Séminaire de géométrie (archives)

Étant donnée une mesure de probabilité sur un groupe de type fini, on définit le bord de Martin de la marche aléatoire associée à l'aide de la fonction de Green. On obtient une compactification qui tient compte du comportement probabiliste de la marche et de la géométrie du groupe. On identifie le bord de Martin d'une marche à support fini sur un groupe Kleinéen : on montre qu'il coïncide avec le bord CAT(0) du groupe.

Une métrique extrémale, selon Calabi, est une métrique de Kähler canonique: elle minimise la courbure au sein d'une classe de Kähler donnée. Cette notion généralise celles de courbure scalaire constante ou de Kähler-Einstein. La recherche de telles métriques donne lieu à un problème variationnel dont les solutions devraient correspondre, d'après la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, à des variétés stable au sens de la théorie géométrique des invariants.

Dans cet exposé, on démontre qu'une variété projective munie d'une métrique extrémale est asymptotiquement stable au sens de Chow, confirmant une conjecture de Apostolov-Huang. Comme applications, on obtient une preuve simplifiée de l'unicité d'une métrique extrémale, ainsi qu'une généralisation du théorème de scission d'Apostolov-Huang. Ceci est un travail en collaboration avec Yuji Sano (Université de Fukuoka).

Let $X$ be a simply connected, complete Riemannian manifold with pinched negative sectional curvatures. The critical exponent $\delta\Gamma$ of a discrete group of isometries $\Gamma$ of $X$ is equal to the abscissa of convergence of the Poincaré series of $\Gamma$; and for a cocompact $\Gamma0$, this is given by the volume growth of $X$. (Moreover, if $X$ is a symmetric space then there is a relationship between $\delta\Gamma$ and the bottom of the spectrum of the Laplacian on $X/\Gamma$.) Using a more dynamical approach, we characterise the existence of a uniform gap $\delta\Gamma<\delta{\Gamma0}$ for a family of (infinite index) normal subgroups $\Gamma$ of $\Gamma0$, in terms of permutation representations given by the quotients $\Gamma0/\Gamma$.

We discuss recent developments on Gaussian upper bounds for the heat kernel depending on certain integral bounds for the negative part of the Ricci curvature and connect them with the so called Kato condition, where the negative part of the Ricci curvature will be considered as a perturbation of the Laplace-Beltrami operator.

La notion de soliton de Kähler-Ricci est une généralisation naturelle de la notion de métrique de Kähler-Einstein. Je vais présenter un résultat de concavité pour la fonctionnelle entropie de Perelman sur un voisinage d'un soliton de Kähler-Ricci.

Le voisinage en question est lisse et contenu dans l'espace des structures complexes polarisées par une forme kählerienne dans la classe du fibré anti-canonique d'une variété de Fano.

Ce résultat fournit un approche de type flot gradient, utile pour la solution du problème d'existence des solitons de Kähler-Ricci sur des variétés de Fano. La solution de ce dernier implique la solution du problème d'existence pour les métriques de Kähler-Einstein sur des variétés de Fano avec groupe d'automorphismes arbitraire.

Contrairement à leurs consœurs dans R^3, les surfaces minimales complètes proprement plongées et de courbure totale finie dans un R^4 n'ont pas été beaucoup étudiées; elles constituent néanmoins un domaine riche et prometteur. Je commencerai par rappeler du formalisme:
a) leur écriture locale par 4 fonctions holomorphes liées par une équation quadratiques,
b) leurs plans tangent et normal, avec leurs courbures
c) l'application de Gauss qui associe à une surface dans R^4 ses plans tangents dans la Grassmannienne des plans orientés de R^4.

Puis j'expliquerai les nœuds/tresses que ces surfaces définissent par leurs bouts à l'infini et leur lien avec le formalisme décrit plus tôt. Enfin je discuterai quelques exemples et problèmes.

"Je prends relâche, je repose mes yeux, je rêve à d'autres choses, je me remets à neuf" (Alain, Propos, 1924, p. 615).

Un théorème de W.X. Shi (1989) garantit l'existence en temps court du flot de Ricci pour toute variété Riemannienne complète à courbure bornée. Lorsque la courbure n'est pas bornée, on s'attend à ce que l'existence ou non d'un flot de Ricci dépende de la géométrie de la variété. On décrira une construction qui permet de considérer le flot d'un donnée initiale éventuellement non-complète, et on montrera comment on peut s'en servir pour démontrer l'existence en temps court du flot de données initiales complètes, sous des hypothèses plus faible que la courbure bornée. On appliquera ce résultat d'existence à un problème étudié par Miles Simon, qui concerne les limites non-éffondrées d'espaces à courbure de Ricci minorée en dimension 3.