Séminaire des doctorants (archives)

[English version bellow]

La représentation et la visualisation non supervisées de données à l'aide d'outils de topologie constituent un domaine actif et en expansion de l'Analyse de Données Topologiques (TDA). Une de ses lignes de travail les plus remarquables repose sur le graphe Mapper, qui est un graphe combinatoire dont les structures topologiques (composantes connexes, branches, boucles) correspondent à celles des données elles-mêmes. Bien que très générique et applicable, son utilisation a été jusqu'à présent entravée par l'ajustement manuel de ses nombreux paramètres, parmi lesquels un crucial est le filtre : il s'agit d'une fonction continue dont les variations sur l'ensemble de données sont l'ingrédient principal pour construire la représentation du Mapper. Dans ce travail, nous nous appuyons sur un cadre d'optimisation récemment proposé incorporant la topologie pour fournir le premier schéma d'optimisation du filtre pour les graphes Mapper. Pour y parvenir, nous proposons une version plus relaxée et plus générale du graphe Mapper, dont les propriétés de convergence sont étudiées. Enfin, nous démontrons l'utilité de notre approche en optimisant les représentations des graphes Mapper sur plusieurs ensembles de données.

Unsupervised data representation and visualization using tools from topology is an active and growing field of Topological Data Analysis (TDA). Its most prominent line of work is based on the so-called Mapper graph, which is a combinatorial graph whose topological structures (connected components, branches, loops) are in correspondence with those of the data itself. While highly generic and applicable, its use has been hampered so far by the manual tuning of its many parameters-among these, a crucial one is the so-called filter: it is a continuous function whose variations on the data set are the main ingredient for building the Mapper representation. In this work, we build on a recently proposed optimization framework incorporating topology to provide the first filter optimization scheme for Mapper graphs. In order to achieve this, we propose a relaxed and more general version of the Mapper graph, whose convergence properties are investigated. Finally, we demonstrate the usefulness of our approach by optimizing Mapper graph representations on several datasets.

Certaines EDP linéaires issues de la cinétique des plasmas (ex : Fokker-Planck linéaire) possédant des états stationnaires vers lesquels il y a convergence. Peut-on être quantitatif et déterminer ce taux de convergence?

Il se trouve que oui. En particulier, on peut exhiber un taux de convergence exponentiel si et seulement si l'opérateur apparaissant dans l'EDP est dit hypocoercif, ce qui est le cas pour beaucoup de modèles linéaires.

On commencera par traiter le cas très instructif des matrices hypocoercives, puis on passera à la dimension infinie avec l'équation de Fokker-Planck linéaire. S'il reste du temps, je présenterais une méthode numérique préservant l'hypocoercivité de l'équation de Fokker-Planck linéaire.

Après avoir rapidement remonter le fil de la théorie classique des noeuds on s'attachera à démêler ces idées et voir comment elles peuvent s'appliquer au cas des noeuds legendriens.

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After a brief overview of the classical knots theory, we will discuss how its idea can be applied to the context of legendrian knots.

On va jouer au billard sur une table au bord sans coins (ni trous !).

Règles du jeu : L'objectif est de faire rouler une boule de sorte à ce qu'elle revienne à sa position initiale. Libre à nous de fixer le nombre requis de rebonds de la boule sur le bord.

Après avoir modélisé le problème (à savoir : défini notre 'billard mathématique' et une trajectoire dans celui-ci), on trouvera effectivement des orbites n-périodiques.

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We're going to play billiards on a table with an edge with no corners (or holes!).

Rules of the game: The aim is to roll a ball so that it returns to its initial position. We are free to set the number of times the ball has to bounce off the edge.

Once we've modelled the problem (i.e. defined our 'mathematical billiard table' and a trajectory within it), we'll effectively find n-periodic orbits.

Dans cet exposé, je vous donnerai un aperçu de mon travail de thèse en cours. Il y a de l'algèbre, de la topologie, une boîte noire et de l'algèbre linéaire sur les corps finis, ça devrait plaire à tout le monde. Je ferai donc des rappels sur les groupes et donnerai une idée de ce qu'est le groupe fondamental. Puis j'introduirai l'invariant tricoloriage qui est a priori l'objet central de ma thèse. Pour finir nous ferons quelques calculs dans les corps finis si le temps le permet.

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In this talk, I'll give you an overview of my current thesis work. There's algebra, topology, a black box and linear algebra over finite fields, which should appeal to everyone. So I'll give a few reminders about groups and give an idea of what the fundamental group is. Then I'll introduce the tricoloring invariant, which is a priori the central object of my thesis. Finally, if time permits, we'll do some calculations in finite fields.

Dans cet exposé, nous répondrons à un problème d'analyse numérique : quelles sont les relations d'ordre pour les méthodes de type Runge-Kutta ? Cette question à vite trouvée une réponse pour les premiers ordres (1,2,3) et il s'agit ici de trouver une réponse pour les ordres plus élevé. Après des rappels sur les méthodes de Runge-Kutta et des relations d'ordres, nous introduirons les séries de Butcher (B-série), un objet algébrique découvert spécifiquement pour répondre à cette question, établissant un pont entre l'analyse numérique et l'algèbre. Ces objets ayant trouvé plus récemment une application en théorie quantique des champs, ceci me permet d'affirmer que l'analyse numérique, c'est quantique !

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In this talk, we answer a problem in numerical analysis: what are the order relations for Runge-Kutta methods? This question find rapidly an answered for the first orders (1,2,3), and the aim here is to find an answer for higher orders. After reviewing Runge-Kutta methods and order relations, we'll introduce Butcher series (B-series), an algebraic object discovered specifically to answer this question, bridging linking numerical analysis and algebra. As these objects have more recently found application in quantum field theory, I'm happy to say that numerical analysis is quantum !

Les courbes algébriques sont définis sont comme des zéros de polynômes en 2 variables. On a tous déjà croisé des exemples dans le plan réel R^2 (ne serait-ce que les droites et les cercles).

La question devient moins visuel lorsque l'on regarde les zéros complexes donc dans C^2. Pourtant comme souvent, les propriétés dans le monde complexe sont plus rigides et simples.

La propriété qui nous intéressera est la classification topologique des courbes complexes avant de revenir dans le monde réel.

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Algebraic curves are defined as zeros of polynomials in 2 variables. We've all come across examples in the real plane R^2 (if only straight lines and circles).

The question becomes less visual when we look at complex zeros in C^2. Yet, as is often the case, properties in the complex world are more rigid and simple.

The property we're interested in is the topological classification of complex curves, before returning to the real world.