Séminaire de géométrie (archives)

The talk will discuss existence results for metrics, which are extremal for Laplace eigenvalues in a given conformal class. We show that it is often possible to perturb such metrics to find new ones in conformal classes close by. Important ingredients that might be of independent interest are a regularity result for conformal metrics with Lp-bounds on the scalar curvature and large first eigenvalue, and a regularity result for extremal metrics.

Dans cet exposé, on recherche une compactification de l'ensemble des métriques Riemanniennes à singularités coniques sur une surface. L'accumulation des points coniques (le long d'une courbe ou d'un ensemble plus compliqué) amène naturellement à l'étude des métriques à Courbure Intégrale Bornée au sens d'Alexandrov. Cette théorie des surfaces singulières a été développée à Leningrad entre les années 1940 et 1970. Il s'agit de métriques intrinsèques, pour lesquelles il existe une notion naturelle de courbure, qui est une mesure ; cette large classe géométrique contient les métriques Riemanniennes à singularités coniques. Par analogie avec le classique théorème de compacité de Cheeger-Gromov, on démontre un théorème de compacité pour des métriques à Courbure Intégrale Bornée ; en corollaire on obtient une compactification de l'ensemble des métriques Riemanniennes à singularités coniques.

Les lagrangiens stationaires sont une généralisation naturelle des variétés spéciales lagrangiennes. Ces dernières, au cœur de la symétrie mirroir, n'ont de sens que dans les variétés de Calabi-Yau, tandis que les lagrangiens stationnaires sont pertinents dans n'importe quelle variété kählérienne, ou même presque Kähler.

Les variétés spéciales lagrangiennes sont très rares. Nous montrerons qu'au contraire il est facile de construire des variétés, ou même des fibrations par les variétés lagrangiennes stationnaires. De nombreux exemples peuvent notamment être obtenus en déformant les variétés kählériennes toriques.

In this talk we present the new regularity results proved for the singular sets of minimizing and stationary harmonic maps in collaboration with Aaron Naber (see arXiv:1504.02043).

We prove that the singular set of a minimizing harmonic map is rectifiable with effective n-2 volume estimates. The results are based on an improved quantitative stratification technique, which consists in a detailed analysis of the symmetries and almost symmetries of the map u and its blow-ups at different scales, and rely on a new W^{1,p} version of Reifenberg's topological disk theorem. The application of this theorem in the situation of harmonic maps hinges on the monotonicity formula for the normalized energy.

Similar results are available for minimizing and stationary currents (see arXiv:1505.03428).

Abstract: We present several classification results for Lagrangian tori, all proven using the splitting construction from symplectic field theory. Notably, we classify Lagrangian tori in the symplectic vector space up to Hamiltonian isotopy; they are either product tori or rescalings of the Chekanov torus. The proof uses the following results established in a recent joint work with E. Goodman and A. Ivrii. First, there is a unique torus up to Lagrangian isotopy inside the symplectic vector space, the projective plane, as well as the monotone S2 x S2. Second, the nearby Lagrangian conjecture holds for the cotangent bundle of the torus.

Les hypersurfaces réelles de C^{n+1} peut être munies, via les équations de Cauchy-Riemann, d'une structure géométrique naturelle, dite \textit{CR}. Lorsque la variété CR considérée est \textit{strictement pseudoconvexe}, cette structure est de contact, et ce cas engendre une théorie présentant de fortes analogies avec la géométrie conforme. La résolution du problème de Yamabe CR par Jerison, Lee, Gamara et Yacoub permet d'extraire un invariant de contact global similaire à l'invariant $\sigma$ introduit dans le cadre conforme par Schoen et Kobayashi. Après des rappels de géométrie CR, je présenterai quelques propriétés et conjectures liées à cet invariant.

Etant donnée une surface compacte avec un bord non vide, nous traiterons de la question suivante : existe-t-il une métrique riemannienne régulière qui maximise la k-ème valeur propre de Steklov sur cette surface ? Nous donnerons également le lien entre ce problème et celui de l'existence de surfaces minimales à bord libre dans une boule.

Dans cet exposé, je présenterai plusieurs relations reliant le volume d'une variété riemannienne donnée au volume d'une hypersurface minimale obtenue par un procédé de min-max.