Séminaire de géométrie (archives)

In 1978 Yau proposed a noncompact version of Calabi's conjecture: Given a compact complex space X and an anticanonical divisor D in X, does the complement X\D admit complete Ricci-flat Kähler metrics? Conversely, is it true that any complete Ricci-flat Kähler manifold can be written as X\D in this way? I will survey some recent work in this direction (partly joint with R. Conlon, M. Haskins, and J. Nordström) dealing with questions of existence, asymptotic properties, uniqueness, and classification of such metrics in various special situations.

La torsion anaylytique de Ray-Singer est un invariant riemannien des variétés compactes, et le théorème de Cheeger-Müller la relie à un invariant combinatoire (la torsion de Reidemeister). Pour des variétés de volume fini non-compactes la torsion analytique n'est pas définie à cause de la présence de spectre continu pour le laplacien. Pour des variétés hyperboliques on peut utiliser la formule des traces pour contourner ce problème. Il reste ensuite à énoncer et démontrer un analogue au théorème de Cheeger-Müller.

In the first part of the seminar, I will introduce Calabi's diastasis function, a special Kähler potential defined on real analytic Kähler manifold. Then I will illustrate some of its applications. In the second part, I will apply the properties of the diastasis function to provide a lower and an upper bound for the first eigenvalue of a noncompact real analytic Kähler manifold in terms of diastasis and diastatic entropy.

Le spectre du laplacien sur les surfaces hyperboliques de volume fini est discret dans l'intervalle [0,1/4]. Avec A. Avila, nous nous intéressons à la même question mais pour l'action de SL(2,R) sur les espaces de module de surface plate. Nous montrons que le laplacien correspondant (qui ne dérive que le long des orbites de SL(2,R), un feuilletage de grande codimension) a toujours un spectre discret dans l'intervalle [0, 1/4]. Les preuves mélangent des arguments dynamiques et des arguments plus algébriques.

"On traite dans cet exposé d'une construction analytique d'instantons gravitationnels ALF, ou variétés complètes de dimension 4, hyperkählériennes, à croissance cubique du volume. On donne la construction d'instantons ALF diédraux, mal connus par contraste avec leurs homologues cycliques, récemment classifiés. On considère plus exactement des résolutions de singularités kleiniennes diédrales.

En particulier, nous verrons comment le traitement d'une équation de Monge-Ampère complexe, donné pour des variétés kählériennes ALF assez générales, nous permet sur nos exemples de corriger un prototype simple pour obtenir la métrique hyperkählérienne recherchée."