Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

We consider a one-dimensional simple random walk killed by quenched soft obstacles. The position of the obstacles is drawn according to a renewal process with a power-law increment distribution. In a previous work, we computed the large-time asymptotics of the quenched survival probability. In the present work we continue our study by describing the behaviour of the random walk conditioned to survive. We prove that with large probability, the walk quickly reaches a unique time-dependent optimal gap that is free from obstacle and gets localized there. We actually establish a dichotomy. If the renewal tail exponent is smaller than one then the walk hits the optimal gap and spends all of its remaining time inside, up to finitely many visits to the bottom of the gap. If the renewal tail exponent is larger than one then the random walk spends most of its time inside of the optimal gap but also performs short outward excursions, for which we provide matching upper and lower bounds on their length and cardinality. Our key tools include a Markov renewal interpretation of the survival probability as well as various comparison arguments for obstacle environments. Our results may also be rephrased in terms of localization properties for a directed polymer among multiple repulsive interfaces.

In case you want to read more about this topic or get prepared for the talk, you can have a look at the following two articles:

• Poisat, J. and Simenhaus, F., 2020. A ℓimit theorem for the survival probability of a simple random walk among power-law renewal obstacles. The Annals of Applied Probability, 30(5), pp.2030–68.
• Poisat, J. and Simenhaus, F., 2022. Localization of a one-dimensional simple random walk among power-law renewal obstacles. arXiv preprint <arXiv:2201.05377>.

L’optimisation stochastique englobe des méthodes permettant de minimiser une fonction de coût avec un caractère aléatoire, problème qui intervient souvent en machine learning et en particulier dans l’entraînement des réseaux de neurones. L'exemple le plus connu et le plus étudié d'une telle méthode est l'algorithme de la descente du gradient introduit par Robbins et Monro en 1951. Les algorithmes dits adaptatifs sont des extensions de cette descente de gradient stochastique classique qui visent à améliorer ses propriétés de convergence en déterminant automatiquement à chaque étape le taux d’apprentissage. Dans cette présentation on s’intéressera au comportement asymptotique des algorithmes de type RmsProp et Adagrad quand la fonction de coût est non-convexe. On montrera en particulier qu'ils convergent presque sûrement vers l'ensemble des points critiques de la fonction cible et (sous quelques hypothèses supplémentaires) vers un minimum local.

Quelques références : - pour la descente du gradient stochastique classique : Robbins et Monro(1951) A stochastic approximation method, The Annals of Mathematical Statistics - un article qui contient des résultats utiles pour l'étude des algorithmes : M. Benaim, Dynamics of stochastic approximation algorithms, publié dans Séminaire de probabilités XXXIII - un livre : M. Duflo (1996) Algorithmes stochastiques, volume 23 de Mathématiques & Applications (Berlin) - l'article correspondant à la présentation : S. Gadat et I. Gavra, Asymptotic study of stochastic adaptive algorithms in non-convex landscape, Journal of Machine Learning Research

TBA

Abstract

Recent works in time-frequency analysis proposed to switch the focus from the maxima of the spectrogram toward its zeros, which form a random point pattern with a very stable structure. Several signal processing tasks, such as component disentanglement and signal detection procedures, have already been renewed by using modern spatial statistics on the pattern of zeros. Tough, they require cautious choice of both the discretization strategy and the observation window in the time-frequency plane. To overcome these limitations, we propose a generalized time-frequency representation: the Kravchuk transform, especially designed for discrete signals analysis, whose phase space is the unit sphere, particularly amenable to spatial statistics. We show that it has all desired properties for signal processing, among which covariance, invertibility and symmetry, and that the point process of the zeros of the Kravchuk transform of complex white Gaussian noise coincides with the zeros of the spherical Gaussian Analytic Function. Elaborating on this theorem, we finally develop a Monte Carlo envelope test procedure for signal detection based on the spatial statistics of the zeros of the Kravchuk spectrogram.

References

The presentation will be based upon a journal paper and a conference paper:

• Pascal, B., & Bardenet, R. (2022). A covariant, discrete time-frequency representation tailored for zero-based signal detection. IEEE Transactions on Signal Processing. https://arxiv.org/pdf/2202.03835.pdf
• Pascal, B., & Bardenet, R. Une famille de représentations covariantes de signaux discrets et son application à la détection de signaux à partir de leurs zéros. Colloque GRETSI, Nancy, 6-9 Sept. 2022. http://gretsi.fr/data/colloque/pdf/2022_pascal810.pdf

For those who want to get prepared about point processes and signal processing:

• Flandrin, P. (2015). Time–frequency filtering based on spectrogram zeros. IEEE Signal Processing Letters, 22(11), 2137-2141.
• Bardenet, R., Flamant, J., & Chainais, P. (2020). On the zeros of the spectrogram of white noise. Applied and Computational Harmonic Analysis, 48(2), 6- 82-705. Bardenet, R., & Hardy, A. (2021). Time-frequency transforms of white noises and Gaussian analytic functions. Applied and computational harmonic analysis, 50, 73-104.

