Je présenterai un travail en collaboration avec Jérôme Buzzi et Omri Sarig : les difféomorphismes lisses de surface n'ont qu'un nombre fini de mesures d'entropie maximale ergodiques.
We discuss $h$-pricniple for the solutions to the Monge-Ampère equation in two dimensions. Namely, for a simply connected domain $\Omega\subset \mathbb R^2$, and any data $f: \Omega \to \mathbb R$, we show that the very weak $C^{1,\alpha}$ solutions to the equation
$$
\det D^2 u = f \quad \mbox{in} \,\, \Omega
$$
are dense in the set of all continuous functions below the regularity threshold <1/7. We will also prove that the statement fails in the regularity regime $\alpha >2/3$ for the same class of very weak solutions.
This h-principle statement is a consequence of the convex integration methods and parallels similar results such as the Nash-Kuiper $C^1$ isometric embedding theorem and existence of continuous solutions with anomalous dissipation to Euler equations (due to De Lellis and Székelyhidi).
Je rappelerai ce que sont les surfaces à courbure moyenne constante (CMC) en géométrie riemannienne « classique » et leurs propriétés notamment en lien avec les systèmes intégrables. Puis nous verrons comment définir une notion de courbure moyenne ou plutôt de surface CMC discrète, et si le temps le permet, comment on se ramène aussi à un système intégrable discret.
L'inégalité de Ruelle est une relation entre l'entropie mesurée d'un difféomorphisme d'une variété compacte et les valeurs propres asymptotiques positives de sa différentielle (appelés Exposants de Lyapounov). Plus précisément, l'entropie d'une mesure ergodique est plus petit que la somme des exposants de Lyapunov positifs. Si l'on supprime l'hypothèse de compacité, cette inégalité n'est plus valable de manière générale. Dans cet exposé je montrerai que dans le cas du flot géodésique sur une variété non-compacte à courbure négative pincée, on rencontre l'inégalité de Ruelle par une méthode différente de celle classique.
Soit G le groupe $\mathbf{SO}^o(1,n)$ ($n \geq 3$) ou
$\mathbf{PU}(1,n)$ ($n \geq 2$) et fixons une décomposition d'Iwasawa
$G=KAN$. Soit $\Gamma$ un sous-groupe discret de $G$, que nous
supposons Zariski-dense et de mesure de Bowen-Margulis-Sullivan finie.
Lorsque $G=\mathbf{SO}^o(1,n)$, nous étudions la géométrie de la
mesure de Bowen-Margulis-Sullivan le long des sous-groupes fermés
connexes de $N$, en lien avec la dichotomie de Mohammadi-Oh. Nous
établissons des résultats déterministes sur la dimension des
projections de la mesure de Patterson-Sullivan.
Lorsque $G=\mathbf{PU}(1,n)$, nous relions la géométrie de la mesure
de Bowen-Margulis-Sullivan le long du centre du groupe de Heisenberg
au problème du calcul de la dimension de Hausdorff de l'ensemble
limite relativement à la distance sphérique au bord. Nous calculons
cette dimension pour certains groupes de Schottky.
Durant cet exposé je détaillerai les liens qu'il y a entre l'asymptotique en temps
petit du noyau de la chaleur aux points de coupure conjugués et le type de singularités
de l'application exponentielle aux mêmes points [1,2]. Nous verrons des applications
pour les métriques génériques en petites dimensions, à la fois pour ce qui concerne les
singularités de l'exponentielle que le noyau de la chaleur [2].
[1] On the heat diffusion for generic Riemannian and sub-Riemannian structures,
D. Barilari, U. Boscain, G. Charlot, R. Neel, arxiv.org/abs/1310.0911
[2] Small-time heat kernel asymptotics at the sub-Riemannian cut locus.
D. Barilari, U. Boscain, R. Neel, J. Differential Geom. 92 (2012), no. 3, 373–416.
Considérons un ellipsoïde et faisons tendre l'un de ses trois axes vers zéro : l'ellipsoïde s'aplatit et se rapproche d'une ellipse dans le plan formé par les deux autres axes. Comme l'avait remarqué Birkhoff, le flot géodésique sur l'ellipsoïde converge vers le flot de billard sur l'ellipse. En fait, ce phénomène est bien plus général : on énoncera un théorème analogue qui s'applique à presque n'importe quelle surface de R^3 que l'on aplatit selon un axe. De plus, si le billard obtenu à la limite est dispersif, alors le flot géodésique sur la surface est Anosov (les deux systèmes présentent alors le même type de dynamique chaotique). On utilisera enfin ce dernier résultat pour donner un nouvel exemple concret de système physique Anosov, un système articulé à cinq tiges.
Dans le contexte des graphes infinis, localement finis et pondérés, on s’intéresse à l’ étude des propriétés de l’opérateur discret de Gauss-Bonnet comme suite du travail de Colette Anné et Nabila Torki-Hamza. Plus précisément, on considère un opérateur de Gauss-Bonnet à image fermée qui est utile dans la décomposition de Hodge pour résoudre des problèmes tel que le problème de Kirchhoff.
De plus, on donne une version discrète de la notion importante de non-parabolicité à l’infini introduite par Gilles Carron pour les variétés Riemanniennes non-compactes, qui permet d’avoir un opérateur de Gauss-Bonnet "semi-Fredholm".
