Séminaire des doctorants (archives)

[English version bellow]

Certaines EDP linéaires issues de la cinétique des plasmas (ex : Fokker-Planck linéaire) possédant des états stationnaires vers lesquels il y a convergence. Peut-on être quantitatif et déterminer ce taux de convergence?

Il se trouve que oui. En particulier, on peut exhiber un taux de convergence exponentiel si et seulement si l'opérateur apparaissant dans l'EDP est dit hypocoercif, ce qui est le cas pour beaucoup de modèles linéaires.

On commencera par traiter le cas très instructif des matrices hypocoercives, puis on passera à la dimension infinie avec l'équation de Fokker-Planck linéaire. S'il reste du temps, je présenterais une méthode numérique préservant l'hypocoercivité de l'équation de Fokker-Planck linéaire.

Après avoir rapidement remonter le fil de la théorie classique des noeuds on s'attachera à démêler ces idées et voir comment elles peuvent s'appliquer au cas des noeuds legendriens.

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After a brief overview of the classical knots theory, we will discuss how its idea can be applied to the context of legendrian knots.

On va jouer au billard sur une table au bord sans coins (ni trous !).

Règles du jeu : L'objectif est de faire rouler une boule de sorte à ce qu'elle revienne à sa position initiale. Libre à nous de fixer le nombre requis de rebonds de la boule sur le bord.

Après avoir modélisé le problème (à savoir : défini notre 'billard mathématique' et une trajectoire dans celui-ci), on trouvera effectivement des orbites n-périodiques.

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We're going to play billiards on a table with an edge with no corners (or holes!).

Rules of the game: The aim is to roll a ball so that it returns to its initial position. We are free to set the number of times the ball has to bounce off the edge.

Dans cet exposé, je vous donnerai un aperçu de mon travail de thèse en cours. Il y a de l'algèbre, de la topologie, une boîte noire et de l'algèbre linéaire sur les corps finis, ça devrait plaire à tout le monde. Je ferai donc des rappels sur les groupes et donnerai une idée de ce qu'est le groupe fondamental. Puis j'introduirai l'invariant tricoloriage qui est a priori l'objet central de ma thèse. Pour finir nous ferons quelques calculs dans les corps finis si le temps le permet.

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Dans cet exposé, nous répondrons à un problème d'analyse numérique : quelles sont les relations d'ordre pour les méthodes de type Runge-Kutta ? Cette question à vite trouvée une réponse pour les premiers ordres (1,2,3) et il s'agit ici de trouver une réponse pour les ordres plus élevé. Après des rappels sur les méthodes de Runge-Kutta et des relations d'ordres, nous introduirons les séries de Butcher (B-série), un objet algébrique découvert spécifiquement pour répondre à cette question, établissant un pont entre l'analyse numérique et l'algèbre. Ces objets ayant trouvé plus récemment une application en théorie quantique des champs, ceci me permet d'affirmer que l'analyse numérique, c'est quantique !

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Les courbes algébriques sont définis sont comme des zéros de polynômes en 2 variables. On a tous déjà croisé des exemples dans le plan réel R^2 (ne serait-ce que les droites et les cercles).

La question devient moins visuel lorsque l'on regarde les zéros complexes donc dans C^2. Pourtant comme souvent, les propriétés dans le monde complexe sont plus rigides et simples.

La propriété qui nous intéressera est la classification topologique des courbes complexes avant de revenir dans le monde réel.

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Algebraic curves are defined as zeros of polynomials in 2 variables. We've all come across examples in the real plane R^2 (if only straight lines and circles).

Une légende raconte que la ville de Délos, frappée par la peste, consulta un oracle. Apollon offrit son aide, à condition de construire un autel cubique deux fois plus grand que l'autel existant... mais est-ce possible ? Cette légende est l'occasion de sortir règles et compas, et de se demander quels nombre peut-on construire géométriquement. Je vulgariserai quelques éléments de théorie des corps pour expliquer comment l'algèbre vient au secours de la géométrie... et invite à se méfier des divinités grecques.

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L'analyse de la marche est devenue un levier important dans la compréhension et le suivi médical de la sclérose en plaques. Le dispositif eGait (brevet en cours ; eGait, 2021) permet de construire un biomarqueur appelé Signature de Marche (SdM) qui caractérise la rotation de la hanche d'un individu au cours d'un cycle de marche moyen où les rotations sont représentées par des quaternions unitaires. L'IGP fournit une mesure quantitative de la marche à un moment donné. Une méthode de classification semi-supervisée a été développée (Drouin et al., 2022).

Dans cet exposé, je partirai d'une loi de conservation quelconque et vous introduirai différentes notions de solution. Nous partirons d'abord de la notion de solution classique, la solution forte. Ensuite, nous nous intéresserons aux solutions faibles, et aux problèmes d'unicité des solutions dans ce cadre. Enfin, nous arriverons aux solutions mesure-valuées, et aux différentes problématiques qui leur sont propres. Je reformulerai rapidement ce problème en un problème portant sur les moments, et, selon le temps restant, vous parlerai des méthodes numériques utilisées pour résoudre le problème au moments.

Prérequis : aucun

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