Séminaire de géométrie (archives)

La systole d'une surface hyperbolique est la longueur de la géodésique fermée la plus courte sur la surface. Déterminer la systole maximale possible d'une surface hyperbolique d'une topologie donnée est une question classique en géométrie hyperbolique. Je vais parler d'un travail commun avec Mingkun Liu sur la question de ce que les constructions aléatoires peuvent apporter à ce problème d'optimisation.

Nous montrons qu'un domaine pseudoconvexe bidimensionnel de type fini avec une métrique de Bergman Kähler-Einstein est biholomorphe à la boule unité. Cela répond à une vieille question de Yau pour de tels domaines. La preuve repose sur l'asymptotique des dérivées du noyau de Bergman le long de chemins tangents critiques s'approchant de la frontière, où l'ordre de tangence est égal au type du point frontière approché. Travail en collaboration avec M. Xiao.

Les connexions hermitiennes de Yang-Mills (HYM) apparaissent en théorie de jauge comme solutions d'un problème de minimisation de courbure pour une métrique hermitienne sur un fibré vectoriel holomorphe donné. La célèbre correspondance de Kobayashi-Hitchin relate leur existence à une notion de "stabilité" en géométrie algébrique. Malgré cela, il reste difficile en général de déterminer si un fibré donné admet une telle connexion. Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle construction de connexions HYM, via des "pullbacks" le long d'éclatements entre variétés de Kähler. Ceci est basé sur des travaux en collaborations avec A. Clarke, et L. Sektnan.

Les variétés de Vaisman forment une classe spéciale des variétés hermitiennes. Elles sont non-kähleriennes, cependant elles sont munies d'un feuilletage holomorphe transversalement kählerien, et de ce fait héritent des propriétés analogues à celles provenant de la géométrie kählerienne. L'annulation de la première classe de Chern d'une variété de Vaisman se traduit en une condition sur la classe de Bott-Chern. Cette dernière a un signe qui determine un des trois comportements possibles de la variété, concernant l'existence des métriques de Vaisman canoniques, le groupe de biholomorphismes ainsi que leurs petites déformations.

Nous montrons que la première valeur propre du Laplacien admet un maximum parmi les métriques riemanniennes d’aire fixée sur une surface compacte orientable sans bord, quel que soit son genre. La réponse à cette question n’était connue que pour des topologies de genre petit, et restait ouverte depuis les travaux fondateurs de Hersch 1970 (sphère), ou Berger 1973, Nadirashvili 1996 (tores).

Nous commencerons l'exposé par la présentation de résultats et de problèmes qui font le lien entre la théorie spectrale du laplacien et la dynamique du flot géodésique sur une variété riemannienne compacte. Nous étudierons ensuite, si le temps nous le permet, les questions analogues dans le cas plus simple de l'application du chat d'Arnold agissant sur le tore de dimension 2.

The Levy flight hypothesis postulates that Levy flight search patterns are more efficient than searches based on Brownian motions. However, in this talk I will present some recent results suggesting that this may not always be the case. 

These insights are based on obtaining detailed properties of the infinitesimal generators for geodesic Levy processes, which are not always fractional Laplacians as in the Euclidean case. Instead, depending on the behaviour of geodesic flows, these infinitesimal generators can take on various forms, including in some cases displaying propagation type behaviours like fundamental solutions of wave equation. We will discuss the ramification of these unexpected properties on the underlying stochastic process.