Séminaire de géométrie (archives)

A la fin des années 60, G. Margulis montre dans sa thèse comment la propriété de mélange du flot géodésique sur une variété compacte de courbure négative (pour une mesure - éponyme) entraîne l'existence d'un équivalent du volume des boules dans le revêtement universel de la variété. Dans un travail récent, nous donnons des conditions nécessaires (et faiblement suffisantes, au sens où il existe des contre-exemples si elles ne sont pas satisfaites) pour que l'existence d'un équivalent asymptotique persiste lorsque l'on considère des variétés de volume fini. Nous motiverons ce travail par une discussion préliminaire, de sorte à s'adresser à un public (relativement) large et nous discuterons également de l'asymptotique de la fonction de comptage du groupe.

(Travail en collaboration avec F. Dal'Bo, M. Peigné et A. Sambusetti)

J'expliquerai dans cette séance comment les systèmes intégrables permettent d'obtenir des résultats d'unicité en géométrie. Le cadre idéal pour cette technique est l'espace des applications harmoniques périodiques à valeur dans S(2) ou S(3) (i.e. des anneaux et des tores minimaux dans S(2)xR ou S(3)).

L'espace des applications harmoniques périodiques est paramétré par un espace modulaire de surfaces de Riemann hyperelliptiques (courbes spectrales) et de 1-formes méromorphes associées au problème de période via un système intégrable dit "de Lax".

Cette reformulation algébrique induit sur l'espace modulaire des anneaux minimaux une topologie dans laquelle la propriété géométrique d'être Alexandrov plongée est ouverte. L'étude de la connexité de cette espace modulaire permet de démontrer des théorèmes d'unicité/rigidité des anneaux Alexandrov plongés.

En particulier nous donnerons une nouvelle preuve de la conjecture de Lawson (démontré par Brendle et Andrews Li) de l'unicité du tore de Clifford et de la classification des tores de courbure moyenne constante de S(3).

Il existe depuis une quinzaine d'années diverses formules paramétrant les surfaces de R^3 ou R^4 (et quelques autres variétés homogènes) au moyen de quantités «spinorielles», qui vérifient une équation dite de Dirac (travaux de Taimanov, Konopelchenko, Kusner, Schmitt etc.). L'objectif de cet exposé est d'expliquer d'où viennent ces formules et en quoi elles sont reliées à la théorie «classique» des spineurs, notamment aux travaux de Friedrich, Roth et al. sur les spineurs de Killing induits.

Une version géométrique (restreinte et imprécise) du théorème de superrigidité de Margulis affirme qu' un réseau dans un groupe de Lie semi-simple sans facteur compact n'agit que sur un unique espace symétrique de type non-compact : celui associé au groupe de Lie.

Nous verrons des espaces riemanniens symétriques de dimension infinie qui ont la remarquable propriété d'être de rang fini. A l'aide d'applications harmoniques pour des espaces métriques, nous verrons que la conclusion du théorème de superrigidité est encore vraie dans ce cas.

On considère des graphes métriques avec un laplacien auto-adjoint (déterminé par des conditions aux sommets du graphe) et on se pose la question quelle conditions peuvent être approximées par un laplacien sur une variété qui converge vers le graphe ("graphe épais"). On donne aussi la construction de ce graphe épais (avec une "micro structure" autour de chaque sommet).

Dans les années 60, Vinberg a décrit comment à partir d'un polyèdre projectif muni de réflexions projectives, on pouvait construire un ouvert convexe $\Omega$ sur lequel le groupe de Coxeter $W$ associé au polyèdre agissait. Vinberg a donné une CNS pour que l'action de $W$ sur $\Omega$ soit cocompact. Je donnerai une CS pour que l'action de $W$ sur $\Omega$ soit de covolume fini, ou convexe-cocompact.

D'après un célèbre théorème de Gromov, un groupe de type fini à croissance polynomiale est virtuellement nilpotent. Nous discuterons d'une version "géométrique" de ce théorème, conséquence d'un résultat récent de Breuillard, Green et Tao. Nous en déduirons le résultat suivant, obtenu en collaboration avec Benjamini et Finucane: Soit une suite de graphes finis dont le volume croît au plus polynomialement par rapport au diamètre. Alors la suite d'espaces métriques de diamètre 1 obtenus en renormalisant la distance est relativement compacte pour la distance de Gromov-Hausdorff. De plus les points d'accumulation sont des tores munis d'une métrique invariante finslerienne.

We investigate the problem of constructing extremal Kähler metrics on the projectivisation of an unstable vector bundle (unstable in the sense of Mumford-Takemoto). This provides us with new examples of extremal Kähler metrics not having constant scalar curvature. The main technique employed to prove the existence results is an adiabatic limit, as already used in earlier works by Hong and Fine. I will talk about the general ideas and an outline of the existence proof, without worrying too much about the analytical and technical details.