Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Dans cet exposé, on s’intéresse à une stratégie numérique pour reproduire le comportement d’un globule rouge se mouvant dans un milieu fluide et soumis à un stimulus électrique. Pour cela, on s’appuie sur un modèle mécanique dans lequel la cellule est décrite comme une fine membrane élastique séparant le contenu liquide de la cellule de la matrice extérieure. Le défi numérique de ce système est surtout représenté par des conditions de transmission imposées à travers une interface évolutive dans le temps, ainsi que par la manipulation de champs avec des discontinuités à l’interface. La stratégie qu’on propose est basée sur la génération de maillages qui suivent le profil de l’interface, réalisés en découpant un maillage en arrière-plan. L’adoption de maillages adaptés permet de traiter simplement les conditions d’interface, mais l’algorithme de découpage engendre des éléments finis qui ne sont pas des simplexes. Pour faire face à cela, on propose des schémas supportant des maillages génériques.

En particulier, on adopte une méthode de type Hybrid High Order pour résoudre un problème de Stokes avec des conditions de transmission à l’interface, et on introduit un nouveau schéma de type Discrete De Rham pour résoudre le problème elliptique avec interface associé à la variable électrique. Pour ce dernier, on présente un résultat de stabilité ainsi qu’une estimation d’erreur a priori.

State-Space Models (SSMs) are deterministic or stochastic dynamical systems defined by two processes. The state process, which is not observed directly, models the transformation of the states over time. On another hand, the observation process produces the observables on which model fitting and prediction are based. Ecology frequently uses stochastic SSMs to represent the imperfectly observed dynamics of population sizes or animal movement. However, several simulation-based evaluations of model performance suggest broad identifiability issues in ecological SSMs. Formal SSM identifiability is typically investigated using exhaustive summaries, which are simplified representations of the model. The theory on exhaustive summaries is largely based on continuous-time deterministic modelling and those for ecological SSMs have developed by analogy. While the discreteness of time does not constitute a challenge, finding a good exhaustive summary for a stochastic SSM is more difficult. The strategy adopted so far has been to create exhaustive summaries based on a transfer function of the expectations of the stochastic process. However, this evaluation of identifiability does not allow to take into account the possible dependency between the variance parameters and the process parameters. We show that the output spectral density plays a key role in stochastic SSM identifiability assessment. This allows us to define a new suitable exhaustive summary. Using several ecological examples, we show that usual ecological models are often theoretically identifiable, suggesting that most SSM estimation problems are due to practical rather than theoretical identifiability issues.

The term "slender" refers to structures with a very high ratio between their longitudinal lenght and their transverse dimensions, typically, a cylinder with an height significantly larger than its radius. Because of this particular geometry, many models have been developed to provide a simplified description of the kinematics and dynamics of the structure. A standard approach in this context is to account for the distribution of forces and deformations only along the centerline. Consequently, the velocity fields and equilibrium equations of the structure are described in a one-dimensional (1D) setting. However, when a slender structure is immersed in a three-dimensional (3D) fluid, enforcing kinematic and dynamic coupling conditions on a 1D domain requires the introduction of a double trace operator (codimension 2) which demands regularity for the solution within the fluid domain, a condition which is generally not satisfied a priori. In this talk, I will introduce and analyse a new mathematically sound approach for modelling and solving 3D-1D fluid-structure interaction problems. The main idea is to combine a fictitious domain approach with the projection of the kinematic constraint onto a finite-dimensional space defined along the structure's centerline. The discrete formulation is based on the finite element method and a semi-implicit treatment of the Dirichlet-Neumann coupling conditions, employing a partitioned procedure for the resolution of the fluid-structure interaction problem.

Dans cette présentation, nous discutons de résultats asymptotiques, en particulier de variation régulière et de déviations larges, pour certaines classes de processus en clusters de Poisson et pour quelques fonctionnelles associées. L’accent est mis sur le cas du processus de Hawkes (marqué), qui sert de fil conducteur et d’exemple central. Nous illustrons ensuite la pertinence des hypothèses du cadre théorique par une application à des données sismologiques suisses. Il s’agit d’une travail conjoint avec Valérie Chavez-Demoulin et Olivier Wintenberger.

During an epidemic outbreak, decision makers crucially need accurate and robust tools to monitor the pathogen propagation. The effective reproduction number, defined as the expected number of secondary infections stemming from one contaminated individual, is a state of the art indicator quantifying the epidemic intensity. Numerous estimators have been developed to precisely track the reproduction number temporal evolution. Yet, COVID 19 pandemic surveillance raised unprecedented challenges due to the poor quality of worldwide reported infection counts. When monitoring the epidemic in different territories simultaneously, leveraging the spatial structure of data significantly enhances both the accuracy and robustness of reproduction number estimates. However, this requires a good estimate of the spatial structure.

