Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Cet exposé porte sur l’analyse numérique d’un problème de diffusion avec une condition au bord impliquant un Laplacien de surface en utilisant la méthode des éléments finis de Lagrange avec un ordre élevé. Afin de définir cet opérateur surfacique sur le bord, le domaine est supposé lisse : ainsi, le domaine maillé ne correspond pas au domaine physique initial, entraînant une erreur géométrique. Nous utilisons alors des maillages courbes afin de réduire cette erreur et définissons un opérateur de lift permettant de comparer la solution exacte définie sur le domaine initial et la solution approchée définie sur le domaine discrétisé. Nous obtenons alors des estimations d’erreur a priori, exprimées en termes d’erreur d’approximation par éléments finis et d’erreur géométrique. Des expériences numériques en 2D et 3D valident et complètent ces résultats théoriques, soulignant en particulier l’optimalité des erreurs obtenues. Ces simulations permettent également d’identifier une super-convergence des erreurs sur les maillages quadratiques.

Soit $(Zk)$ une suite de variables aléatoires complexes indépendantes et identiquement distribuées de distribution commune $\mu$ et soit $Pn(X):=\prod{k=1}^n (X-Zk)$ le polynôme aléatoire associé dans $\mathbb C[X]$. En 2015, Z. Kabluchko a établi le résultat remarquable et inconditionnel qui affirme que la mesure empirique $\nun$ associée aux points critiques de $Pn$ converge faiblement en probabilité vers la mesure de base $\mu$. Dans cet exposé, nous expliquerons comment renforcer cette convergence en probabilité en une convergence presque sûre. Nous évoquerons aussi le cas des zéros des dérivées d'ordres supérieurs. Travaux en commun avec D. Malicet et G. Poly.

Pour la bibliographie, on pourra consulter ces références : https://doi.org/10.1112/blms.12963 https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2014-12258-1 https://doi.org/10.1214/24-ECP596

La motilité cellulaire est un phénomène impliqué dans de nombreux processus biologiques comme la propagation des cancers, la réponse immunitaire, la cicatrisation ou le développement embryonnaire. Après avoir présenté le contexte biologique, je présenterai un modèle à frontière libre en dimension 2 modélisant la motilité cellulaire. Je présenterai des résultats sur l'existence d'état stationnaire et ondes progressives. Enfin je présenterai un schéma numérique permettant de réaliser des simulations numériques mettant en avant l'influence du noyau sur la motilité cellulaire.

Unsupervised learning aims to capture the underlying structure of potentially large and high-dimensional datasets. Traditionally, this involves using dimensionality reduction methods to project data onto lower-dimensional spaces or organizing points into meaningful clusters (clustering). Typically, this process involves aligning two graphs depicting the relationship between samples in the input high-dimensional space and their corresponding positions in the output low-dimensional space. In this talk we will present a new perspective on these approaches that is based on optimal transport and the Gromov-Wasserstein distance. Precisely, we will propose a new general framework, called distributional reduction, that recovers dimension reduction and clustering as special cases and allows us to address them jointly with a single optimization problem. We then empirically showcase the relevance of our approach on both image and genomics datasets.

In this presentation, we study various continuous finite element discretization for one and two dimensional hyperbolic partial differential equations, varying the polynomial space: Lagrangian on equispaced, Lagrangian on quadrature points (Cubature) and Bernstein; the stabilization techniques: streamline-upwind Petrov–Galerkin, continuous interior penalty, orthogonal subscale stabilization; and the time discretization: Runge–Kutta (RK), strong stability preserving RK and deferred correction (DeC). The last one allows to alleviate the computational cost as the mass matrix inversion is replaced by the high order correction iterations. To understand the effects of these different combinations, we propose both timecontinuous and fully discrete Fourier analysis. These allow to compare all of them in terms of accuracy and stability, as well as to provide suggestions for optimal values discretization parameters involved. The results are thoroughly verified numerically both on linear and non-linear problems, and error-CPU time curves are provided. Furthermore, we introduce additional high order viscosity to stabilize the discontinuities, in order to show how to use these methods for tests of practical interest.

Dans cet exposé, je présenterai mes travaux de thèse et postdoctoraux sur l’application des méthodes numériques en biologie. Nous avons utilisé le modèle individu centré (IBM) pour analyser le comportement collectif d’agents suivant des règles simples, reliant les les comportements individuels aux aspects spatiaux et révélant la dynamique émergente des populations. Cette approche a été appliquée à des modèles multi-échelle pour les campagnols, les cellules T CD8 et les organoïdes de neuroblastome. Inspirés du modèle hybride ODE-Multi Agent de Marilleau-Lang-Giraudoux [1], nous avons développé un modèle pour analyser la dynamique des campagnols en France, utilisant des équations différentielles ordinaires dans des cellules carrées, sans dynamique spatiale. Lorsque la densité d’une cellule dépasse un seuil, des jeunes campagnols migrent et forment un agent dont le comportement est influencé par la topographie et les cellules voisines. Nous avons utilisé un graphe orienté avec des équations de transport pour chaque colonie et simulé des transitions entre colonies [2]. Les simulations ont validé le modèle simplifié, et nous avons également exploré des modèles plus complexes pour la densité de la population de campagnols [3] et les interactions proie-prédateur [4]. Pendant mon postdoctorat, j’ai utilisé le logiciel Simuscale [5] d’INRIA pour développer des modèles multi-échelle sur les cellules T CD8 et les organoïdes de neuroblastome. Nous avons modélisé les cellules T CD8 avec une approche IBM, incluant un réseau de régulation genetique décrit par un processus de Markov déterministe par morceaux, ce qui a bien reproduit la dynamique biologique et permis d’évaluer la sensibilité des paramètres [6]. Pour les organoïdes de neuroblastome, un réseau génétique simple a été développé, et les structures 3D simulées ont été validées par comparaison avec des images d’immunohistochimie. Les premiers résultats sont encourageants, ce travail est actuellement en cours.

