Séminaire des doctorants (archives)

L'étude des mélanges de carte d'un point de vue mathématiques a entre autre été entrepris par le sympathique personnage de Perci Diaconis. Nous verrons dans cet exposé quelques-uns des outils mis en place par Diaconis et ses collaborateurs pour répondre à cette épineuse question du nombre de mélanges nécessaires afin de "randomiser" au mieux un jeu de carte.

In this talk we introduce the Kramers-Fokker-Planck equation as a way to describe Brownian motion. The summary of known results about the corresponding operator is presented and then our main aim is to study large-time asymptotics of solutions of the KFP equation with a short-range potential in dimension one. After finding the expansion of the resolvent near the threshold of the essential spectrum we may employ representation formula of the semigroup in terms of the resolvent to obtain the asymptotics of solutions.

On commencera par introduire les équations cinétiques avec ses notions principales, puis on donnera quelques éléments de base de la théorie de Semi groupe et le théorème de Hille-Yosida dans le cas d'un espace de Hilbert. Finalement, on étudiera l'équation de Vlasov-Fokker-Planck avec un potentiel électrique extérieur de confinement $V$, et on montrera le retour à l'équilibre thermodynamique globale avec un taux de décroissance exponentielle, en utilisant la méthode récente d'hypocoercivité.

En prenant mon temps, je vais expliquer ce qu'est un problème faiblement hyperbolique, et décrire une méthode d'énergie permettant de montrer l'existence de solutions. Nous aurons besoin des espaces de Gevrey, qui sont une classe de fonction C^{\infty} mais non analytiques. Nous ferons aussi, si le temps le permet, un petit détour vers l'inégalité de Glaeser et ses petites soeurs.

Soit u solution d’une équation de Klein-Gordon cubique, quasi-linéaire, en dimension 1 d’espace, avec données initiales régulières de taille petite. Il est connu que, sous certaines conditions sur la non-linéarité, la solution est globale en temps pour des données initiales à support compact. Nous montrons que ce résultat est aussi vrai quand les données ne sont pas à support compact mais seulement décroissantes à l’infini comme ⟨x⟩^{−1}, en combinant la méthode des champs de vecteurs de Klainerman avec une méthode de formes normales semi-classiques. De plus, nous obtenons un développement asymptotique à un terme pour u, prouvant ainsi un résultat de scattering modifié.

Le but de cet exposé est de donner une manière de construire l'homologie d'un groupe quelconque. L'idée est d'associer un espace, ou plus précisément un delta-complexe à un groupe, puis de calculer l'homologie de cet espace. Je commencerai par parler de la notion de delta-complexe puis je décrirai le delta-complexe associé à un groupe donné.

Dans cet exposé, je vous exposerai un problème d'optimisation de gain moyen dans un casino. Je vous présenterai le contexte d'une machine à sous composée de plusieurs bras. Le but est de sélectionner le bras permettant de maximiser son gain. On donnera des bornes sur le regret (qui correspond à la différence en espérance entre le gain maximum et le gain obtenu pour notre stratégie) dans le cas général et dans le cas d'une stratégie particulière (UCB).

Dans cet exposé on fera des rappels généraux de thermodynamique, on énoncera les deux premiers principes de la thermodynamique, et on définira la transformée de Legendre qui permet d'obtenir tous les potentiels thermodynamiques souhaités. Ensuite, on présentera les différentes catégories d'états d'équilibres pour un système thermodynamique et les critères de stabilité. À la fin on présentera l'équation de Van Der Waals qui le moyen le plus réputé pour décrire une transition de phase liquide vapeur.

Cet exposé se voudra une invitation à l'étude de problèmes iso-spectraux. Je rappellerai des notions de mécanique hamiltonienne et notamment la notion de système intégrable et de tores invariants. J'énoncerai ensuite un problème de rigidité spectrale sur une variété compacte sans bord munie d'un opérateur proche du laplacien qui nous amènera à exhiber des invariants-isospectraux liés à des tores de la théorie K.A.M..

Dans une première partie, je présenterai le contexte étudié : le système hyperbolique du p-système et le régime asymptotique de sa limite diffusive. Je ferai ensuite un état de l'art de ce qui a déjà été fait dans le cadre continu et semi-discret pour l'étude du taux de convergence des solutions du système vers sa limite diffusive. Je définirai ensuite la notion de préservation de l'asymptotique (AP) de schémas numérique puis le schéma AP étudié. Pour finir, j’expliquerai comment obtenir rigoureusement le taux de convergence explicite de ce schéma vers sa limite diffusive numérique.