Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Dans cet exposé, je vais aborder l'inférence statistique en discutant de plusieurs méthodes, notamment la méthode des fonctions caractéristiques et l'algorithme EM, approche Bayésienne, approche statistiques des extrêmes dans le contexte des lois stables. Ensuite, je présenterai une adaptation de certaines de ces méthodes à l'estimation des paramètres des coefficients de diffusion d'une équation différentielle stochastique dirigée par un processus stable, en utilisant une approche d'approximation numérique. Je vais également évoquer quelques applications réelles associées (en épidémiologie ou finance) tout au long de l'exposé. En fonction du temps disponible, je conclurai mon exposé par un résumé synthétique d'autres modèles stochastiques de recherche auxquels je m'intéresse dans un cadre d'estimation statistique motivé par des applications réelles en épidémiologie ou en santé environnement.

Références : 1. Ibrahim Bouzalmat, Benoîte de Saporta and Solym Manou-Abi. Parameter estimation for a hidden linear birth and death process with immigration. arXiv:2303.00531v2 2. Solym M. Manou-Abi. Approximate solution for a class of stochastic differential equation driven by stable processes. hal.science/hal-04217398v3 3. Omar Hajjaji, Solym M. Manou-Abi and Yousri Slaoui. Parameter estimation for stable distributions and their mixture. https://hal.science/hal-04218721 4. Solym M. Manou-Abi. Parameter estimation for a class of stable driven stochastic differential equation. https://hal.science/hal-04268224v4

Dans les enquêtes probabilistes, il arrive que la base de sondage de la population d’intérêt ne soit pas disponible. S’il existe une base de sondage liée à la population d’intérêt, un échantillon peut être obtenu par échantillonnage indirect. On peut ensuite déterminer les poids d'échantillonnage grâce à la méthode généralisée de partage des poids (MGPP) introduite par Deville et Lavallée (2006)[1] et Lavallée (2007)[2]. La MGPP est une méthode avantageuse, car il existe dans certaines situations des poids d’échantillonnage minimisant la variance de l’estimateur en résultant. Cependant, c’est une méthode complexe à appliquer quand les liens entre les populations sont difficiles à observer. Une solution est de considérer une population intermédiaire, liée à la base de sondage et à la population d’intérêt, puis d’utiliser un échantillonnage indirect double. Les poids d’échantillonnage peuvent être déterminés grâce à une MGPP double : la MGPP est utilisée deux fois, d’abord entre la base de sondage et la population intermédiaire, puis entre la population intermédiaire et la population d’intérêt. La MGPP double permet de réduire le nombre de liens à observer (Médous et al., 2023 [3]). Elle est donc plus facile à mettre en place que la MGPP, mais résulte souvent en une perte de précision. Néanmoins, il existe dans certaines situations des poids d’échantillonnage minimisant la variance de la MGPP double de manière à ne plus perdre en précision par rapport à la MGPP, tout en conservant les facilités de mise en place de la MGPP double. Quand ces poids ne sont pas calculables, comme dans l’enquête française sur le trafic postal, un poids alternatif peut être utilisé pour améliorer la précision de l’estimateur obtenu par MGPP double. Les résultats sont illustrés par des simulations Monte-Carlo et une application à l’estimation du trafic postal.

Mots-clés : Enquêtes, sondage indirect, méthode généralisée de partage des poids, plan de sondage complexe, population finie

Références : [1] Deville, J.-C. et Lavallée, P. (2006). Indirect sampling: the foundations of the generalized weight share method, Survey methodology, 32(2), 165-176. [2] Lavallée, P. (2007). Indirect sampling, Springer-Verlag New York. [3] Médous, E., Goga, C., Ruiz-Gazen, A., Beaumont, J. F., Dessertaine, A. et Puech, P. (2023). Many-to-One indirect sampling with application to the French postal traffic estimation. Annals of Applied Statistics,17 (1), 838-859

On considère des processus autorégressifs pour lesquels on crée un pont entre un comportement stable et un comportement instable à l'aide d'une matrice compagne $A{n}$ dépendant du temps et dont le rayon spectral $\rho(A{n}) < 1$ est tel que $\rho(A_{n}) \rightarrow 1$. Ce cadre de travail est particulièrement pertinent pour comprendre les problématiques de racines unitaires en se focalisant sur la frontière intérieure du cercle unité. On étudie le comportement asymptotique de l'estimation en termes de consistance et de normalité. On propose de plus une procédure de test statistique pour décider de la proximité du rayon spectral avec le cercle unité, afin de savoir "à quel point un processus quasi-instable est proche de l'instabilité". Quelques résultats numériques illustrent ces résultats.

The objective of topological data analysis is to extract information of topological nature (connected components, holes, voids...) from the data and use them as features to perform various machine-learning tasks. We start by building a nested sequence of simplicial complexes on top of the data and track the evolution of its topology along the sequence. Computing the Euler characteristic of each complex in the sequence yields a descriptor called the Euler characteristic curve that we use as a feature vector. We will demonstrate that this descriptor has a very good performance in terms of accuracy, strong explainability in terms of topology, and stability with respect to the input data while having a drastically reduced computational cost. We will also study integral transforms of this descriptor and show how this "topological signal processing" enables better performance, especially in an unsupervised setting. Joint work with Vadim Lebovici (Oxford)

Références utiles : Euler characteristic tools for topological data analysis, Hacquard and Lebovici (2023) An introduction to topological data analysis: fundamental and practical aspects for data scientists, Chazal and Michel (2021) Euler characteristic curves and profiles: a stable shape invariant for big data problems, Dlotko and Gurnari (2023)