Séminaire de géométrie (archives)

Une variété Riemannienne analytique réelle, compacte, connexe, de courbure négative et à bord analytique réel strictement convexe est déterminée à isométrie près par son application de diffusion. Dans cet exposé, je discuterai ce résultat, puis j'expliquerai comment le prouver en utilisant le principe du prolongement analytique. Il faut pour cela savoir que certains objets sont analytiques réels, ce qui est obtenu par des méthodes d'analyse microlocal en régularité analytique. Il s'agit d'un travail en commun avec Yannick Guedes Bonthonneau et Colin Guillarmou.

La conjecture de Yau--Tian--Donaldson prédit que l'existence d'une métrique extrémale (au sens de Calabi) dans une classe de Kähler donnée d'une variété kählérienne est équivalente à une certaine notion de stabilité algébro-géométrique de cette classe. Dans cet exposé, nous discuterons d'une résolution de cette conjecture pour une certaine classe de fibrations toriques, appelée fibrations toriques principales semisimples. Après avoir introduit le problème de Calabi pour des variétés kählériennes générales, nous nous concentrerons sur le cas torique. Nous introduisons alors la notion de stabilité pertinente dans notre contexte et nous expliquerons la construction des fibrations principales semisimple toriques. Finalement nous énoncerons notre résultat d'existence principal et nous discuterons des éléments de preuve. En particulier, nous verrons comment réduire le problème de Calabi sur l'espace total de la fibration à un problème à courbure scalaire constante pondérée sur les fibres toriques. (arXiv:2108.12297).

On introduit une nouvelle méthode pour établir l’estimation uniforme C^0 des solutions aux équations de Monge-Ampère complexes. Notre approche est basée sur une utilisation raffinée des enveloppes plurisousharmoniques. C’est un travail en collaboration avec Vincent Guedj.

Les variétés de Vaisman sont des variétés complexes admettant des métriques localement conformément kähleriennes dont la forme de Lee est parallèle. La géométrie de ces variétés est en proche relation avec la géométrie kählerienne, car les variétés de Vaisman admettent une foliation transversalement kählerienne naturelle. Cependent ces variétés ne vérifient pas le lemme de dd^c, il est donc intéressant d'étudier leur cohomologie de Bott-Chern, qui devient un invariant raffiné. Dans cet exposé, j'expliquerai comment on peut exprimer cette cohomologie par rapport à la cohomologie basique de la foliation, et en particulier déduire que les nombres de Bott-Chern et les nombres de Dolbeaut se déterminent réciproquement. Je montrerai en même temps que les obstructions numériques au lemme de dd^c peuvent être arbitrairement grosses. Ceci est un travail commun avec Alexandra Otiman.

La croissance asymptotique du nombre de géodésiques fermées sur une surface hyperbolique a été étudiée depuis Huber (1961) et a des applications dans plusieurs sujets en mathématiques. Dans sa thèse, Mirzakhani a démontré que pour une surface hyperbolique orientable d'aire finie, le nombre de géodésiques fermées, simples, de longueur au plus L est équivalent à un monôme en L, dont le degré dépend seulement de la caractéristique d'Euler de la surface. Dans le contexte non-orientable, la situation est très différente. Une des principales différences dans ce cas-là est le comportement de l'action du mapping class group sur l'espace des laminations mesurées. En collaboration avec Erlandsson, Gendulphe et Souto, nous avons caractérisé l'adhérence des orbites pour cette action des laminations mesurées, des laminations mesurées projectives et des points de l'espace de Teichmüller de la surface.

Le recherche de métriques de Kähler canoniques sur les variétés projectives peut être considérée comme une tentative d'extension du théorème d'uniformisation des surfaces de Riemann en toute dimension. Cette recherche a connu d'importants progrès ces dernières années, culminant dans ce qui s'appelle aujourd'hui le programme de Yau-Tian-Donaldson. Dans cet exposé, je vais expliquer le rôle joué par les méthodes de quantification au sein de ce programme, et comment elles peuvent être améliorées par une étude semi-classique du bruit quantique de la quantification de Berezin-Toeplitz. Cet exposé est basé sur un projet en commun avec Leonid Polterovich.

Une variété riemannienne à courbure de Ricci minorée vérifie plusieurs propriétés analytico-géométriques bien connues. Dans nos travaux récents avec Gilles Carron et Ilaria Mondello, nous travaillons sous une hypothèse strictement plus faible qu’une minoration de la courbure de Ricci: nous demandons que la partie négative du tenseur de Ricci soit contrôlée en un sens faible impliquant le noyau de la chaleur. Nous formalisons cette hypothèse à l’aide d’une quantité appelée constante de Kato. Je présenterai nos deux résultats concernant la stabilité des variétés fermées à constante de Kato petite et à premier nombre de Betti égal à la dimension. Le premier dit qu’une telle variété est Gromov-Hausdorff proche d’un tore plat. Le second dit que, sous une hypothèse de Kato plus forte, une telle variété est difféomorphe à un tore: ceci étend un résultat de Colding et Cheeger-Colding obtenu sous une hypothèse de courbure de Ricci minorée.

Dans cet exposé, on s’intéresse à une variété kählerienne compacte X admettant une structure de Poisson holomorphe. Sous l’hypothèse de l’existence d’une feuille compacte L à groupe fondamental fini du feuilletage de Poisson associé, on peut montrer qu’a revêtement fini près, X est un produit d’une variété symplectique (en l’occurence le revêtement universel de L) et d’une variété de Poisson. Ce résultat peut être vu comme une version globale du theorème de décomposition de Weinstein. Travail en commun avec Stéphane Druel, Jorge Pereira et Brent Pym.

La notion de stabilité est centrale dans le problème de classification des fibrés holomorphes sur une variété projective donnée. On s'intéresse dans cet exposé au comportement de la stabilité sous pullback par un morphisme entre variétés. Dans le cas d'une immersion générique de grand degré, un théorème de Mehta et Ramanathan stipule que le pullback d'un fibré (semi)stable reste semi(stable). On étudiera alors le cas des submersions, dans deux contextes. Le premier, lisse, via des méthodes de géométrie différentielle et l'étude des connexions Hermite-Yang-Mills (en collaboration avec Lars Martin Sektnan). Le deuxième, singulier et torique, via des méthodes combinatoires et algébriques (en collaboration avec Achim Napame)

This line of studies was initiated by Yasha Eliashberg. The central object of this talk is a piecewise constant Withney symplectic form on a combinatorial manifold. Basic questions are whether such symplectic structures satisfy Darboux and can be used to triangulate smooth symplectic manifolds. Some answers will be provided. This is a joint work with Julie Distexhe.