Séminaire de géométrie (archives)

La notion de soliton de Kähler-Ricci est une généralisation naturelle de la notion de métrique de Kähler-Einstein. Je vais présenter un résultat de concavité pour la fonctionnelle entropie de Perelman sur un voisinage d'un soliton de Kähler-Ricci.

Le voisinage en question est lisse et contenu dans l'espace des structures complexes polarisées par une forme kählerienne dans la classe du fibré anti-canonique d'une variété de Fano.

Ce résultat fournit un approche de type flot gradient, utile pour la solution du problème d'existence des solitons de Kähler-Ricci sur des variétés de Fano. La solution de ce dernier implique la solution du problème d'existence pour les métriques de Kähler-Einstein sur des variétés de Fano avec groupe d'automorphismes arbitraire.

Contrairement à leurs consœurs dans R^3, les surfaces minimales complètes proprement plongées et de courbure totale finie dans un R^4 n'ont pas été beaucoup étudiées; elles constituent néanmoins un domaine riche et prometteur. Je commencerai par rappeler du formalisme:
a) leur écriture locale par 4 fonctions holomorphes liées par une équation quadratiques,
b) leurs plans tangent et normal, avec leurs courbures
c) l'application de Gauss qui associe à une surface dans R^4 ses plans tangents dans la Grassmannienne des plans orientés de R^4.

Puis j'expliquerai les nœuds/tresses que ces surfaces définissent par leurs bouts à l'infini et leur lien avec le formalisme décrit plus tôt. Enfin je discuterai quelques exemples et problèmes.

"Je prends relâche, je repose mes yeux, je rêve à d'autres choses, je me remets à neuf" (Alain, Propos, 1924, p. 615).

Un théorème de W.X. Shi (1989) garantit l'existence en temps court du flot de Ricci pour toute variété Riemannienne complète à courbure bornée. Lorsque la courbure n'est pas bornée, on s'attend à ce que l'existence ou non d'un flot de Ricci dépende de la géométrie de la variété. On décrira une construction qui permet de considérer le flot d'un donnée initiale éventuellement non-complète, et on montrera comment on peut s'en servir pour démontrer l'existence en temps court du flot de données initiales complètes, sous des hypothèses plus faible que la courbure bornée. On appliquera ce résultat d'existence à un problème étudié par Miles Simon, qui concerne les limites non-éffondrées d'espaces à courbure de Ricci minorée en dimension 3.

"Je prends relâche, je repose mes yeux, je rêve à d'autres choses, je me remets à neuf" (Alain, Propos, 1924, p. 615).

In this talk, I present a variational Polyakov formula for the Dirichlet Laplacian on finite area convex sectors in the Euclidean plane. This formula shows how the zeta-regularized determinant of the Laplacian varies with respect to the opening angle of the sector. We use conformal transformations to differentiate the determinant with respect to the opening angle. We obtain a closed formula for the derivative of the determinant with respect to the angle of the sector using Carslaw-Sommerfeld heat kernel for the infinite sector. The results presented in the talk are in collaboration with Julie Rowlett.

Je présenterai le premier résultat d’un travail en collaboration avec Tobias Weich. Il s’agit d’étudier le spectre de Ruelle pour les surfaces à pointes. J’expliquerai comment nous obtenons le prolongement de la résolvante du flot agissant sur les fonctions. Il s’agit de se baser sur les techniques de Faure-Sjöstrand, dont je rappellerai quelques idées. Il faut ensuite étudier ce qui se passe dans la pointe de façon assez explicite. Je donnerai aussi quelques perspectives sur la suite espérée de notre travail.

Nous étudierons les orbites périodiques dans des modèles de windtree, des billards dans le plan muni d'obstacles symétriques, à angles droits et placés Z^2-périodiquement dans le plan.Nous montrerons que le nombre de (classes d'isotopie des) trajectoires périodiques de longueur au plus L (à Z^2-translation près) a une croissance asymptotique quadratique et donnerons la valeur exacte du coefficient, pour des modèles génériques, en fonction du nombre de coins des obstacles.