Séminaire de géométrie (archives)

Je vais présenter des exemples de sous-groupes discrets de PU(2,1), le groupe des isométries holomorphes du plan hyperbolique complexe. Ce dernier peut-être vu comme la boule unité de C^2, et apparaît donc comme une généralisation naturelle du disque de Poincaré, ou de l'espace hyperbolique réel de dimension 3. Je m'intéresserai principalement aux groupes de surfaces. Si le temps le permet j'évoquerai certains exemples de structures CR sphériques sur les variétés de dimension 3 associés.

Les espaces stratifiés sont des espaces métriques singuliers qui ont été étudiés d'abord en topologie, et plus récemment d'un point de vue analytique. Nous nous intéressons au problème de Yamabe sur un espace stratifié, c'est-à-dire à l'existence de métriques à courbure scalaire constante. Cela dépend, d'après un résultat de K. Akutagawa, G. Carron et R. Mazzeo, d'un invariant conforme : la constante de Yamabe locale. Nous allons montrer comment il est possible de la calculer en étendant au cadre singulier des résultats de géométrie Riemannienne classique.

On s'intéresse à classifier les variétés de dimension trois qui admettent une uniformisation CR sphérique, c'est-à-dire qui apparaissent comme le bord à l'infini de surfaces hyperboliques complexes. J'expliquerai des constructions géométriques explicites qui montrent qu'une infinité de variétés hyperboliques réelles admettent une uniformisation CR sphérique.

The talk will present some results about Laplace-Beltrami operators on complete manifolds with corner of codimension two obtained by adapting methods coming from the spectral analysis of Schroedinger operators. We will outline also possible research projects that exploit in similar ways analogies between Schroedinger and Laplace-Beltrami operators.