Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

TBA

On s'intéresse à la simulation numérique de l'écoulement de particules dans un fluide de Stokes. La gestion des interactions entre particules proches est une question importante et délicate car, lorsque les particules se rapprochent, les champs de vitesse et de pression deviennent singuliers et il est difficile de les approcher numériquement. La méthode proposée ici décompose le problème fluide-particules en un problème singulier (dont la solution est supposée connu) et un problème régulier. Différentes approches pour obtenir le champ singulier ont déjà été proposées permettant d'obtenir des premiers résultats mais sur des particules sphériques ou avec des résultats se dégradant lorsque la distance entre les particules tend vers 0. Nous proposons ici une méthode, basée sur un développement asymptotique du champ singulier. Cette méthode permet de prendre en compte les effets de la lubrification sur les champs de vitesse et de pression dans tout le domaine et permet également la prise en compte de particules de formes quelconques. Nous présentons des résultats numériques basés sur une discrétisation éléments finis. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Aline Lefebvre-Lepot.

A broad guiding principle in applied statistics is that high-dimensionnal data live on smaller dimensionnal structures. In this context, we investigate the problem of density estimation when the data are supported on an unknown submanifold M of possibly unknown dimension d. We will try to adapt standard nonparametric tools such as kernel methods to this framework, and discuss the effect of the lack of knowledge on M on the accuracy of the estimate.

In the numerical simulation of fluid flows, adaptive grid refinement is the local modification of the computational grid during the simulation, based on the requirements of the flow being simulated. In this talk, I will argue that adaptive refinement is becoming essential today for the simulation of realistic, complex flows. After a discussion of design principles for grid refinement methods, the talk will present several case studies of industrial and research flow simulations which rely on adaptive mesh refinement to obtain sufficient accuracy and reliability.

Pour étudier le système de Keller-Segel dans sa forme parabolique, on propose un système de particules stochastique avec une interaction inhabituelle : chaque particule interagit avec le passé de toutes les autres par l’intermédiaire d'un noyau espace-temps fortement singulier. On montrera l'existence et la propagation de chaos pour ce système dans le cas unidimensionnel. On discutera les résultats numériques dans le cas bi-dimensionnel et pourquoi les techniques de preuves développées en d=1 ne s’appliquent pas ici. Nous énoncerons aussi un résultat d’existence et unicité pour l’EDS non-linéaire au sens de McKean sous des conditions explicites sur les paramètres du modèle dans le cas bi-dimensionnel.

We are interested in a class of problems consisting in an initial state which is a perturbation of a given periodic equilibrium for the 1D-1D two species Vlasov-Poisson system. For this kind of initial conditions it is natural to consider a well-balanced (WB) scheme which preserves exactly a given stationary solution. In our case the WB scheme is based on a semi-lagrangian scheme and is obtained using a standard micro-macro decomposition. To test the scheme, exact non homogeneous periodic solutions to the Vlasov-Poisson model are constructed and numerical comparisons are made with a standard semi-lagrangian discretization.

La percolation de dernier passage dirigée est, classiquement, un modèle de croissance dans le quart de plan discret. Pour croitre de la case (i, j), il faut que les cases (i−1, j) et (i, j −1) soient présentes dans notre amas de croissance, puis attendre un temps al ́eatoire τ(i,j). Ce modèle est notemment intéressant pour modéliser le temps d’asséchement d’un terrain. Dans cet exposé, je présente une généralisation de la percolation de dernier passage dirigée dans le cas où le temps à attendre τ(i,j) dépend des temps d’arrivée des cases (i−1,j) et (i,j−1) dans l’amas et je présente ce modèle non pas comme un modèle de croissance dans le quart de plan, mais dans un cylindre de taille L. Dans le cylindre, il apparait ainsi une ligne de front pour notre amas. L’objet de cet exposé va être d’étudier deux propriétés asymptotiques (en temps) de cette ligne de front: sa vitesse et sa forme. Nous verrons que, dans des cas particuliers dits solubles ou intégrables, cette vitesse et cette forme ont une forme explicite en fonction des paramètres du modèle. Puis, j’expliquerai par quelle magie ces cas sont solubles, alors que les autres ne les sont a priori pas.

