Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Dans cet exposé on s'intéressera au caractère bien posé, en un sens à préciser, d'une dynamique différentielle dirigée par un bruit \alpha-stable au sens large (i.e. incluant le cas Brownien) et dont le terme de dérive vit dans un espace de Besov d'indice de régularité locale négatif. On verra en particulier quel sens donner au caractère bien posé d'un tel système et comment une telle dynamique peut se comprendre. Ce résultat repose entre autre sur une quantification de l'effet régularisant du générateur du bruit dirigeant le système.

Issu d'une collaboration avec S. Menozzi (LaMME)

Je commencerai par présenter la forme générique des problèmes d'évolution hautement oscillants que nous avons étudiés, ainsi quelques applications en théorie cinétique et quantique. Deux catégories seront traitées: le cas où la fréquence varie mais reste éloignée de 0, et le cas où cette fréquence peut éventuellement s'annuler. Le but des travaux que je présenterai est de construire des schémas numériques pour ces modèles dont le coût et la précision sont indépendants de la fréquence de ces oscillations : on parle alors de schémas uniformément précis (UA). Dans le premier cas d'une fréquence non dégénérée, les approches que nous avons développées pour construire de tels schémas s'appuient essentiellement sur la théorie de la moyennisation (vision double échelle) et une décomposition de type micro/macro. Dans le deuxième cas où la fréquence peut s'annuler, les développements asymptotiques issus de la moyennisation classique ne sont plus valides, mais nous montrons que des schémas UA peuvent être néanmoins construits en combinant une nouvelle technique de type "phase stationnaire" avec une décomposition micro/macro. Des tests numériques seront présentés pour confirmer l'uniforme précision de ces schémas.

Les modèles de spin avec contraintes cinétiques constituent une classe de modèles de mécanique statistique qui ont été introduits par les physiciens pour décrire le comportement du verre. Il s’agit de modèles de configurations sur des graphes dans lesquels chaque sommet du graphe est soit à l’état 0, soit à l’état 1, et ne peut changer d’état que si une contrainte de la forme « il y a assez de zéros dans le voisinage du sommet » est satisfaite. Il existe une infinité de contraintes possibles, et les propriétés d’un modèle dépendent fortement du choix de sa contrainte. Une question très importante est donc celle de l’universalité : peut-on répartir cette infinité de modèles en un nombre fini de classes selon leur comportement ? Dans cet exposé, on présentera un tel résultat lorsque le graphe de base est Z^2.

Dans cet exposé, j'évoquerai les lois de Fick et Maxwell-Stefan pour la diffusion gazeuse, puis présenterai la dérivation du second modèle en me plaçant dans l'asymptotique diffusive de l'équation de Boltzmann pour les mélanges.

Je parlerai de percolation sur un pavage aléatoire du plan. Notamment, j'expliquerai a) en quoi l'étude de ce modèle est liée à la conjecture d'universalité de la percolation planaire et b) comment étudier géométriquement ce modèle autour du point critique. Pour cela, nous aurons besoin de techniques géométriques à la Kesten et d'outils de concentration de la mesure à la Efron-Stein.

Nous nous intéressons à la résolution numérique des équations d’Euler faiblement compressible. Dans ce régime dit bas-Mach, les ondes acoustiques sont très rapides comparativement aux ondes de matière. Pour éviter des contraintes de stabilité trop fortes, des méthodes numériques implicites sont donc généralement considérées. Cela nécessite néanmoins de résoudre des problèmes implicites non linéaires de conditionnement d’autant plus élevé que le nombre de Mach est faible, ce qui peut s’avérer coûteux. Nous proposons dans ce travail un schéma basé sur une approximation des équations d’Euler par un système de type relaxation à deux vitesses de taille plus grande. Ce système augmenté est résolu par splitting entre la partie advective et une partie acoustique, dont la résolution implicite requiert seulement l’inversion de Laplacien à coefficient constant. Nous présenterons des résultats numériques montrant les bonnes propriétés de ce schéma. Ce travail a été réalisé en collaboration avec F. Bouchut et E. Franck.

