Séminaire de géométrie (archives)

Let $X$ be a simply connected, complete Riemannian manifold with pinched negative sectional curvatures. The critical exponent $\delta\Gamma$ of a discrete group of isometries $\Gamma$ of $X$ is equal to the abscissa of convergence of the Poincaré series of $\Gamma$; and for a cocompact $\Gamma0$, this is given by the volume growth of $X$. (Moreover, if $X$ is a symmetric space then there is a relationship between $\delta\Gamma$ and the bottom of the spectrum of the Laplacian on $X/\Gamma$.) Using a more dynamical approach, we characterise the existence of a uniform gap $\delta\Gamma<\delta{\Gamma0}$ for a family of (infinite index) normal subgroups $\Gamma$ of $\Gamma0$, in terms of permutation representations given by the quotients $\Gamma0/\Gamma$.

We discuss recent developments on Gaussian upper bounds for the heat kernel depending on certain integral bounds for the negative part of the Ricci curvature and connect them with the so called Kato condition, where the negative part of the Ricci curvature will be considered as a perturbation of the Laplace-Beltrami operator.

La notion de soliton de Kähler-Ricci est une généralisation naturelle de la notion de métrique de Kähler-Einstein. Je vais présenter un résultat de concavité pour la fonctionnelle entropie de Perelman sur un voisinage d'un soliton de Kähler-Ricci.

Le voisinage en question est lisse et contenu dans l'espace des structures complexes polarisées par une forme kählerienne dans la classe du fibré anti-canonique d'une variété de Fano.

Ce résultat fournit un approche de type flot gradient, utile pour la solution du problème d'existence des solitons de Kähler-Ricci sur des variétés de Fano. La solution de ce dernier implique la solution du problème d'existence pour les métriques de Kähler-Einstein sur des variétés de Fano avec groupe d'automorphismes arbitraire.

Contrairement à leurs consœurs dans R^3, les surfaces minimales complètes proprement plongées et de courbure totale finie dans un R^4 n'ont pas été beaucoup étudiées; elles constituent néanmoins un domaine riche et prometteur. Je commencerai par rappeler du formalisme:
a) leur écriture locale par 4 fonctions holomorphes liées par une équation quadratiques,
b) leurs plans tangent et normal, avec leurs courbures
c) l'application de Gauss qui associe à une surface dans R^4 ses plans tangents dans la Grassmannienne des plans orientés de R^4.

Puis j'expliquerai les nœuds/tresses que ces surfaces définissent par leurs bouts à l'infini et leur lien avec le formalisme décrit plus tôt. Enfin je discuterai quelques exemples et problèmes.

"Je prends relâche, je repose mes yeux, je rêve à d'autres choses, je me remets à neuf" (Alain, Propos, 1924, p. 615).

Un théorème de W.X. Shi (1989) garantit l'existence en temps court du flot de Ricci pour toute variété Riemannienne complète à courbure bornée. Lorsque la courbure n'est pas bornée, on s'attend à ce que l'existence ou non d'un flot de Ricci dépende de la géométrie de la variété. On décrira une construction qui permet de considérer le flot d'un donnée initiale éventuellement non-complète, et on montrera comment on peut s'en servir pour démontrer l'existence en temps court du flot de données initiales complètes, sous des hypothèses plus faible que la courbure bornée. On appliquera ce résultat d'existence à un problème étudié par Miles Simon, qui concerne les limites non-éffondrées d'espaces à courbure de Ricci minorée en dimension 3.

"Je prends relâche, je repose mes yeux, je rêve à d'autres choses, je me remets à neuf" (Alain, Propos, 1924, p. 615).

In this talk, I present a variational Polyakov formula for the Dirichlet Laplacian on finite area convex sectors in the Euclidean plane. This formula shows how the zeta-regularized determinant of the Laplacian varies with respect to the opening angle of the sector. We use conformal transformations to differentiate the determinant with respect to the opening angle. We obtain a closed formula for the derivative of the determinant with respect to the angle of the sector using Carslaw-Sommerfeld heat kernel for the infinite sector. The results presented in the talk are in collaboration with Julie Rowlett.