Séminaire de géométrie (archives)

Les estimées de type Euclidiennes du noyau de la chaleur sur les variétés complètes non-compactes sont bien comprises, : elles sont essentiellement équivalentes a des inégalités de type isopérimétrique (par exemple l’inégalité de Sobolev) sur la variété.En ce qui concerne le gradient du noyau de la chaleur, des estimées de type Euclidiennes sont vraies sur les variétés à courbure de Ricci positive, mais peu est connu sous des hypothèses de courbure plus générales. Dans cet expose, nous présenterons des résultats récents concernant les estimées du gradient du noyau de la chaleur, sur des variétés ayant courbure de Ricci “presque” positive a l’infini.

In basic courses of mechanics a first approach to central forces and, in particular, to the gravitational force, is made through Newton’s laws and the expression of the Newtonian gravitational force. In such an approach the gravitational potential U (r)=k/r (F (x) = −grad(U) ) is derived from the knowledge of the force. How to find the expression of the gravitational force when studying the mass dynamics in other geometries? For examples on surfaces? We have the problem of not being able to perform two-dimensional experiments to measure the force between two bodies and therefore we must find the answer to the following : 1) How to generalize the notion of gravitational force to an arbitrary geometry? Various possible generalizations : the Hodge decomposition of vector fields and normal forms provides us with a possible generalisation 2) Given the distribution of matter on a given surface what is the fundamental equation for deducing the corresponding gravitational potential?

We propose a Maxwell-like formulation of the dynamics related to the definition of a central force and directly formulated in the intrinsic geometry of the surface. We show how the corresponding equations of gravitational dynamics are closely linked to those of electric charges and to the dynamics of point vortices. This allows us to take advantage in part of what we already being done for vortex dynamics and relative equilibria of vortices on surface of constante Gaussian curvature. Furthermore, we shall show how known laws may depend on the geometry of the space, i.e. they are not universal properties. Among other things, we show that in the plane the 2-body problem does not obeys to the known Kepler laws. For masses on an infinite cylinder we are able to observe topological effects in the mass dynamics.

La théorie des produits de matrices aléatoires initiée par Kesten et Furstenberg dans les années 1960-1970 et développée ultérieurement de façon considérable par l’école française et russe a connu dans les dernières années d'énormes applications aux graphes expanseurs, à la classification des mesures stationnaires sur les espaces homogènes, en approximation diophantienne …

La théorie des produits de matrices aléatoires est bien développée dans le cadre où le support de la mesure de probabilité sur le groupe général linéaire (sur un corps local quelconque) engendre un semi-groupe de matrices irréductible (hypothèse algébrique/géométrique) et proximal (hypothèse dynamique). Cela n’est pas indépendant du fait que la plupart des applications de cette théorie à présent concernent les marches aléatoires sur les groupes réductifs.

Dans cet exposé, nous présentons des résultats obtenus récemment avec Yves Guivarc’h où nous faisons abstraction de l’hypothèse d’irréductibilité tout en gardant une hypothèse dynamique (exposant de Lyapunov simple). Nous montrerons l’existence et l’unicité de la mesure stationnaire sur l'espace projectif en dehors d’un sous-espace projectif, mettant dans un même cadre les marches aléatoires dans le cas irréducible-proximal (i-p) et celles sur le groupe affine. Le cadre général étudié se trouve être en fait un mix entre le deux cas précédents: il s’agit essentiellement d’une marche aléatoire sur un espace fibré en affine au dessus d’un espace projectif où l’action est essentiellement i-p. Nous présentons des résultats décrivant le support de la mesure stationnaire et montrons sa régularité holdérienne. Enfin, nous mettons le point sur les questions qu’ouvre ce travail.

Cet exposé sera centré sur le résultat suivant, établi avec Cyril Lecuire et reposant sur de nombreuses contributions: un groupe de type fini quasi-isométrique au groupe fondamental d'une variété compacte de dimension trois contient un sous-groupe d'indice fini isomorphe au groupe fondamental d'une variété compacte de dimension trois.

It is well known that the Gauss map $T: [0,1] \setminus \mathbb{Q} \to [0,1] \setminus \mathbb{Q}$ given by $$T(x)= \frac{1}{x} \mod 1$$ has an absolutely continuous invariant probability measure $\muT$ given by $$\muT(A)= \frac{1}{\log 2} \int_A \frac{1}{1+x} dx.$$

Let $\mu{\mathbf{p}}$ denote the Bernoulli measure associated to the countable probability vector $\mathbf{p}$, projected to $[0,1]$ in the usual way. Kifer, Peres and Weiss showed that the Bernoulli measures for the Gauss map satisfy a \emph{dimension gap} meaning that there exists $c>0$ such that \begin{eqnarray} (1)\quad\sup{\mathbf{p}} \dim{\mathrm{H}} \mu{\mathbf{p}} < 1- c. \label{dimgap} \end{eqnarray} Moreover, they showed that $c \geq 10^{-7}$. Their proof was based on considering sets of large deviations for the asymptotic frequency of certain digits from the one prescribed by $\mu_T$.

In this talk we will discuss an alternative proof of (1) which instead reduces to obtaining good lower bounds on the asymptotic variance of a class of potentials.

Journée de lancement des Annales Henri Lebesgue infos

Depuis le début du 20e siècle, les groupes de torsion infinis ont été la source de nombreux développements en théorie des groupes : groupes de Burnside libres, monstre de Tarski, groupe de Grigorchuck, etc. D'un point de vue géométrique, on aimerait comprendre sur quel type d'espaces un tel groupe peut agir "raisonnablement" par isométries. Dans cet exposé, on étudiera le cas des espaces CAT(0) et plus précisément des complexes cubiques CAT(0). En particulier on présentera un exemple de groupe non moyennable muni d'une action propre sur un complexe cubique CAT(0). Le contenu de cet exposé est un travail en collaboration avec Vincent Guirardel.

Étant donnés deux convexes fermés proprement immergés dans une variété riemannienne de courbure strictement négative, nous montrons l'équidistribution (avec terme de reste), dans leurs fibrés normaux rentrants et sortants, des vecteurs tangents aux extrémités de leurs perpendiculaires communes de longueur tendant vers l'infini. Nous en déduisons par exemple une formule asymptotique pour le nombre de composantes connexes du domaine de discontinuité d'un groupe kleinéen quand leur diamètre tend vers 0. Ceci est un travail en commun avec Jouni Parkkonen.

Pour établir l'inégalité isopérimétrique dans le plan, Jakob Steiner introduit une transformation des ensembles du plan qui, tout en conservant les aires, diminue les périmètres. Cette opération, que nous appelons symétrisation, fut par la suite transposée à d'autres contextes, et utilisée là encore pour établir des inégalités isopérimétriques (F. Bernstein à la sphère, A. Ehrhard aux espaces gaussiens). Appliquée aux ensembles de niveau des fonctions, la symétrisation permet, dans les cadres précités, d'obtenir des inégalités dites de réarrangement, outils puissants pour établir des inégalités fonctionnelles.

Dans un premier temps, nous reviendrons sur ces opérations de symétrisation et de réarrangement en proposant un point de vue unifié pour les décrire. Puis nous proposerons une généralisation des ces opérations à d'autres cadres. Enfin, après avoir abordé certains outils de théorie géométrique de la mesure, nous exposerons un résultat de réarrangement dans des espaces produits.