Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

On considère l'équation des ondes posée sur R^+ avec amortissement linéaire. Xin et Xu ont étudié ce problème et ont exhibé l'ensemble des conditions au bord x=0 pour lesquelles la solution est stable indépendamment de la force de l'amortissement. Notre but est de proposer une méthode numérique dont la stabilité est acquise pour le même ensemble de conditions au bord. On montrera les résultats obtenus avec la méthode de sommation par partie et avec la méthode de condition transparente. Ce travail est effectué en collaboration avec Benjamin Boutin et Thi Hoai Thuong Nguyen

Dans cet exposé nous nous intéresserons aux effets régularisants de l’équation de Kolmogorov sur l’espace de Wasserstein. Telle équation décrit la dynamique du semi-groupe généré par la solution d’une équation différentielle stochastique de type McKean-Vlasov (i.e. dont la dynamique dépend de la loi). Nous verrons comment de tels effets permettent de retrouver des résultats d’unicité faible et forte ainsi que des phénomènes de propagation du chaos pour des équations à coefficients peu réguliers.

Mathieu Ribatet vous invite à une réunion Zoom planifiée.

Sujet : Mathieu Ribatet - Salle de réunion personnelle

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In this talk, we will present an overview of recent works aiming at solving inverse problems (state and parameter estimation) by combining optimally measurement observations and parametrized PDE models. After defining a notion of optimal performance in terms of the smallest possible reconstruction error that any reconstruction algorithm can achieve, we will present practical numerical algorithms based on nonlinear reduced models for which we can prove that they can deliver a performance close to optimal.

We study the inverse design of one-dimensional Burgers equation which consists of identifying the set of initial data evolving to a given target at a final time. This leads to an ill-posed backward Cauchy problem. On one hand, the given target may be unreachable along forward entropic evolution or there exist multiple initial data leading to the same given target. The two main results are the follows A wave-front tracking method is implemented to identify randomly all the possible initial data yielding entropy solutions that coincide with a given target at time T. When the target function uT is unreachable, we fully characterize the set of initial data generating entropy solutions leading as close as possible to the given target uT in L2-norm.

Dans cet exposé, je présenterai le modèle de polymère dirigé en dimension 1+d, qui décrit un polymère unidimensionnel placé dans un milieu hétérogène. Une approche récente pour comprendre les effets des hétérogénéités sur la localisation du polymère consiste à considérer la limite de ‘'faible désordre’' du modèle. Je donnerai un aperçu du modèle et des résultats connus sur l’existence d'une limite d’échelle du modèle sous des hypothèses de moments suffisants. Je présenterai les résultats que nous avons obtenu avec Hubert Lacoin (IMPA, Brésil) lorsque ces hypothèses de moments ne sont plus vérifiées.

Dans cet exposé on s'intéressera au caractère bien posé, en un sens à préciser, d'une dynamique différentielle dirigée par un bruit \alpha-stable au sens large (i.e. incluant le cas Brownien) et dont le terme de dérive vit dans un espace de Besov d'indice de régularité locale négatif. On verra en particulier quel sens donner au caractère bien posé d'un tel système et comment une telle dynamique peut se comprendre. Ce résultat repose entre autre sur une quantification de l'effet régularisant du générateur du bruit dirigeant le système.

Issu d'une collaboration avec S. Menozzi (LaMME)

Je commencerai par présenter la forme générique des problèmes d'évolution hautement oscillants que nous avons étudiés, ainsi quelques applications en théorie cinétique et quantique. Deux catégories seront traitées: le cas où la fréquence varie mais reste éloignée de 0, et le cas où cette fréquence peut éventuellement s'annuler. Le but des travaux que je présenterai est de construire des schémas numériques pour ces modèles dont le coût et la précision sont indépendants de la fréquence de ces oscillations : on parle alors de schémas uniformément précis (UA). Dans le premier cas d'une fréquence non dégénérée, les approches que nous avons développées pour construire de tels schémas s'appuient essentiellement sur la théorie de la moyennisation (vision double échelle) et une décomposition de type micro/macro. Dans le deuxième cas où la fréquence peut s'annuler, les développements asymptotiques issus de la moyennisation classique ne sont plus valides, mais nous montrons que des schémas UA peuvent être néanmoins construits en combinant une nouvelle technique de type "phase stationnaire" avec une décomposition micro/macro. Des tests numériques seront présentés pour confirmer l'uniforme précision de ces schémas.

Les modèles de spin avec contraintes cinétiques constituent une classe de modèles de mécanique statistique qui ont été introduits par les physiciens pour décrire le comportement du verre. Il s’agit de modèles de configurations sur des graphes dans lesquels chaque sommet du graphe est soit à l’état 0, soit à l’état 1, et ne peut changer d’état que si une contrainte de la forme « il y a assez de zéros dans le voisinage du sommet » est satisfaite. Il existe une infinité de contraintes possibles, et les propriétés d’un modèle dépendent fortement du choix de sa contrainte. Une question très importante est donc celle de l’universalité : peut-on répartir cette infinité de modèles en un nombre fini de classes selon leur comportement ? Dans cet exposé, on présentera un tel résultat lorsque le graphe de base est Z^2.

Dans cet exposé, j'évoquerai les lois de Fick et Maxwell-Stefan pour la diffusion gazeuse, puis présenterai la dérivation du second modèle en me plaçant dans l'asymptotique diffusive de l'équation de Boltzmann pour les mélanges.

Je parlerai de percolation sur un pavage aléatoire du plan. Notamment, j'expliquerai a) en quoi l'étude de ce modèle est liée à la conjecture d'universalité de la percolation planaire et b) comment étudier géométriquement ce modèle autour du point critique. Pour cela, nous aurons besoin de techniques géométriques à la Kesten et d'outils de concentration de la mesure à la Efron-Stein.