Séminaire de géométrie (archives)

Journée de lancement des Annales Henri Lebesgue infos

Depuis le début du 20e siècle, les groupes de torsion infinis ont été la source de nombreux développements en théorie des groupes : groupes de Burnside libres, monstre de Tarski, groupe de Grigorchuck, etc. D'un point de vue géométrique, on aimerait comprendre sur quel type d'espaces un tel groupe peut agir "raisonnablement" par isométries. Dans cet exposé, on étudiera le cas des espaces CAT(0) et plus précisément des complexes cubiques CAT(0). En particulier on présentera un exemple de groupe non moyennable muni d'une action propre sur un complexe cubique CAT(0). Le contenu de cet exposé est un travail en collaboration avec Vincent Guirardel.

Étant donnés deux convexes fermés proprement immergés dans une variété riemannienne de courbure strictement négative, nous montrons l'équidistribution (avec terme de reste), dans leurs fibrés normaux rentrants et sortants, des vecteurs tangents aux extrémités de leurs perpendiculaires communes de longueur tendant vers l'infini. Nous en déduisons par exemple une formule asymptotique pour le nombre de composantes connexes du domaine de discontinuité d'un groupe kleinéen quand leur diamètre tend vers 0. Ceci est un travail en commun avec Jouni Parkkonen.

Pour établir l'inégalité isopérimétrique dans le plan, Jakob Steiner introduit une transformation des ensembles du plan qui, tout en conservant les aires, diminue les périmètres. Cette opération, que nous appelons symétrisation, fut par la suite transposée à d'autres contextes, et utilisée là encore pour établir des inégalités isopérimétriques (F. Bernstein à la sphère, A. Ehrhard aux espaces gaussiens). Appliquée aux ensembles de niveau des fonctions, la symétrisation permet, dans les cadres précités, d'obtenir des inégalités dites de réarrangement, outils puissants pour établir des inégalités fonctionnelles.

Dans un premier temps, nous reviendrons sur ces opérations de symétrisation et de réarrangement en proposant un point de vue unifié pour les décrire. Puis nous proposerons une généralisation des ces opérations à d'autres cadres. Enfin, après avoir abordé certains outils de théorie géométrique de la mesure, nous exposerons un résultat de réarrangement dans des espaces produits.

We show that for arbitrary nonelementary actions $G\curvearrowright X$ of hyperbolic groups on Gromov hyperbolic spaces, translation length on average grows linearly in word length. In particular, the proportion of loxodromic elements in a large ball in the Cayley graph converges to 1. This holds even when the action is not in any sense alignment preserving: for example a dense free subgroup of $SL_2R$ acting on the hyperbolic plane, or a hyperbolic subgroup of the mapping class group acting on the curve complex. Along the way we describe the behavior in the space $X$ of typical word geodesics in the group: for example, with respect to the Patterson-Sullivan measure on the boundary group, the orbit of almost every word geodesic logarithmically tracks a geodesic in $X$. We prove analogous counting results for more general groups, including relatively hyperbolic groups with virtually abelian subgroups and right angled Artin and Coxeter groups. Our results hold more generally for automatic groups satisfying certain properties: groups parametrized by paths in a finite directed graph. Indeed, the automatic structure is what allows us to reduce the asymptotic geometry of the Cayley graph of $G$ to a certain Markov chain on a finite graph and a family of random walks on $G$ associated to vertices of the finite graph. This is joint work with Sam Taylor and Giulio Tiozzo.

Dans cet exposé, je discuterai la structure locale du champ de Teichmüller d'une variété réelle fixée M, qui code l'ensemble des structures complexes sur M à biholomorphisme isotope à l'identité près. J'expliquerai en particulier les différences entre les composantes kählériennes (i.e. correspondant à des structures kählériennes) et les composantes non kählériennes.

Si (Mn,g) est une variété riemannienne compacte sans bord, la loi de Weyl stipule que

où N(λ) désigne le nombre de valeurs propres (comptées avec multiplicité) de l’opérateur de Laplace-Beltrami inférieures ou égales à λ. Dans cet exposé, je présenterai un travail en collaboration avec L. Ambrosio (SNS Pise) et S. Honda (Tokohu University) dans lequel nous établissons la loi de Weyl sur un espace RCD(K,N) compact, où K ∈ ℝ et N ∈ [1, +∞). Un espace RCD(K,N) est un espace métrique mesuré (complet, séparable et géodésique) sur lequel les propriétés de transport optimal entre mesures de probabilité sont semblables à celles sur une variété riemannienne (Mn,g) telle que Ric g ≥ Kg et n ≤ N et admettant un opérateur laplacien linéaire. Je donnerai les propriétés essentielles de ces espaces - notamment leurs liens avec les Ricci limites - avant d’expliquer l’intérêt de l’étude de la loi de Weyl dans ce contexte et comment on l’établit.

Un problème central de la géométrie spectrale des surfaces hyperboliques est l'étude des petites valeurs propres du laplacien (i.e. contenues dans l'intervalle [0,1/4[ ). On verra comment, sous une hypothèse de systole minorée, on peut minorer ces valeurs propres, et éventuellement montrer l'absence de petites valeurs propres non nulles.