L'écoulement du sang dans les artères est a priori modélisé par les équations de Navier-Stokes 3D, avec une force de rappel élastique pour la paroi. Cela s'avère extrêmement coûteux lorsque l'on veut simuler tout un réseau. En intégrant sur la section transverse de l'artère et en faisant certaines hypothèses simplificatrices, on peut obtenir un modèle 1D plus simple sous la forme d'un système hyperbolique d'EDP. Dans cet exposé, j'expliquerai d'abord comment on obtient ce modèle à partir de Navier-Stokes, avant de donner ses principales propriétés. Je proposerai ensuite une méthode numérique pour approcher les solutions, ainsi qu'une extension à l'ordre 2. On verra que le schéma construit vérifie plusieurs propriétés importantes (robustesse, préservation des états d'équilibre, inégalité d'entropies discrètes). Je terminerai en présentant quelques résultats numériques illustrant ces propriétés

Nous présentons un nouveau schéma numérique volume fini pour l'étude des écoulements stratifiés, capable de capturer à la fois des flots à faible Mach et à haut Mach (tout régime) et qui préserve l'équilibre hydrostatique à la précision machine (well-balanced). Le schéma est basé sur une stratégie de "splitting" entre la partie acoustique et la partie transport du système d'Euler et peut être mis en oeuvre selon une approche implicite-explicite pour supprimer la condition de courant trop restrictive tout en restant totalement conservatif (pour la masse, l'énergie et la quantité de mouvement transverse à la gravité). Ce nouveau schéma a été implémenté dans le code "ARK" à l'aide de la bibliothèque Kokkos, qui permet une portabilité de performance sur différentes architectures HPC (CPU, GPU, Manycore).

à l'aide de ce nouveau schéma, nous effectuons des simulations numériques de différentes instabilités de convection et montrons que la présence de termes sources conduit à une nouvelle famille de systèmes instables. En généralisant la théorie de la convection à tout type de termes sources thermiques et compositionnels (processus diabatiques), nous montrons que la convection thermohaline dans les océans terrestres, la "fingering convection" dans les atmosphères stellaires, la convection humide dans l'atmosphère terrestre sont tous issus de la même instabilité générale de la convection diabatique. Nous montrons également que la convection déclenchée par la transition CO / CH4 avec transfert radiatif dans l'atmosphère des naines brunes est un analogue de la convection humide et thermohaline terrestre.

La convection diphasique dans les systèmes de refroidissement des centrales nucléaires peut être aussi vu dans une certaine limite comme un analogue de la convection humide terrestre. La transition L / T dans le spectre des naines brunes pourrait être interprétée comme une crise de refroidissement géante et vue aussi comme un analogue de la crise d'ébullition dans les systèmes diphasiques. Ces transitions violentes peuvent être interprétées comme une bifurcation entre le transport convectif diabatique et adiabatique.

Ce mécanisme généralisé à d'autres transitions chimiques devrait être présent dans de nombreuses exoplanètes géantes ou rocheuses. L'étude de l'impact de différents paramètres (par exemple température effective, changements de composition, etc.) sur la convection radiative CO / CH4 et la similarité avec la convection humide terrestre ouvre également la possibilité d'utiliser les naines brunes et les simulations numériques 3D de la convection diabatique thermo-compositionnelle comme laboratoire pour mieux comprendre certains aspects de la physique à l'oeuvre dans le climat de notre planète.

L'équation KPZ modélise le comportement d'une dynamique de croissance de surface aléatoire. Introduite par Kardar, Parisi et Zhang en 1986 pour étudier le comportement de surfaces séparant deux phases d'un système physique, il a fallu attendre plusieurs années avant que Hairer ne développe des outils appropriés pour donner un sens direct à la solution de l'équation. Il se trouve que l'équation KPZ est intimement liée au modèle de polymères dirigés en environnement aléatoire, lequel décrit le comportement d'une longue chaine de particules qui s'étend dans un milieu où se trouvent des impuretés tirées aléatoirement. Supposant par exemple que les particules essaient d'éviter les impuretés, on est alors intéressé par le comportement de la chaîne à grande échelle. Dans cet exposé, j'expliquerai en quoi consiste le lien entre les modèles et je présenterai certains des résultats obtenus pendant ma thèse qui exploitent cette correspondance.