la conjecture de Cannon. Un problème important est de déterminer sur quelles conditions la dimension conforme est égale à la dimension topologique du bord. Dans cet exposé nous abordons le cas de dimension topologique égale àun. On donne un critère générale (pour dimension conforme égale à un) qui se base sur l'étude du comportement de la dimension conforme sous certains scindements canoniques du groupe.

By "adding degenerations", the moduli spaces of Kähler-Einstein (K-polystable) Fano manifolds should admit the structure of a projective variety. In this talk, I will explain the expected picture, focusing on the understood two dimensional case of Del Pezzo surfaces (joint work with Yuji Odaka and Song Sun).