Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Les solutions des systèmes hyperboliques contiennent des discontinuités. Ces solutions faibles vérifient non seulement les EDP de départ, mais aussi une inégalité d'entropie qui agit comme un critère de sélection déterminant si une discontinuité est physique ou non. Il est très important d'obtenir une version discrète de ces inégalités d'entropie lorsqu'on approxime numériquement les solutions, sans quoi le schéma est susceptible de converger vers des solutions non physiques ou pire d'être instable. Obtenir une inégalité d'entropie discrète est en général un travail difficile, souvent inatteignable pour des schémas d'ordre élevé. Dans cet exposé, je présenterai une approche où ces inégalités sont obtenues a posteriori en minimisant une fonctionnelle bien choisie. La difficulté principale est de prendre en compte la notion de consistance. Cette méthode permet d'obtenir des "cartes de diffusion numérique" pour des schémas d'ordre quelconque. Elle permet aussi de trouver, par une autre procédure d'optimisation, la pire donnée initiale vis à vis de l'entropie. C'est un travail en collaboration avec Emmanuel Audusse, Vivien Desveaux et Julien Salomon

Les équations d'Hamilton-Jacobi contrainte apparaissent comme limite de normbreux modèles d'écologie (voir Concentration in Lotka-Volterra parabolic or integral equations: a general convergence result, G. Barles, S. Mirrahimi, and B. Perthame. 2009). Il y a quelques années Hélène Hivert a proposé un schéma pour ce type d'équations et l'a récemment appliqué au cas particulier H(p)=p^2. Pour traiter le cas général, de nombreuses adaptations sont nécessaires. Après une introduction détaillée, je présenterai deux pistes d'adaptation possible et donnerai pour chacune un aperçu du schéma de preuve.

Cette thèse s'inscrit dans le contexte du projet "e-Gait" dont l'objectif est de développer un nouvel outil de mesure basé sur l'utilisation de systèmes numériques pour quantifier les troubles de la démarche de patients atteints de maladie neurodégénative, et plus particulièrement la Sclérose En Plaques (SEP). La solution adoptée consiste à mesurer les rotations en trois dimensions de la hanche au cours de la marche à l'aide d'un système de capteurs inertiels placé à la ceinture. Ces rotations sont représentées sous la forme d'une séquence de quaternions unitaires. Des méthodes adaptées à ce type de données sont présentées pour en extraire des informations relatives à la démarche de l'individu. Un algorithme est proposé pour segmenter le signal en cycles de marche. Dans une première approche, la démarche individuelle est représentée sous forme de paramètres spatio-temporels. Dans une seconde, elle est représentée sous la forme d'une unique séquence de quaternions unitaire appelée "Signature de Marche" (SdM). Des méthodes de classification non supervisée et semi-supervisée sont adaptées pour permettre d'identifier des groupes de patients présentant des déficits de la marche similaires à partir de leur SdM.

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Graphs are a useful mathematical representation for different phenomena in different application fields, such as chemistry, medicine, transportation, and social science. The analysis of populations of unlabelled networks is thus a promising but challenging task. In this work, unlabelled networks with Euclidean attributes are described in Graph Space, where every equivalence class represents all the networks obtained by permuting nodes. We hereby describe the geometry of Graph Space and we introduce a Generalized Geodesic Regression to model scalar-on-network relationships. Generalized Geodesic Regression is computed using the Align All and Compute Algorithm. Two case studies are described to showcase the potential of the model: the effect of the lockdown in the usage of public transport network in Copenhagen; the player passing network as a function of the match outcome during Fifa 2018 Championship.

De nombreuses méthodes ont été introduit via les EDPs pour la restauration d'images s'inspirant du modèle proposé par Perona et Malik en 1988. En revanche, la préservation des contours et la création des bords fictifs restent à nous jours deux problèmes non résolus. L'objectif de cette présentation est de voir l'évolution des EDPs pour le traitement de ces deux problèmes en présence de différents types de bruit. Des application sur des images IRM seront ensuite présentées pour mesurer la robustesse de chaque EDP proposée.

Dans cet exposé, nous étudions quelques propriétés d'un modèle décrivant la dynamique d'un écosystème forestier, déterminé par un système de réaction-diffusion partiellement dissipatif. Nous présentons en particulier un résultat récent de non-existence de l'attracteur global, dans un cas simple, qui complète des résultats bien connus (Marion, 1989), valables pour des systèmes de réaction-diffusion partiellement dissipatifs, mais sans non-linéarité dans les équations non-diffusives. Puis, nous présentons un modèle augmenté de réaction-diffusion-advection décrivant l'interaction entre l'écosystème forestier et l'activité atmosphérique, et nous recherchons des conditions de paramètres garantissant l'instabilité de l'équilibre d'extinction.

We describe a parallel and quasi-explicit Discontinuous Galerkin (DG) kinetic scheme for solving systems of balance laws. The solver is CFL-less (i.e., the CFL number can be arbitrary) and has the complexity of an explicit scheme. It can be applied to any hyperbolic system of balance laws. In this work, we assess the performance of the scheme in the particular cases of the three-dimensional wave equation and of Maxwell’s equations. We measure the benefit of the unconditional stability by performing experiments with very large CFL numbers. In addition, the parallel possibilities of the method are investigated.

La datation par le radiocarbone est l'une des méthodes les plus utilisées en archéologie et en paléoanthropologie pour établir la chronologie sur les 50 000 à 60 000 dernières années. Elle repose sur la mesure de l'activité résiduelle du carbone 14 présent dans la matière organique des objets à dater. Cependant les mesures C14 relevées en laboratoire ne permettent pas d'obtenir directement les vrais âges des objets datés. Il faut alors passer par une étape de calibration en utilisant un modèle mathématique qui permet d'obtenir les vrais âges de ces objets lorsque l'on a leurs âges C14 mesurés en laboratoire. Néanmoins on constate qu'il y a un problème de robustesse avec les différentes mises à jour des courbes de calibration largement utilisées par la communauté du C14. L'un des objectifs de ma thèse est de trouver une façon d'améliorer la robustesse de cette courbe de calibration en explorant notamment la modélisation par les réseaux de neurones.

Le but de cet exposé est de vous présenter mon sujet de thèse et mes premiers travaux. Je vais donc commencer par une présentation rapide de la méthode de datation par le radiocarbone en expliquant pourquoi il est nécessaire de calibrer les âges C14. Ensuite, je vais présenter rapidement la méthodologie statistique utilisée pour construire la dernière courbe publiée en 2020. Enfin, je vais présenter l'approche et les pistes de modélisation par réseaux de neurones sur lesquelles je travaille actuellement.

Motivated by applications in archeology for relative dating of objects, or in 2D-tomography for angular synchronization, we consider the problem of statistical seriation where one seeks to reorder a noisy disordered matrix of pairwise affinities. This problem can be recast in the powerful latent space terminology where the affinity between a pair of items is modeled as a noisy observation of a function f(xi,xj) of the latent points xi, xj of the two items in a one-dimensional space. This reformulation naturally leads to the problem of estimating the latent positions in the latent space. Under non-parametric assumptions on the affinity function f, we introduce a procedure that provably localizes all the latent positions with a maximum error of the order of the square root of log(n)/n. This rate is proven to be minimax optimal. Different computationally efficient procedures are also analyzed, under different set of assumptions. Our general results can be instantiated to the original problem of statistical seriation, leading to new bounds for the maximum error in the ordering.