Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

L'approximation numérique de solutions peu régulières d'équations hyperboliques est un problème notoirement délicat (contrôle des oscillations, phénomène de Gibbs près des discontinuités, limiteurs de pente, ...). Je montrerai comment l'utilisation du Théorème de Lukacs permet de reformuler la question de l'approximation polynomiale d'ordre élevé préservant des conditions de signe: plus généralement il s'agit de rendre compatible des formulations issues de la géométrie algébrique réelle avec les besoins du calcul scientifique. Un nouvel algorithme avec de fortes propriétés de convexité sera détaillé. Une application à la construction d'un schéma avec limiteur illustrera l'approche générale.

In this talk we discuss the change-point detection problem when dealing with complex data.

Our goal is to present a new procedure involving positive semidefinite kernels and allowing us for detecting abrupt changes arising in the full distribution of the observations along the time (and not only in their means).

The two-stage procedure we introduce involves dynamic programming and a new $l_0$-type penalty derived from a new concentration inequality applying to vectors in a reproducing kernel Hilbert space. The performance of the resulting change-point detection procedure is theoretically grounded by means of a non-asymptotic model selection result (oracle inequality).

We will also illustrate the practical behavior of our kernel change-point procedure on a wide range of simulated data. In particular we empirically validate our penalty since the resulting penalized criterion recovers the true (number of) change-points with high probability.

We will finally discuss the influence of the kernel on the results in practice.

Dans ce travail, nous considérons le problème inverse de détection d’obstacle avec des données de Cauchy partielles pour l’équation de Laplace. Nous étudions ce problème en utilisant des méthodes d’optimisation de forme en minimisant une fonctionnelle de forme de type Kohn- Vogelius. Afin de pouvoir définir cette fonctionnelle, nous devons dans un premier temps compléter les données de bord. Ainsi, nous commençons par considérer le problème de complétion de données (i.e. le problème de Cauchy) que nous étudions également par minimisation d’une fonctionnelle de type Kohn-Vogelius. Étant donné le caractère mal posé de ce problème de Cauchy, nous utilisons une régularisation de la fonctionnelle d’énergie en ajoutant un terme de pénalisation. Après avoir montré quelques résultats de convergence pour le problème de Cauchy, nous présentons des reconstructions numériques de la solution et de l’obstacle à partir de mesures de bord partielles.

In this talk we consider the estimation and inference problem of interval censored data. These types of data arise when patients are followed-up at different visits and the exact occurence of the event of interest is unknown. Instead, one only knows that the event has occurred between two time visits. These data also encompass left-censored observations (when the event has occurred before the first visit) and right-censored data (when the event has not yet occurred after the last follow-up time). We study the nonparametric and regression settings by specifying a piecewise constant function for the hazard rate. Treating the true event times of interest as unobserved data, the EM algorithm is implemented. In order to determine the number and locations of the cuts of the hazard function, a L0 penalized likelihood method is used, such that a large grid of cuts is initially implemented and the penalization technique forces two similar adjacent values to be equal. Statistical inference of the model parameters are derived from likelihood theory. The method is illustrated on a dental dataset where 322 patients with 400 avulsed and replanted permanent teeth were followed-up prospectively in the period from 1965 to 1988 at the university hospital in Copenhagen, Denmark. The following replantation procedure was used: the avulsed tooth was placed in saline as soon as the patient was received at the emergency ward. If the tooth was obviously contaminated, it was cleansed with gauze soaked in saline or rinsed with a flow of saline from a syringe. The tooth was replanted in its socket by digital pressure. The patients were then examined at regular visits to the dentist. In this study, we focused on a complication called ankylosis such that the variable of interest is the time from replantation of the tooth to ankylosis. 28% of the data were left censored, 35.75% were interval censored and 36.25% were right censored. A Cox model was implemented on this dataset and showed that the stage of root formation (mature or immature tooth) and the length of extra-alveolar storage time were significantly associated with the risk of experiencing ankylosis.

This is a joint work with Grégory Nuel (DR CNRS, LPSM, Paris 6) and Eva Lauridsen (Department of Pediatric Dentistry and Clinical Genetics, School of Dentistry, University of Copenhagen).