Les solutions des systèmes hyperboliques contiennent des discontinuités. Ces solutions faibles vérifient non seulement les EDP de départ, mais aussi une inégalité d'entropie qui agit comme un critère de sélection déterminant si une discontinuité est physique ou non. Il est très important d'obtenir une version discrète de ces inégalités d'entropie lorsqu'on approxime numériquement les solutions, sans quoi le schéma est susceptible de converger vers des solutions non physiques ou pire d'être instable. Obtenir une inégalité d'entropie discrète est en général un travail difficile, souvent inatteignable pour des schémas d'ordre élevé. Dans cet exposé, je présenterai une approche où ces inégalités sont obtenues a posteriori en minimisant une fonctionnelle bien choisie. La difficulté principale est de prendre en compte la notion de consistance. Cette méthode permet d'obtenir des "cartes de diffusion numérique" pour des schémas d'ordre quelconque. Elle permet aussi de trouver, par une autre procédure d'optimisation, la pire donnée initiale vis à vis de l'entropie. C'est un travail en collaboration avec Emmanuel Audusse, Vivien Desveaux et Julien Salomon

Les équations d'Hamilton-Jacobi contrainte apparaissent comme limite de normbreux modèles d'écologie (voir Concentration in Lotka-Volterra parabolic or integral equations: a general convergence result, G. Barles, S. Mirrahimi, and B. Perthame. 2009). Il y a quelques années Hélène Hivert a proposé un schéma pour ce type d'équations et l'a récemment appliqué au cas particulier H(p)=p^2. Pour traiter le cas général, de nombreuses adaptations sont nécessaires. Après une introduction détaillée, je présenterai deux pistes d'adaptation possible et donnerai pour chacune un aperçu du schéma de preuve.

Cette thèse s'inscrit dans le contexte du projet "e-Gait" dont l'objectif est de développer un nouvel outil de mesure basé sur l'utilisation de systèmes numériques pour quantifier les troubles de la démarche de patients atteints de maladie neurodégénative, et plus particulièrement la Sclérose En Plaques (SEP). La solution adoptée consiste à mesurer les rotations en trois dimensions de la hanche au cours de la marche à l'aide d'un système de capteurs inertiels placé à la ceinture. Ces rotations sont représentées sous la forme d'une séquence de quaternions unitaires. Des méthodes adaptées à ce type de données sont présentées pour en extraire des informations relatives à la démarche de l'individu. Un algorithme est proposé pour segmenter le signal en cycles de marche. Dans une première approche, la démarche individuelle est représentée sous forme de paramètres spatio-temporels. Dans une seconde, elle est représentée sous la forme d'une unique séquence de quaternions unitaire appelée "Signature de Marche" (SdM). Des méthodes de classification non supervisée et semi-supervisée sont adaptées pour permettre d'identifier des groupes de patients présentant des déficits de la marche similaires à partir de leur SdM.

TBA

Graphs are a useful mathematical representation for different phenomena in different application fields, such as chemistry, medicine, transportation, and social science. The analysis of populations of unlabelled networks is thus a promising but challenging task. In this work, unlabelled networks with Euclidean attributes are described in Graph Space, where every equivalence class represents all the networks obtained by permuting nodes. We hereby describe the geometry of Graph Space and we introduce a Generalized Geodesic Regression to model scalar-on-network relationships. Generalized Geodesic Regression is computed using the Align All and Compute Algorithm. Two case studies are described to showcase the potential of the model: the effect of the lockdown in the usage of public transport network in Copenhagen; the player passing network as a function of the match outcome during Fifa 2018 Championship.

De nombreuses méthodes ont été introduit via les EDPs pour la restauration d'images s'inspirant du modèle proposé par Perona et Malik en 1988. En revanche, la préservation des contours et la création des bords fictifs restent à nous jours deux problèmes non résolus. L'objectif de cette présentation est de voir l'évolution des EDPs pour le traitement de ces deux problèmes en présence de différents types de bruit. Des application sur des images IRM seront ensuite présentées pour mesurer la robustesse de chaque EDP proposée.