Séminaire de géométrie (archives)

Dans cet exposé je vais présenter un travail fait en collaboration avec R. Mazzeo et F. Pacard sur la construction de sous-variétés de courbure moyenne constante en codimension quelconque dans les variétés riemanniennes munies de métriques génériques. Notre résultat est une généralisation du théorème de R. Ye qui construit des familles d'hypersurfaces de courbure moyenne constante qui sont des petites déformations de sphères géodésiques centrées en des points critiques non-dégénérés de la courbure scalaire et d'un travail plus récent de F. Pacard et X. Xu où de telles hypersurfaces sont obtenues autours de points critiques d'un autre invariant de courbure.

En codimension quelconque, on définit les sous-variétés de courbure moyenne constante comme les bords des sous-variétés qui sont des points critiques d'une certaine énergie. En utilisant des techniques développées par Pacard et Xu, on construit telles sous-variétés autours des points critiques d'une fonctionnelle, qu'on appelle la courbure scalaire partielle, qui est définie sur le fibré grassmanien de la variété ambiante et coïncide avec la courbure scalaire dans le cas de codimension 1.

Je vais présenter des exemples de sous-groupes discrets de PU(2,1), le groupe des isométries holomorphes du plan hyperbolique complexe. Ce dernier peut-être vu comme la boule unité de C^2, et apparaît donc comme une généralisation naturelle du disque de Poincaré, ou de l'espace hyperbolique réel de dimension 3. Je m'intéresserai principalement aux groupes de surfaces. Si le temps le permet j'évoquerai certains exemples de structures CR sphériques sur les variétés de dimension 3 associés.

Les espaces stratifiés sont des espaces métriques singuliers qui ont été étudiés d'abord en topologie, et plus récemment d'un point de vue analytique. Nous nous intéressons au problème de Yamabe sur un espace stratifié, c'est-à-dire à l'existence de métriques à courbure scalaire constante. Cela dépend, d'après un résultat de K. Akutagawa, G. Carron et R. Mazzeo, d'un invariant conforme : la constante de Yamabe locale. Nous allons montrer comment il est possible de la calculer en étendant au cadre singulier des résultats de géométrie Riemannienne classique.

On s'intéresse à classifier les variétés de dimension trois qui admettent une uniformisation CR sphérique, c'est-à-dire qui apparaissent comme le bord à l'infini de surfaces hyperboliques complexes. J'expliquerai des constructions géométriques explicites qui montrent qu'une infinité de variétés hyperboliques réelles admettent une uniformisation CR sphérique.