Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

We consider the simple random walk on the Euclidean lattice in transient dimensions. It is known that the number of distinct visited sites is asymptotically linear in time. The probability of visiting a smaller number of sites, with a difference of the order of the mean, was evaluated asymptotically by Phetpradap in 2010, taking up the seminal work of van den Berg, Bolthausen and den Hollander in 2001 concerning the volume of a Wiener sausage. We consider the random walk conditioned to such a rare event and prove that the occupation measure of a certain random walk skeleton converges to a unique optimal profile modulo space shift, provided the deviation from the mean is large enough if dimension is four or higher. Our proof of this so-called tube property relies on the recent compactification of the space of measures introduced by Mukherjee and Varadhan, and it is a first step in the rigourous proof of the Swiss cheese picture proposed by van den Berg, Bolthausen and den Hollander. This is joint work with Dirk Erhard (Salvador de Bahia, Brazil).

References : M. van den Berg, E. Bolthausen and F. den Hollander, Moderate deviations for the volume of the Wiener sausage, Ann. of Math. (2) 153 (2001), no.~2, 355--406; MR1829754 C. Mukherjee and S. R. S. Varadhan, Brownian occupation measures, compactness and large deviations, Ann. Probab. 44 (2016), no.~6, 3934--3964; MR3572328

This talk will investigate the asymptotic behavior of evolution equations, including non-conservative ones, that are expected to converge to equilibrium at exponential speed. After reviewing some of the most classical methods used to derive this type of convergence, we will introduce an original approach to address this question. The key idea is to transform the problem into an equivalent conservative one, where solutions are probability measures, enabling the use of tools from optimal transport. Two examples in 1D -namely, the inhomogeneous heat equation with growth, and growth-fragmentation- will help us illustrate the method. This work is a collaboration with V. Calvez.

Cette étude s'intéresse aux phénomènes géophysiques, et plus particulièrement aux courants de densité pyroclastiques, des mélanges complexes composés de pyroclastes, de fragments rocheux et d'air. Ces phénomènes destructeurs, capables de parcourir de grandes distances et d'impacter des zones urbanisées, se distinguent par leur capacité à se propager même sur des terrains à faible pente. La fluidisation et la dilatation de ces matériaux granulaires denses semblent jouer un rôle clé dans ces dynamiques. Des approches de modélisation ont ainsi été développées pour approfondir leur compréhension.

Un modèle de mélange fluide-solide, adapté pour intégrer les propriétés spécifiques du gaz interstitiel, a été utilisé. La compressibilité du gaz permet de reformuler l'équation de conservation de la masse de la phase gazeuse en une équation dépendant de la pression. Pour décrire la dynamique de la phase solide, l'équation de quantité de mouvement de cette phase est complétée par des lois constitutives basées sur une rhéologie seuil et une fonction de dilatance. La divergence du champ de vitesse, qui reflète la capacité de l'écoulement granulaire à s'étendre ou à se comprimer, dépend ainsi de la fraction volumique, la pression, le taux de déformation et le nombre inertiel. Ce cadre théorique fournit une description réaliste et robuste des écoulements granulaires non-isochore fluidisés et constitue une base solide pour des études numériques.

Nous allons nous intéresser aux variables aléatoires de la forme Pn((Xi)i≥1), où : (i) (Pn)n≥1 est une suite de polynômes multivariés, chacun avec un nombre possiblement dénombrable de variables ; (ii) il existe une constante D≥1 telle que pour tout n≥1, le degré de Pn est borné par D ; (iii) (Xi)i≥1 est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, chacune ayant une moyenne nulle, une variance 1 et des moments finis à tout ordre.

Nous présenterons d'abord différents contextes où ces objets apparaissent naturellement: décomposition de Wiener pour des fonctionnelles d'un champ Gaussien, décomposition de Walsh pour des fonctions booléennes ou encore la décomposition Anova de Hoeffding puis donnerons quelques exemples d'utilisation récents de ces objets en physique statistique, théorie des graphes, géométrie aléatoire ou encore sciences sociales.

L'objectif principal de l'exposé est de présenter la résolution d'une question ouverte dans ce domaine de recherche consistant à classifier toutes les limites possibles en loi pour ce type de variables aléatoires.

Références: (liens arxiv)

-https://arxiv.org/abs/math/0503503

-https://arxiv.org/abs/2203.02850

-https://www.mathnet.ru/links/8acff9ba19ee0ead6e448b77afbcde60/rm9721_eng.pdf

Cet exposé porte sur l’analyse numérique d’un problème de diffusion avec une condition au bord impliquant un Laplacien de surface en utilisant la méthode des éléments finis de Lagrange avec un ordre élevé. Afin de définir cet opérateur surfacique sur le bord, le domaine est supposé lisse : ainsi, le domaine maillé ne correspond pas au domaine physique initial, entraînant une erreur géométrique. Nous utilisons alors des maillages courbes afin de réduire cette erreur et définissons un opérateur de lift permettant de comparer la solution exacte définie sur le domaine initial et la solution approchée définie sur le domaine discrétisé. Nous obtenons alors des estimations d’erreur a priori, exprimées en termes d’erreur d’approximation par éléments finis et d’erreur géométrique. Des expériences numériques en 2D et 3D valident et complètent ces résultats théoriques, soulignant en particulier l’optimalité des erreurs obtenues. Ces simulations permettent également d’identifier une super-convergence des erreurs sur les maillages quadratiques.

