Séminaire de géométrie (archives)

Nous montrons que la première valeur propre du Laplacien admet un maximum parmi les métriques riemanniennes d’aire fixée sur une surface compacte orientable sans bord, quel que soit son genre. La réponse à cette question n’était connue que pour des topologies de genre petit, et restait ouverte depuis les travaux fondateurs de Hersch 1970 (sphère), ou Berger 1973, Nadirashvili 1996 (tores).

Nous commencerons l'exposé par la présentation de résultats et de problèmes qui font le lien entre la théorie spectrale du laplacien et la dynamique du flot géodésique sur une variété riemannienne compacte. Nous étudierons ensuite, si le temps nous le permet, les questions analogues dans le cas plus simple de l'application du chat d'Arnold agissant sur le tore de dimension 2.

The Levy flight hypothesis postulates that Levy flight search patterns are more efficient than searches based on Brownian motions. However, in this talk I will present some recent results suggesting that this may not always be the case. 

These insights are based on obtaining detailed properties of the infinitesimal generators for geodesic Levy processes, which are not always fractional Laplacians as in the Euclidean case. Instead, depending on the behaviour of geodesic flows, these infinitesimal generators can take on various forms, including in some cases displaying propagation type behaviours like fundamental solutions of wave equation. We will discuss the ramification of these unexpected properties on the underlying stochastic process.

Roughly speaking, an ALF metric of real dimension 4n should be a metric such that its asymptotic cone is 4n - 1 dimensional, the volume growth of this metric is of order 4n - 1 and its sectional curvature tends to 0 at infinity. We will show that the Taub-NUT deformation of a hyperkahler cone with respect to a locally free circle action is ALF hyperkahler. Modelled on this metric at infinity, we can show the existence of ALF Calabi-Yau metric on certain crepant resolutions. In particular, there exist ALF Calabi-Yau metrics on canonical bundles of classical homogeneous Fano contact manifolds.

L'espace hyperbolique complexe est l'analogue en géométrie complexe de l'espace hyperbolique réel : il s'agit de l'unique variété simplement connexe à courbure sectionnelle holomorphe constante (négative). Comme son pendant réel, il possède un modèle de la boule, dont le bord à l'infini (la sphère) est naturellement muni d'une géométrie. Plus précisément, il s'agit d'une géométrie de Cauchy-Riemann (CR), qui est la géométrie naturelle des hypersurfaces réelles dans les variétés Kähler. La géométrie du bord est intimement liée à la géométrie Riemannienne de la variété hyperbolique complexe. Dans cet exposé, nous considérons une variété complète et non compact dont la courbure à l'infini est proche de celle de l'espace hyperbolique complexe. Sous une condition géométrique naturelle, nous expliquerons comment construire un bord à l'infini pour une telle variété, qui possède toutes les caractéristiques de la sphère à l'infini de l'espace hyperbolique modèle. Ce résultat est une généralisation dans le cas presque-complexe de travaux effectués par E. Bahuaud et R. Gicquaud dans les années 2010, concernant les variétés localement asymptotiquement hyperboliques réelles.

Sur une surface fermée à courbure négative, Margulis a explicité la croissance asymptotique du nombre de géodésiques fermées de longueurs bornées, quand la borne tend vers l’infini. Une question naturelle est de savoir si on peut obtenir des résultats similaires pour des géodésiques qui sont sujettes à certaines contraintes, topologiques ou géométriques. Après un état de l’art sur la question, je présenterai des résultats récents sur le comptage de géodésiques fermées pour lesquelles on a prescrit certains nombres d’intersection géométriques avec une famille de courbes simples.