Des cristaux à la forme de notre univers, en passant par les structures du vivant, des questions de symétries se posent à toutes les échelles d'organisation de la matière, mathématiquement souvent en termes d'isométries ou de théorie des groupes. La statistique directionnelle est justement l'étude des données provenant d'objets "naturels" autres que la droite réelle, comme les sphères et les graphes, les groupes de Lie, où un simple calcul de moyenne requiert l'utilisation de technique et fonctions "spéciales".

Qu'est-ce qu'une fonction spéciale ? Les premières sont les sept familles de polynômes orthogonaux classiques, continus ou discrets. Le point de vue initié par E. Cartan, développé par N. Ya. Vilenkin, relie des fonctions spéciales plus générales à la théorie de la représentation des groupes, outil né des questions de symétrie, donc doublement adapté a ce domaine de la statistique directionnelle qui nous intéresse.

Notre outil principal est fourni par les développements de Karhunen-Loève, qui, faisant intervenir des fonctions spéciales et des noyaux de covariance, sont à l'intersection des statistiques (composantes principales, distributions asymptotiques), probabilités (espaces gaussiens, à noyau auto-reproduisant) et de l'analyse (Théorème de Mercer).

Nous tenterons d'illustrer ces questions à travers nos publications des six dernières années : par des problèmes aussi concrets que les vides de l'univers (collaboration avec E. Russel), la stratégie de course au Marathon (collaboration avec V. Billat), puis les tests d'adéquations sur des variétés ou graphes 2-point homogènes, et enfin le problème plus abstrait d'une identité de duplication de G. Watson sur le cercle (étudiée par M. Yor et Z. Shi), dont nous esquissons une généralisation, objet de nos travaux actuels.
Un problème concernant la loi des grands nombres, posé par D. Pierre-Loti-Viaud, sera évoqué.

In this talk, we address the stability problem of the famous Brascamp-Lieb inequality for striclty log-concave probability measures on the Euclidean space. More precisely, if a given function almost satisfies the equality in the BL inequality, is it true that it is close in some sense to the underlying extremal functions ? Using a spectral interpretation of the BL inequality, we prove that the distance to the extremal functions in quadratic norm is of order square root of the deficit parameter and involves the second positive eigenvalue of a convenient diffusion operator we wish to estimate. Our results are illustrated by some examples for which the usual uniform convexity assumption on the potential is relaxed. This is a joint work with M. Bonnefont (Institut de Mathématiques de Bordeaux) and J. Serres (Institut de Mathématiques de Toulouse).

Modeling concentrated ion mixtures in solvents like water is a complex research area with key applications in biology (e.g., ion transport through protein channels) and electrochemistry (e.g., batteries).

In this talk, I will present a finite volume scheme for modeling the diffusion of ions in constrained geometries using a degenerate Poisson-Nernst-Planck system with size exclusion yielding cross-diffusion. The proposed method utilizes a two-point flux approximation and is part of the exponentially fitted scheme framework. The scheme is shown to be thermodynamically consistent, as it ensures the decay of some discrete version of the free energy. Classical numerical analysis results - existence of discrete solution, convergence of the scheme as the grid size and the time step go to 0 - follow. The long-time behavior of the scheme is also investigated, both from a theoretical and numerical point of view. Numerical simulations confirm our findings, but also point out some possibly very slow convergence towards equilibrium of the system under consideration.

The objective of extremal regression is to estimate and infer quantities describing the tail of a conditional distribution. Examples of such quantities include quantiles and expectiles, and the regression version of the Expected Shortfall. Traditional regression estimators at the tails typically suffer from instability and inconsistency due to data sparseness, especially when the underlying conditional distributions are heavy-tailed. Existing approaches to extremal regression in the heavy-tailed case fall into two main categories: linear quantile regression approaches and, at the opposite, nonparametric approaches. They are also typically restricted to i.i.d. data-generating processes. I will here give an overview of a recent series of papers that discuss extremal regression methods in location-scale regression models (containing linear regression quantile models) and nonparametric regression models. Some key novel results include a general toolbox for extreme value estimation in the presence of random errors and joint asymptotic normality results for nonparametric extreme conditional quantile estimators constructed upon strongly mixing data. Joint work with A. Daouia, S. Girard, M. Oesting and A. Usseglio-Carleve.

Références : Girard, S., Stupfler, G. and Usseglio-Carleve, A. (2021). Extreme conditional expectile estimation in heavy-tailed heteroscedastic regression models, Annals of Statistics 49(6): 3358-3382. Daouia, A., Stupfler, G. and Usseglio-Carleve, A. (2023). Inference for extremal regression with dependent heavy-tailed data, Annals of Statistics 51(5): 2040-2066.