Séminaire de géométrie (archives)

Les surfaces piégées ont été introduites par R. Penrose en 1965 pour prouver l'existence de singularités des solutions des équations de la relativité générale d'Einstein.

Le concept voisin de surfaces marginalement piégées décrit l'horizon apparent d'un trou noir. Mathématiquement, ces surfaces sont définies par une propriété naturelle de leur courbure : leur vecteur de courbure moyenne est de "type-lumière", c'est-à-dire que sa norme est nulle. Après avoir introduit les concepts de vecteur de courbure moyenne, et motivé la définition de surface marginalement piégée, on décrira des résultats récents qui donnent une description locale des surfaces marginalement piégées dans plusieurs espaces ambiants (espaces de Sitter et anti de Sitter, espaces produits, espaces de Robertson-Walker). Il s'agit de travaux en collaboration avec Y. Godoy (Université de Córdoba, Argentine) et N. Cipriani (KU Leuven, Belgique).

Dans cet exposé je vais présenter un travail fait en collaboration avec R. Mazzeo et F. Pacard sur la construction de sous-variétés de courbure moyenne constante en codimension quelconque dans les variétés riemanniennes munies de métriques génériques. Notre résultat est une généralisation du théorème de R. Ye qui construit des familles d'hypersurfaces de courbure moyenne constante qui sont des petites déformations de sphères géodésiques centrées en des points critiques non-dégénérés de la courbure scalaire et d'un travail plus récent de F. Pacard et X. Xu où de telles hypersurfaces sont obtenues autours de points critiques d'un autre invariant de courbure.

En codimension quelconque, on définit les sous-variétés de courbure moyenne constante comme les bords des sous-variétés qui sont des points critiques d'une certaine énergie. En utilisant des techniques développées par Pacard et Xu, on construit telles sous-variétés autours des points critiques d'une fonctionnelle, qu'on appelle la courbure scalaire partielle, qui est définie sur le fibré grassmanien de la variété ambiante et coïncide avec la courbure scalaire dans le cas de codimension 1.

Je vais présenter des exemples de sous-groupes discrets de PU(2,1), le groupe des isométries holomorphes du plan hyperbolique complexe. Ce dernier peut-être vu comme la boule unité de C^2, et apparaît donc comme une généralisation naturelle du disque de Poincaré, ou de l'espace hyperbolique réel de dimension 3. Je m'intéresserai principalement aux groupes de surfaces. Si le temps le permet j'évoquerai certains exemples de structures CR sphériques sur les variétés de dimension 3 associés.

Les espaces stratifiés sont des espaces métriques singuliers qui ont été étudiés d'abord en topologie, et plus récemment d'un point de vue analytique. Nous nous intéressons au problème de Yamabe sur un espace stratifié, c'est-à-dire à l'existence de métriques à courbure scalaire constante. Cela dépend, d'après un résultat de K. Akutagawa, G. Carron et R. Mazzeo, d'un invariant conforme : la constante de Yamabe locale. Nous allons montrer comment il est possible de la calculer en étendant au cadre singulier des résultats de géométrie Riemannienne classique.