Séminaire de géométrie (archives)

Si (Mn,g) est une variété riemannienne compacte sans bord, la loi de Weyl stipule que

où N(λ) désigne le nombre de valeurs propres (comptées avec multiplicité) de l’opérateur de Laplace-Beltrami inférieures ou égales à λ. Dans cet exposé, je présenterai un travail en collaboration avec L. Ambrosio (SNS Pise) et S. Honda (Tokohu University) dans lequel nous établissons la loi de Weyl sur un espace RCD(K,N) compact, où K ∈ ℝ et N ∈ [1, +∞). Un espace RCD(K,N) est un espace métrique mesuré (complet, séparable et géodésique) sur lequel les propriétés de transport optimal entre mesures de probabilité sont semblables à celles sur une variété riemannienne (Mn,g) telle que Ric g ≥ Kg et n ≤ N et admettant un opérateur laplacien linéaire. Je donnerai les propriétés essentielles de ces espaces - notamment leurs liens avec les Ricci limites - avant d’expliquer l’intérêt de l’étude de la loi de Weyl dans ce contexte et comment on l’établit.

Un problème central de la géométrie spectrale des surfaces hyperboliques est l'étude des petites valeurs propres du laplacien (i.e. contenues dans l'intervalle [0,1/4[ ). On verra comment, sous une hypothèse de systole minorée, on peut minorer ces valeurs propres, et éventuellement montrer l'absence de petites valeurs propres non nulles.

Conférence «Riemannian Geometry : Past, Present and Future : an homage to Marcel Berger»

Un domaine $f$-extrémal dans une variété $M$ est un domaine $\Omega$ qui admet une solution positive $u$ à l'équation $\Delta u+f(u)=0$ avec donnée de Dirichlet nulle au bord et donnée de Neumann constante. Grâce à un résultat de Serrin il est connu que dans $\mathbb R^n$ un tel domaine $f$-extrémal doit être une boule. Dans cet exposé, je démontrerai qu'un domaine $f$-extrémal de $\mathbb S^2$ qui est topologiquement un disque est nécessairement un disque géodésique sous certaines hypothèses sur $f$.

Il s'agit d'un travail en commun avec J.M. Espinar.

Ce séminaire de géométrie, complètement à l'Ouest, réunit à Quimper, trois fois l'an, pour deux journées, le jeudi et le vendredi, des géomètres venus des régions Bretagne et Pays de Loire. Programme des 16-17 novembre

Les méthodes de recollement ont permis d'obtenir de nouveaux exemples de métriques canoniques sur des variétés kählériennes, obtenues par exemple par éclatement ou résolution de singularités d'un orbifold Kähler muni d'une métrique à courbure scalaire constante ou extrémale. L'objet de mes travaux est d'appliquer ces méthodes au cas plus général de variétés presque-Kähler, autrement dit de variétés symplectiques munie d'une structure presque complexe compatible mais non nécessairement intégrable. Dans ce cadre, on construit des métriques à courbure hermitienne constante, qui constituent une généralisation naturelle de la courbure scalaire dans le cadre Kähler.

Une question naturelle à poser à un groupe discret qui agit isométriquement sur un espace métrique est celle du comportement asymptotique du nombre de points d'une de ses orbites avec des boules de plus en plus grandes. Dans le cas de groupes de variétés hyperboliques, la réponse à cette question est très liée au caractère chaotique du flot géodésique. Nous décrirons les méthodes actuelles dans une première partie de l'exposé ainsi que leur limites connues. On verra dans un second temps que l'utilisation du mouvement brownien plutôt que le flot géodésique donne également des estimées d'un côté plus faible mais de l'autre plus générales.

Étant donnée une mesure de probabilité sur un groupe de type fini, on définit le bord de Martin de la marche aléatoire associée à l'aide de la fonction de Green. On obtient une compactification qui tient compte du comportement probabiliste de la marche et de la géométrie du groupe. On identifie le bord de Martin d'une marche à support fini sur un groupe Kleinéen : on montre qu'il coïncide avec le bord CAT(0) du groupe.

Une métrique extrémale, selon Calabi, est une métrique de Kähler canonique: elle minimise la courbure au sein d'une classe de Kähler donnée. Cette notion généralise celles de courbure scalaire constante ou de Kähler-Einstein. La recherche de telles métriques donne lieu à un problème variationnel dont les solutions devraient correspondre, d'après la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, à des variétés stable au sens de la théorie géométrique des invariants.

Dans cet exposé, on démontre qu'une variété projective munie d'une métrique extrémale est asymptotiquement stable au sens de Chow, confirmant une conjecture de Apostolov-Huang. Comme applications, on obtient une preuve simplifiée de l'unicité d'une métrique extrémale, ainsi qu'une généralisation du théorème de scission d'Apostolov-Huang. Ceci est un travail en collaboration avec Yuji Sano (Université de Fukuoka).