Soit $(Zk)$ une suite de variables aléatoires complexes indépendantes et identiquement distribuées de distribution commune $\mu$ et soit $Pn(X):=\prod{k=1}^n (X-Zk)$ le polynôme aléatoire associé dans $\mathbb C[X]$. En 2015, Z. Kabluchko a établi le résultat remarquable et inconditionnel qui affirme que la mesure empirique $\nun$ associée aux points critiques de $Pn$ converge faiblement en probabilité vers la mesure de base $\mu$. Dans cet exposé, nous expliquerons comment renforcer cette convergence en probabilité en une convergence presque sûre. Nous évoquerons aussi le cas des zéros des dérivées d'ordres supérieurs. Travaux en commun avec D. Malicet et G. Poly.

Pour la bibliographie, on pourra consulter ces références : https://doi.org/10.1112/blms.12963 https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2014-12258-1 https://doi.org/10.1214/24-ECP596

La motilité cellulaire est un phénomène impliqué dans de nombreux processus biologiques comme la propagation des cancers, la réponse immunitaire, la cicatrisation ou le développement embryonnaire. Après avoir présenté le contexte biologique, je présenterai un modèle à frontière libre en dimension 2 modélisant la motilité cellulaire. Je présenterai des résultats sur l'existence d'état stationnaire et ondes progressives. Enfin je présenterai un schéma numérique permettant de réaliser des simulations numériques mettant en avant l'influence du noyau sur la motilité cellulaire.

Unsupervised learning aims to capture the underlying structure of potentially large and high-dimensional datasets. Traditionally, this involves using dimensionality reduction methods to project data onto lower-dimensional spaces or organizing points into meaningful clusters (clustering). Typically, this process involves aligning two graphs depicting the relationship between samples in the input high-dimensional space and their corresponding positions in the output low-dimensional space. In this talk we will present a new perspective on these approaches that is based on optimal transport and the Gromov-Wasserstein distance. Precisely, we will propose a new general framework, called distributional reduction, that recovers dimension reduction and clustering as special cases and allows us to address them jointly with a single optimization problem. We then empirically showcase the relevance of our approach on both image and genomics datasets.

In this presentation, we study various continuous finite element discretization for one and two dimensional hyperbolic partial differential equations, varying the polynomial space: Lagrangian on equispaced, Lagrangian on quadrature points (Cubature) and Bernstein; the stabilization techniques: streamline-upwind Petrov–Galerkin, continuous interior penalty, orthogonal subscale stabilization; and the time discretization: Runge–Kutta (RK), strong stability preserving RK and deferred correction (DeC). The last one allows to alleviate the computational cost as the mass matrix inversion is replaced by the high order correction iterations. To understand the effects of these different combinations, we propose both timecontinuous and fully discrete Fourier analysis. These allow to compare all of them in terms of accuracy and stability, as well as to provide suggestions for optimal values discretization parameters involved. The results are thoroughly verified numerically both on linear and non-linear problems, and error-CPU time curves are provided. Furthermore, we introduce additional high order viscosity to stabilize the discontinuities, in order to show how to use these methods for tests of practical interest.

Dans cet exposé, je présenterai mes travaux de thèse et postdoctoraux sur l’application des méthodes numériques en biologie. Nous avons utilisé le modèle individu centré (IBM) pour analyser le comportement collectif d’agents suivant des règles simples, reliant les les comportements individuels aux aspects spatiaux et révélant la dynamique émergente des populations. Cette approche a été appliquée à des modèles multi-échelle pour les campagnols, les cellules T CD8 et les organoïdes de neuroblastome. Inspirés du modèle hybride ODE-Multi Agent de Marilleau-Lang-Giraudoux [1], nous avons développé un modèle pour analyser la dynamique des campagnols en France, utilisant des équations différentielles ordinaires dans des cellules carrées, sans dynamique spatiale. Lorsque la densité d’une cellule dépasse un seuil, des jeunes campagnols migrent et forment un agent dont le comportement est influencé par la topographie et les cellules voisines. Nous avons utilisé un graphe orienté avec des équations de transport pour chaque colonie et simulé des transitions entre colonies [2]. Les simulations ont validé le modèle simplifié, et nous avons également exploré des modèles plus complexes pour la densité de la population de campagnols [3] et les interactions proie-prédateur [4]. Pendant mon postdoctorat, j’ai utilisé le logiciel Simuscale [5] d’INRIA pour développer des modèles multi-échelle sur les cellules T CD8 et les organoïdes de neuroblastome. Nous avons modélisé les cellules T CD8 avec une approche IBM, incluant un réseau de régulation genetique décrit par un processus de Markov déterministe par morceaux, ce qui a bien reproduit la dynamique biologique et permis d’évaluer la sensibilité des paramètres [6]. Pour les organoïdes de neuroblastome, un réseau génétique simple a été développé, et les structures 3D simulées ont été validées par comparaison avec des images d’immunohistochimie. Les premiers résultats sont encourageants, ce travail est actuellement en cours.