Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Les modèles de spin avec contraintes cinétiques constituent une classe de modèles de mécanique statistique qui ont été introduits par les physiciens pour décrire le comportement du verre. Il s’agit de modèles de configurations sur des graphes dans lesquels chaque sommet du graphe est soit à l’état 0, soit à l’état 1, et ne peut changer d’état que si une contrainte de la forme « il y a assez de zéros dans le voisinage du sommet » est satisfaite. Il existe une infinité de contraintes possibles, et les propriétés d’un modèle dépendent fortement du choix de sa contrainte. Une question très importante est donc celle de l’universalité : peut-on répartir cette infinité de modèles en un nombre fini de classes selon leur comportement ?

Dans cet exposé, j'évoquerai les lois de Fick et Maxwell-Stefan pour la diffusion gazeuse, puis présenterai la dérivation du second modèle en me plaçant dans l'asymptotique diffusive de l'équation de Boltzmann pour les mélanges.

Je parlerai de percolation sur un pavage aléatoire du plan. Notamment, j'expliquerai a) en quoi l'étude de ce modèle est liée à la conjecture d'universalité de la percolation planaire et b) comment étudier géométriquement ce modèle autour du point critique. Pour cela, nous aurons besoin de techniques géométriques à la Kesten et d'outils de concentration de la mesure à la Efron-Stein.

Nous nous intéressons à la résolution numérique des équations d’Euler faiblement compressible. Dans ce régime dit bas-Mach, les ondes acoustiques sont très rapides comparativement aux ondes de matière. Pour éviter des contraintes de stabilité trop fortes, des méthodes numériques implicites sont donc généralement considérées. Cela nécessite néanmoins de résoudre des problèmes implicites non linéaires de conditionnement d’autant plus élevé que le nombre de Mach est faible, ce qui peut s’avérer coûteux. Nous proposons dans ce travail un schéma basé sur une approximation des équations d’Euler par un système de type relaxation à deux vitesses de taille plus grande.

L'écoulement du sang dans les artères est a priori modélisé par les équations de Navier-Stokes 3D, avec une force de rappel élastique pour la paroi. Cela s'avère extrêmement coûteux lorsque l'on veut simuler tout un réseau. En intégrant sur la section transverse de l'artère et en faisant certaines hypothèses simplificatrices, on peut obtenir un modèle 1D plus simple sous la forme d'un système hyperbolique d'EDP. Dans cet exposé, j'expliquerai d'abord comment on obtient ce modèle à partir de Navier-Stokes, avant de donner ses principales propriétés. Je proposerai ensuite une méthode numérique pour approcher les solutions, ainsi qu'une extension à l'ordre 2.

Nous présentons un nouveau schéma numérique volume fini pour l'étude des écoulements stratifiés, capable de capturer à la fois des flots à faible Mach et à haut Mach (tout régime) et qui préserve l'équilibre hydrostatique à la précision machine (well-balanced). Le schéma est basé sur une stratégie de "splitting" entre la partie acoustique et la partie transport du système d'Euler et peut être mis en oeuvre selon une approche implicite-explicite pour supprimer la condition de courant trop restrictive tout en restant totalement conservatif (pour la masse, l'énergie et la quantité de mouvement transverse à la gravité).

L'équation KPZ modélise le comportement d'une dynamique de croissance de surface aléatoire. Introduite par Kardar, Parisi et Zhang en 1986 pour étudier le comportement de surfaces séparant deux phases d'un système physique, il a fallu attendre plusieurs années avant que Hairer ne développe des outils appropriés pour donner un sens direct à la solution de l'équation. Il se trouve que l'équation KPZ est intimement liée au modèle de polymères dirigés en environnement aléatoire, lequel décrit le comportement d'une longue chaine de particules qui s'étend dans un milieu où se trouvent des impuretés tirées aléatoirement. Supposant par exemple que les particules essaient d'éviter les impuretés, on est alors intéressé par le comportement de la chaîne à grande échelle.

TBA

On s'intéresse à la simulation numérique de l'écoulement de particules dans un fluide de Stokes. La gestion des interactions entre particules proches est une question importante et délicate car, lorsque les particules se rapprochent, les champs de vitesse et de pression deviennent singuliers et il est difficile de les approcher numériquement. La méthode proposée ici décompose le problème fluide-particules en un problème singulier (dont la solution est supposée connu) et un problème régulier.