Le problème inverse de l’électrophysiologie cardiaque vise à reconstruire l’activité électrique du cœur à partir de mesures non invasives de potentiels électriques à la surface du torse. Ce problème est mathématiquement mal posé au sens de Hadamard, ce qui le rend particulièrement difficile à résoudre. Il est classiquement formulé comme un problème de minimisation contraint par une équation aux dérivées partielles. Dans un premier temps, je présenterai une approche visant à mieux contraindre ce problème par l’élaboration d’un nouveau modèle d’EDP de contrainte. Dans un second temps, j'introduirai une approche complémentaire, fondée sur le filtrage bayésien, permettant de mieux intégrer et visualiser les incertitudes associées à la résolution du problème et aux résultats obtenus.

Consider a group of individuals who form a social network. For each individual in the group compute its friendship-bias, i.e., the difference between the average number of friends of its friends and the number of its friends (all friendships are mutual), and average these numbers over all the individuals in the group. It turns out that the latter average is always non-negative, and is strictly positive as soon as not all individuals have exactly the same number of friends. This fact, which at first glance seems counterintuitive, goes under the name of friendship paradox.

Based on joint work with Rajat Hazra (Leiden), Nelly Litvak (Eindhoven) and Azadeh Parvaneh (Leiden).

Natural gradient descent (NGD) can be seen as a preconditioned update where parameter changes are driven by a functional perspective. In a spirit similar to Newton’s method, the NGD update uses, instead of the Hessian, the Gram matrix of the generating system of the tangent space to the approximation manifold at the current iterate, with respect to a suitable metric. Although its assemblage and inversion is prohibitively expensive in the context of large machine learning models, it becomes not only feasible but necessary when we look at scientific machine learning problems using models not requiring as many parameters. Sill, both gradient and natural gradient descent will get stuck at any local minima. Furthermore, when the approximation class is a non-linear manifold (i.e. neural networks) or the loss function is other than L² distance (KL-divergence for a classification problem, PDE residual as in physics informed learning) even the natural gradient might yield non-optimal directions at each step. The talk will focus on how we can tackle these situations by introducing a Natural version of classical inertial dynamic methods like Nestorov or Heavy-ball.

Bayesian Inversion consists of deriving the posterior distribution of unknown parameters or functions from partial and indirect observations of a system. When the dimension of the search space is high or infinite, methods leveraging local information, such as derivatives of different orders, of the target probability measure have the advantages to converge faster than Monte-Carlo sampling techniques. Nevertheless, many applications are characterized by posterior distributions with low regularity or gradients that are intractable to compute. An interesting research direction consists in using interacting particle systems to explore the potential landscape, and Ensemble Kalman Sampler (EKS) is one of those. In this talk, we consider a simplified EKS dynamics, where the gradient of the potential is approximated by finite differences using independent Ornstein-Uhlenbeck processes that explore the neighborhood of the candidate parameter. We will characterize the invariant distribution of this system and compare its dynamics to the overdamped Langevin process.

Dans cette présentation, nous nous intéresserons à deux méthodes numériques indépen- dantes permettant d’accélérer et d’améliorer la résolution des EDP.

Récemment, ParaOpt, un algorithme parallèle en temps a été proposé pour résoudre les systèmes découlant de problèmes de contrôle optimal associés à des équations différentielles partielles (EDP). Cet algorithme combine la résolution des problèmes d’évolution forward/backward avec la boucle d’optimisation. Sa convergence et la précision de l’approximation numérique dépendent du schéma de pas de temps utilisé pour discrétiser le problème. Une première analyse de convergence a été présentée dans M.J. Gander, F. Kwok et J. Salomon SISC (2020) dans le cas restreint de la méthode implicite d’Euler pour les problèmes de contrôle optimal linéaire-quadratique impliquant des systèmes dissipatifs. Dans cette présentation, nous généraliserons ce résultat au cas où une méthode de Runge-Kutta est utilisée pour discrétiser le problème de contrôle optimal. Nous expliquons en particulier comment la discrétisation de la fonctionnelle doit être adaptée au schéma considéré et comment des conditions supplémentaires s’ajoutent aux conditions d’ordre habituel des méthodes de Runge-Kutta pour obtenir l’ordre de convergence attendu. Aphynity [Yuan Yin et al., J. Stat. Mech. (2021) 124012] est une approche consistant à ajouter un terme correctif sous la forme d’un réseau neurone à une EDP afin de prévoir avec précision l’évolution d’un système et d’identifier correctement ses paramètres physiques. L’apprentissage est alors effectué dans la boucle externe du solveur considéré, de sorte que l’entraînement se fait indirectement par le biais d’un schéma en temps. Nous décrirons l’influence du schéma choisi sur le réseau résultant et montrerons, dans des cas particuliers, que l’ordre d’approximation des termes corrigés correspond à l’ordre du schéma utilisé. Nous expliquerons également comment optimiser l’apprentissage par une approche de type Richardson.