Séminaire des doctorants (archives)

Nonlinear Schrodinger equation (NLS) is in the following form: $$i\frac{du}{dt}=-\Delta_x u + |u|^2u,$$, where $x$ lies in the torus $\mathbb{T}^d$, and $t\in \mathbb{R}$. We are going to study the behavior of the solution $u(t,x)$ ( corresponding to initial value $u(0,x)$). By applying Birkhoff normal forms, we see that in the one dimensional context, all solutions are linear stable. However, in higher dimensions , the answer is not that simple. I will introduce some recent important results, and explain the main idea in each case.

La modélisation d'évolution de population, comme la reproduction cellulaire, peut se faire à l'aide des processus de branchement. Dans le cas discret, ils sont connus sous le nom de processus de Bienaymé-Galton-Watson. Ce premier cas a longuement été étudié par les mathématiciens. Nous sommes capables, entre autre, d'étudier sa probabilité d'extinction, son nombre d'individu, son nombre de feuille, le nombre d'individu d'un degré donné... L'une des méthodes permettant l'étude de tels processus est d'associer au processus de B-G-W une marche aléatoire, dite à décroissance unitaire. C'est le codage de Lukasiewich-Harris. Dans cet exposé, on introduira la notion de processus de branchement multi-types discret (i.e. processus à $d\in\N$ types).

Toute surface différentielle peut être "habillée" par différentes structures géométriques sympathiques, par exemple une métrique riemannienne à courbure constante pour n'en citer qu'une. L'existence d'une structure de ce type pour toute surface (qui découle d'un résultat profond, le théorème d'uniformisation de Poincaré-Riemann) permet de les étudier à l'aide de la géométrie.

Dans cet exposé, on s’intéresse à la modélisation du changement de phase liquide-vapeur avec la prise en compte des états métastables contenus dans la loi de van der Waals. Un état métastable correspond à un état gazeux (resp. liquide) qui, après une légère perturbation, passe à l’état liquide (resp. gazeux) brutalement. Dans un premier temps, on présente les propriétés de la loi d’état de van der Waals dans ses représentations isotherme et non-isotherme. Puis on aborde l’étude d’un problème d’optimisation sous contraintes, ce qui nous permet de caractériser les états d’équilibre thermodynamique et le nombre de phases maximale qui peuvent coexister à l’équilibre thermodynamique.

À la croisée de la théorie de la mesure et de la géométrie, l’inégalité de Pólya–Szegő affirme que l’énergie des fonctions de Sobolev est décroissante pour le réarrangement symétrique décroissant. Cette inégalité, en lien avec l’inégalité isopérimétrique (et donc l’inégalité arithmético-géométrique), a notamment permis d’expliciter des maximiseurs dans l’inégalité de Sobolev. Je sais, ça fait beaucoup d’inégalités, mais j’introduirai toutes les notions nécessaires, et j’apporterai des preuves (élémentaires !) des résultats.

On s'intéressera au groupe fondamental d'une variété et à certaines généralisations. Un outil fondamental pour le calcul de cet invariant est le théorème de van Kampen, qui permet de déterminer $\pi1(U \cup V)$ à partir de $\pi1(U)$ et $\pi1(V)$, si $U\cap V$ est connexe. Mais cela ne s'applique pas au cercle, et l'on passe habituellement par les revêtements pour montrer que $\pi1(S^1) =\mathbb{Z}$. Dans cet exposé je présenterai une preuve alternative de ce résultat à l'aide des groupoïdes, qui sont des catégories représentant des "groupes fondamentaux avec plusieurs points de base". On prouvera ainsi un théorème de van Kampen sur les groupoïdes, et si le temps le permet on évoquera les généralisations en plus grand degré.

Cet exposé porte sur des discrétisations particulières des équations de Saint-Venant avec terme source de friction. Dans une première partie je présenterai le problème homogène ainsi que le problème de Riemann associé pour lequel on discutera de l'admissibilité des solutions faibles. Ensuite je présenterai un schéma développé de façon à préserver une certaine asymptotique. Cette dernière correspond aux solutions du problème dans le régime du temps long et de la friction dominante. Cette méthode, proposé par Berthon et Turpault, est usuellement utilisée dans le cas d'un terme source linéaire en la vitesse.

Une carte planaire c'est un graphe planaire muni de son dessin dans le plan. On peut aussi le voir comme une surface topologique discrète. Une manière de construire une géométrie 2-dimensionnelle aléatoire est de l'approximer par une grande carte planaire tirée au hasard. Je donnerai des résultats classiques sur les limites de cartes et parlerai des outils combinatoires et de processus stochastiques utilisés dans la théorie.

Dans un premier temps, on parlera de géométrie des groupes. On essayera de voir comment on peut dessiner et représenter un groupe en tant qu'espace géométrique, notamment en introduisant les graphes de Cayley. On parlera ensuite du nombre de bouts d'un espace topologique en général, puis d'un groupe de type fini. On montrera alors le très joli résultat suivant (attribué à Freudenthal et Hopf): un groupe de type fini a soit 0, soit 1, soit 2 soit une infinité de bouts. Si le temps le permet, on parlera de la classification des groupes ayant 2 bouts et des groupes ayant une infinité de bouts.

Le volume de données disponibles est en perpétuelle expansion.

Il est primordial de fournir des méthodes efficaces et robustes permettant d'en extraire des informations pertinentes.

Nous nous focalisons sur des données pouvant être représentées sous la forme de nuages de points dans un certain espace muni d'une métrique, e.g. l'espace Euclidien R^d, générées selon une certaine distribution. Parmi les questions naturelles que l'on peut se poser lorsque l'on a accès à des données, trois d'entre elles sont abordées dans cette thèse.