Séminaire des doctorants (archives)

En 1895 Wilhelm Conrad Röntgen découvre qu'en faisant passer des rayons à travers les gens, il est capable d'obtenir une photo de leurs squelettes. Plusieurs années plus tard l'idée a grandi, et l'on est désormais capable de donner des images en 3D de l'intérieur d'un corps. Nous verrons comment le problème fut formalisé mathématiquement. Je donnerais une méthode de résolution pour le cas en 2D ainsi que quelques problèmes liées à l'application pratique.

Au 17e siècle, la guerre du calcul infinitésimal fait rage, opposant Leibniz et les "accroissement évanescents" et Newton et les "quantités fluentes". Newton gagne, les epsilon et les delta avec lui. Le calcul diff' tel qu'on le pratique aujourd'hui de la Tasmanie au Groenland est celui de l'homme qui se prenait des pommes. Pourtant, dans les années 60, la théorie des modèles d'Abraham Robinson offre un cadre mathématique rigoureux à la pensée de Leibniz.

La relativité générale à été introduite par le célèbre physicien Albert Einstein il y a tout juste 100 ans. De cette théorie difficile découle l'existence d'objets aussi complexes que fascinants : les trous noirs. Ces objets ont été largement étudiés durant les dernières décennies notamment en théorie de la diffusion. Dans une série de papiers récents F.Nicoleau (Université de Nantes) et T.Daudé (Université de Cergy-Pontoise) se sont intéressés à un problème de diffusion inverse à énergie fixée notamment pour les trous noirs de type de Sitter-Reissner-Nordström qui sont des solutions à symétrie sphérique et électriquement chargées des équations de Einstein-Maxwell.

« Tout sous-groupe d’un groupe libre est libre ». On peut même déterminer très facilement son rang ! Cependant le plus surprenant ici n’est pas l’énoncé mais une des preuves que l’on peut en donner. Car ce théorème purement algébrique peut être démontré … de manière topologique. L’exposé aura pour but d’expliquer cette preuve, en présentant l'outil sur lequel elle repose : les revêtements.

Après avoir rappelé les notions de structures de contact, de nœuds legendriens et transverses, on s'intéressera aux problèmes de finitude des nœuds.

Dans un premier temps, on regardera les relations entre nœuds legendriens, nœuds transverses et structures de contact. Dans un second temps, on verra comment ces liens impliquent, dans certains cas, la finitude ou l'engendrement.

Si $\varphi$ est une fonction qui stabilise un ensemble (le disque unité D, le segment [0,1],..) on peut définir l'opération linéaire de composition par $\varphi$ : $f\mapsto f\circ\varphi$ sur un espace de fonctions (sur D, [0,1],..). On va voir comment des critères géométriques sur $\varphi$ peuvent influer sur la continuité, ou la compacité de l'opérateur de composition, en particulier dans les espaces de Hardy et de Müntz.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à un type particulier d’équations issues de la physique mathématique dont l’équation de Schrödinger à potentiel quasi-périodique constitue un exemple important. Parmi les solutions d'un tel système, nous étudierons l’existence de solutions réductibles, qui, via une conjugaison bien choisie, se ramènent à un système constant. Contrairement au cas périodique - synthétisé par le théorème de Floquet - où toute solution est réductible, le cas quasi-périodique est beaucoup plus riche de possibilités. En particulier, dans un cadre perturbatif et antisymétrique, on peut, via un jeu sur les résonances, aboutir à des situations paradoxales.

Le but de l'exposé est de présenter un théorème KAM en dimension infinie. On considéra un hamiltonien sous normale dont la partie quadratique admet des valeurs propres multiples mais d'ordre fini. On appliquera après ce théorème KAM à l'équation des ondes cubique sur le cercle.

On considère l'équation des ondes non linéaire perturbée par une force aléatoire régulière en espace du type bruit blanc. Il est connu que cette équation engendre un processus de Markov qui possède une unique mesure stationnaire. Notre but est de décrire le comportement asymptotique de la famille de ces mesures lorsque l'amplitude du bruit tend vers zéro. On montrera, en particulier, qu'il existe une fonction à niveau compact qui décrit précisément ces asymptotiques.

Ce séminaire sera décomposé en deux parties indépendantes. Dans la première nous nous intéresserons aux liens qu'il peut y avoir entre mécanique quantique et mécanique classique, et notamment comment passer de l'une à l'autre lorsque l'on change l’échelle d'étude d'un problème. Dans la deuxième partie, nous étudierons un problème à première vue purement mathématique : les liens entre groupes et algèbres de Lie.