We want to identify and describe the mathematical structure of sparsity in high-dimensional problems. Systems that depend on a large number of variables are known to suffer from the curse of dimensionality: their complexity generally grows exponentially in the number of variables. Nevertheless, decades of research have shown that in many cases such systems can be accurately approximated with polynomial complexity.Perhaps the most studied phenomena in this context are entangled quantum mechanical systems obeying are laws.In such case, the information content scales much slower than the size of the system. In this talk we will discuss the links between entropy area laws and low-rank approximation. We will see how a PDE operator with local (NNI) structure admits eigenfunctions with favorable approximation properties.This will lead to an area law for the system states described by the eigenfunctions. 

The numerical simulation of elastic thin-walled bodies immersed in an incompressible viscous fluid is an essential ingredient in the mathematical modeling of many living systems: From the opening and closing dynamics of heart valves to the wings of a bird interacting with the air or the fins of a fish moving in water.
The numerical methods for the simulation of these systems generally fall into one of the following two categories: fitted and unfitted mesh methods. Fitted mesh methods are known to deliver optimal accuracy for moderate interface displacements, but they become cumbersome or lose efficiency in presence of topological changes (e.g., due to contacting solids). Unfitted mesh methods, such as the Immersed Boundary/Fictitious Domain methods or the recently developed Nitsche-XFEM method, allow for arbitrary interface displacements but this flexibility comes at a price: the mismatch between the fluid and solid meshes complicates the interface coupling. In this talk, we will review some of these approaches by comparing them on some known FSI benchmarks involving moving interfaces and topology changes. We will also introduce a new time splitting scheme for a particular class of fictitious domain approximations, which invokes the fluid and solid solvers only once per time-step without compromising stability and accuracy.

En mécanique des fluides, le nombre de Mach est un nombre sans dimension qui exprime le rapport de la vitesse locale d'un fluide à la vitesse du son dans ce même fluide. Lorsque ce nombre est très petit, les compressions dues aux variations de pression peuvent être négligées, et l'écoulement peut être considéré, en première approximation, comme étant incompressible.

D'un point de vue théorique, de nombreuses recherches ont pour objectif de justifier rigoureusement la transition d'un écoulement à nombre de Mach strictement positif, c'est-à-dire compressible, vers un écoulement à nombre de Mach nul, c'est-à-dire incompressible.

D'un point de vue applicatif, peuvent intervenir, dans de nombreuses configurations industrielles, des transitions entre un écoulement incompressible ou faiblement compressible vers un écoulement fortement compressible. C'est le cas par exemple lorsque l'on étudie des situations accidentelles dans le domaine de la sûreté nucléaire. Il est alors essentiel de disposer de méthodes numériques permettant de simuler des écoulements à tout nombre de Mach.

Depuis quelques années, un effort important a été consacré au développement de schémas pour la simulation numérique des écoulements compressibles sur mailles décalées, c'est-à-dire s'appuyant sur une discrétisation en espace (structurée ou non) des variables scalaires au centre des mailles et des vitesses aux faces de celles-ci. Les propriétés usuelles ont été démontrées pour ces schémas: existence de solutions, préservation des états admissibles, stabilité, inégalités d'entropie, consistance au sens de Lax. Outre leur simplicité et leur efficacité (les flux numériques sont très aisés à construire), ces schémas présentent l'intérêt suivant : si l'on suppose la masse volumique constante, ils dégénèrent vers un algorithme standard (et éprouvé) pour l'incompressible. Dans cet exposé, nous nous plaçons dans le cadre des équations de Navier-Stokes compressibles barotropes, et démontrons que la convergence vers le schéma pour l'incompressible est réellement obtenue: à maillage fixé, lorsque le nombre de Mach tend vers zéro, la masse volumique tend effectivement vers une constante maille par maille. L'analyse présentée ici adapte au niveau discret la théorie développée dans le papier de Lions et Masmoudi (1998) au niveau continu pour les solutions faibles. Elle s'étend à deux discrétisations en temps différentes, qui ont pour résultat de découpler les équations en faisant apparaître un problème elliptique discret pour la pression. Ce sont ces schémas qui ont un intérêt en pratique ; l'un d'entre eux est utilisé quotidiennement dans le logiciel P2REMICS de l'IRSN, pour la simulation des déflagrations en phase gazeuse (explosion d'hydrogène).