Séminaire de géométrie (archives)

Un théorème de W.X. Shi (1989) garantit l'existence en temps court du flot de Ricci pour toute variété Riemannienne complète à courbure bornée. Lorsque la courbure n'est pas bornée, on s'attend à ce que l'existence ou non d'un flot de Ricci dépende de la géométrie de la variété. On décrira une construction qui permet de considérer le flot d'un donnée initiale éventuellement non-complète, et on montrera comment on peut s'en servir pour démontrer l'existence en temps court du flot de données initiales complètes, sous des hypothèses plus faible que la courbure bornée. On appliquera ce résultat d'existence à un problème étudié par Miles Simon, qui concerne les limites non-éffondrées d'espaces à courbure de Ricci minorée en dimension 3.

"Je prends relâche, je repose mes yeux, je rêve à d'autres choses, je me remets à neuf" (Alain, Propos, 1924, p. 615).

In this talk, I present a variational Polyakov formula for the Dirichlet Laplacian on finite area convex sectors in the Euclidean plane. This formula shows how the zeta-regularized determinant of the Laplacian varies with respect to the opening angle of the sector. We use conformal transformations to differentiate the determinant with respect to the opening angle. We obtain a closed formula for the derivative of the determinant with respect to the angle of the sector using Carslaw-Sommerfeld heat kernel for the infinite sector. The results presented in the talk are in collaboration with Julie Rowlett.

Je présenterai le premier résultat d’un travail en collaboration avec Tobias Weich. Il s’agit d’étudier le spectre de Ruelle pour les surfaces à pointes. J’expliquerai comment nous obtenons le prolongement de la résolvante du flot agissant sur les fonctions. Il s’agit de se baser sur les techniques de Faure-Sjöstrand, dont je rappellerai quelques idées. Il faut ensuite étudier ce qui se passe dans la pointe de façon assez explicite. Je donnerai aussi quelques perspectives sur la suite espérée de notre travail.

Nous étudierons les orbites périodiques dans des modèles de windtree, des billards dans le plan muni d'obstacles symétriques, à angles droits et placés Z^2-périodiquement dans le plan.Nous montrerons que le nombre de (classes d'isotopie des) trajectoires périodiques de longueur au plus L (à Z^2-translation près) a une croissance asymptotique quadratique et donnerons la valeur exacte du coefficient, pour des modèles génériques, en fonction du nombre de coins des obstacles.

The talk will discuss existence results for metrics, which are extremal for Laplace eigenvalues in a given conformal class. We show that it is often possible to perturb such metrics to find new ones in conformal classes close by. Important ingredients that might be of independent interest are a regularity result for conformal metrics with Lp-bounds on the scalar curvature and large first eigenvalue, and a regularity result for extremal metrics.

Dans cet exposé, on recherche une compactification de l'ensemble des métriques Riemanniennes à singularités coniques sur une surface. L'accumulation des points coniques (le long d'une courbe ou d'un ensemble plus compliqué) amène naturellement à l'étude des métriques à Courbure Intégrale Bornée au sens d'Alexandrov. Cette théorie des surfaces singulières a été développée à Leningrad entre les années 1940 et 1970. Il s'agit de métriques intrinsèques, pour lesquelles il existe une notion naturelle de courbure, qui est une mesure ; cette large classe géométrique contient les métriques Riemanniennes à singularités coniques. Par analogie avec le classique théorème de compacité de Cheeger-Gromov, on démontre un théorème de compacité pour des métriques à Courbure Intégrale Bornée ; en corollaire on obtient une compactification de l'ensemble des métriques Riemanniennes à singularités coniques.

Les lagrangiens stationaires sont une généralisation naturelle des variétés spéciales lagrangiennes. Ces dernières, au cœur de la symétrie mirroir, n'ont de sens que dans les variétés de Calabi-Yau, tandis que les lagrangiens stationnaires sont pertinents dans n'importe quelle variété kählérienne, ou même presque Kähler.

Les variétés spéciales lagrangiennes sont très rares. Nous montrerons qu'au contraire il est facile de construire des variétés, ou même des fibrations par les variétés lagrangiennes stationnaires. De nombreux exemples peuvent notamment être obtenus en déformant les variétés kählériennes toriques.