Pour les méthodes de volumes finis comme pour les méthodes mixtes, on calcule des flux. Pour les problèmes de diffusion, ces flux sont reliés au gradient du champ scalaire. Quel sens donner au gradient dans un cadre discret où le champ scalaire n'est pas dérivable (par exemple constant par mailles) ? On aborde cette question dans un cadre élément fini de type Petrov-Galerkin. L'objectif est d'avoir (comme en volumes finis) un calcul local des flux, tout en bénéficiant d'un cadre élément fini où les solutions discrètes sont aussi des fonctions (scalaires et vectorielles). Cette approche a permis d'élaborer de nouveaux schémas numérique pour le problème du Laplacien que l'on présentera.

In the first part of the talk, we will introduce spatial Gaussian processes. Spatial Gaussian processes are widely studied from a statistical point of view, and have found applications in many fields, including geostatistics, climate science and computer experiments. Exact inference can be conducted for Gaussian processes, thanks to the Gaussian conditioning theorem. Furthermore, covariance parameters can be estimated, for instance by Maximum Likelihood.In the second part of the talk, we will introduce a class of iterative sampling strategies for Gaussian processes, called 'stepwise uncertainty reduction' (SUR). We will give examples of SUR strategies which are widely applied to computer experiments, for instance for optimization or detection of failure domains. We will provide a general consistency result for SUR strategies, together with applications to the most standard examples.

On s'intéresse dans cet exposé à l’analyse des couches limites numériques développées par les schémas aux différences finies explicites à plusieurs pas de temps et d’espace. Le cadre d’étude est limité à celui de l’équation de transport linéaire posée sur la demi-droite réelle avec une condition de bord numérique du type Dirichlet homogène. Sous les hypothèses habituelles de stabilité pour le problème de Cauchy discret, nous discuterons de la possible description qualitative de la solution numérique dans différentes situations. Celle-ci permet d'obtenir une estimation de semi-groupe pour le schéma, compatible à la limite avec celle de la solution du problème aux limites hyperbolique.

Dans un contexte industriel, l'utilisation de modèles diphasiques d'ordre réduit est nécessaire pour pouvoir effectuer des simulations numériques prédictives d'injection de combustible liquide dans les chambres de combustion automobiles et aéronautiques. En effet, le processus d'atomisation du combustible, depuis sa sortie de l'injecteur sous un régime de phases séparées, jusqu'au brouillard de gouttelettes dispersées, est un paramètre important de la qualité de la combustion et de la formation des polluants. Aujourd'hui cependant, la prise en compte de toutes les échelles physiques impliquées dans ce processus nécessite une avancée majeure en termes de modélisation, de méthodes numériques et de calcul haute performance. Ces trois aspects sont abordés dans des travaux réalisés au laboratoire EM2C de CentraleSupélec, au laboratoire CMAP de l'Ecole Polytechnique et à la Maison de la Simulation.

En particulier, des modèles de mélange Eulériens pour les écoulements à phases séparées sont dérivés à partir du principe variationnel de Hamilton et prennent en compte des effets de pulsation de l'interface au niveau des échelles non résolues, compatibles avec la description de milieux à bulles. De plus, une description générale des interfaces à l'aide d'une statistique de leurs propriétés géométriques permettra de coupler les modèles de mélange pour phases séparées aux modèles cinétiques utilisés pour décrire la phase dispersée.

La stratégie de discrétisation des équations diphasiques est basée sur des méthodes de volumes finis d'ordres 1 et 2, un splitting d'opérateurs pour la résolution de la partie convective à l'aide de solveurs de Riemann approchés et l'intégration des termes sources par des solveurs d'EDO spécifiques. Cette stratégie comprend également l'utilisation de maillages adaptatifs (AMR). Grâce à la bibliothèque p4est, le code AMR développé pour la résolution des équations diphasiques, CanoP, permet de réaliser des calculs massivement parallèles. Une première application d'écoulements interfaciaux à faible nombre de Mach a été étudiée. La généricité du code CanoP permettra par la suite d'intégrer facilement de nouvelles applications, en particulier pour la simulation du processus complet d'injection.

We propose to present some results on the approximation by DDFV (Discrete Duality Finite Volume) methods of the incompressible Navier-Stokes problem with open boundary conditions on the outflow. The advantage of DDFV schemes is to be able to work on general meshes that do not necessarily satisfy the classical orthogonality condition imposed on finite volume meshes. The boundary conditions we are interested in have been derived by a particular weak formulation of Navier-Stokes that ensures an energy estimate. We propose to recreate the same situation at a discrete level thanks to the DDFV formalism.