In this talk, I present a variational Polyakov formula for the Dirichlet Laplacian on finite area convex sectors in the Euclidean plane. This formula shows how the zeta-regularized determinant of the Laplacian varies with respect to the opening angle of the sector. We use conformal transformations to differentiate the determinant with respect to the opening angle. We obtain a closed formula for the derivative of the determinant with respect to the angle of the sector using Carslaw-Sommerfeld heat kernel for the infinite sector. The results presented in the talk are in collaboration with Julie Rowlett.
Je présenterai le premier résultat d’un travail en collaboration avec
Tobias Weich. Il s’agit d’étudier le spectre de Ruelle pour les surfaces
à pointes. J’expliquerai comment nous obtenons le prolongement de la
résolvante du flot agissant sur les fonctions. Il s’agit de se baser sur
les techniques de Faure-Sjöstrand, dont je rappellerai quelques idées. Il
faut ensuite étudier ce qui se passe dans la pointe de façon assez
explicite. Je donnerai aussi quelques perspectives sur la suite espérée
de notre travail.
Nous étudierons les orbites périodiques dans des modèles de windtree, des billards dans le plan muni d'obstacles symétriques, à angles droits et
placés Z^2-périodiquement dans le plan.Nous montrerons que le nombre de (classes d'isotopie des) trajectoires périodiques de longueur au plus L (à
Z^2-translation près) a une croissance asymptotique quadratique et donnerons la valeur exacte du coefficient, pour des modèles génériques, en fonction du
nombre de coins des obstacles.
The talk will discuss existence results for metrics, which are extremal for Laplace eigenvalues in a given conformal class. We show that it is often possible to perturb such metrics to find new ones in conformal classes close by. Important ingredients that might be of independent interest are a regularity result for conformal metrics with Lp-bounds on the scalar curvature and large first eigenvalue, and a regularity result for extremal metrics.
Dans cet exposé, on recherche une compactification de l'ensemble des métriques Riemanniennes à singularités coniques sur une surface. L'accumulation des points coniques (le long d'une courbe ou d'un ensemble plus compliqué) amène naturellement à l'étude des métriques à Courbure Intégrale Bornée au sens d'Alexandrov. Cette théorie des surfaces singulières a été développée à Leningrad entre les années 1940 et 1970. Il s'agit de métriques intrinsèques, pour lesquelles il existe une notion naturelle de courbure, qui est une mesure ; cette large classe géométrique contient les métriques Riemanniennes à singularités coniques. Par analogie avec le classique théorème de compacité de Cheeger-Gromov, on démontre un théorème de compacité pour des métriques à Courbure Intégrale Bornée ; en corollaire on obtient une compactification de l'ensemble des métriques Riemanniennes à singularités coniques.
Les lagrangiens stationaires sont une généralisation naturelle des variétés spéciales lagrangiennes. Ces dernières, au cœur de la symétrie mirroir, n'ont
de sens que dans les variétés de Calabi-Yau, tandis que les lagrangiens stationnaires sont pertinents dans n'importe quelle variété kählérienne, ou même presque Kähler.
Les variétés spéciales lagrangiennes sont très rares. Nous montrerons qu'au contraire il est facile de construire des variétés, ou même des fibrations par
les variétés lagrangiennes stationnaires. De nombreux exemples peuvent notamment être obtenus en déformant les variétés kählériennes toriques.
In this talk we present the new regularity results proved for the singular sets of minimizing and stationary harmonic maps in collaboration with Aaron Naber (see arXiv:1504.02043).
We prove that the singular set of a minimizing harmonic map is rectifiable with effective n-2 volume estimates. The results are based on an improved quantitative stratification technique, which consists in a detailed analysis of the symmetries and almost symmetries of the map u and its blow-ups at different scales, and rely on a new W^{1,p} version of Reifenberg's topological disk theorem. The application of this theorem in the situation of harmonic maps hinges on the monotonicity formula for the normalized energy.
Similar results are available for minimizing and stationary currents (see arXiv:1505.03428).
