Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Dans cet exposé nous rapportons sur les applications des méthodes développées à l'origine pour le problème de diffusion inverse pour l'équation de Schrödinger avec champ magnétique à la tomographie acoustique de fluide en écoulement.

Ce travail vise à prédire l'issue de la compétition entre deux langues pour la conquête du plus grand nombre de locuteurs. Nous construisons un modèle champ moyen basé sur un système d'équations aux dérivées partielles en temps et en âge afin de prendre en compte le vieillissement des populations. Ce système est complété par des termes d'échanges entre les différentes populations pour modéliser l'apprentissage ou l'oubli d'une langue, et des termes de natalité de type « sexuée » et de mortalité pour prendre en compte la démographie. Une étude du comportement asymptotique de ce modèle sera illustrée par des simulations numériques. Cette technique de modélisation, qui a déjà fait ses preuves dans un contexte de modélisation en biologie, devrait permettre à terme de comprendre comment les langues « survivent » ou « se perdent ».

Les modèles qui décrivent l'activité électrique du cœur sont des EDP paraboliques couplées avec des systèmes d'EDO appelés modèles ioniques. Ces modèles appartiennent à la classe des équations de réaction diffusion raides et leur raideur provient à la fois de l'EDP et de l'EDO. Une technique usuelle pour leur résolution numérique consiste à utiliser un schéma implicite pour les termes de diffusion et explicite pour les termes de réaction, puisque ceux-ci sont non linéaires. Cependant la non linéarité des termes de réaction ne permet pas d'utiliser efficacement des schémas explicite classiques. [Rush, Larsen, IEEE TBME, 1978] ont pour cette raison proposé un schéma d'ordre un adapté à l'électrocardiologie. Plus récemment, [Perego, Venziani, ETNA, 2009] ont réinterpreté ce schéma comme un intégrateur discret exponentiel (voir [Hochkbruck, Osterman, Acta Numer, 2010]), et proposé une généralisation à l'ordre deux. En utilisant le principe des intégrateurs discrets exponentiels, je présenterai de nouveaux schémas d'ordre quelconque pour la simulation en électrophysiologie cardiaque. Je présenterai des résultats de stabilité, de consistance et de convergence de ces schémas, et j'illustrerai leurs propriétés par des tests numériques réalisés avec le modèles monodomaine couplé avec les modèles ioniques de Beeler Reuter (BR) et de TenTusscher & al (TNNP).

The motivation of this work is the detection of cerebrovascular accidents by microwave tomographic imaging. This requires the solution of an inverse problem based on a minimization algorithm with successive solutions of a direct problem such as the modeling of a whole-microwave measurement system. The feasibility of this type of imaging is conditioned on one hand by an accurate reconstruction of the material properties of the propagation medium and on the other hand by a considerable reduction of simulation time. Fulfilling these two requirements will enable a very rapid and accurate diagnosis. From the mathematical and numerical point of view, this means solving Maxwell's equations in time-harmonic regime using high-order finite elements, domain decomposition method and parallel computing.

A new numerical scheme to compute isothermal and unsteady flow of an incompressible viscoplastic Bingham medium will be presented. The main difficulty, for both theoretical and numerical approaches, is due to the non-differentiability of the plastic part of the stress tensor in regions where the rate-of-strain tensor vanishes. This is handled by reformulating the definition of the plastic stress tensor in terms of a projection. A new time scheme, based on the classical incremental projection method for the Newtonian Navier-Stokes equations, is proposed. The plastic tensor is treated implicitly in the first sub-step of the projection scheme and is computed by using a fixed point procedure. A pseudo-time relaxation is added into the Bingham projection whose effect is to ensure a geometric convergence of the fixed point algorithm. Stability and error analyses of the numerical scheme will be shown. Numerical results, obtained on the well-known two-dimensional lid-driven cavity test case, will be detailed for Reynolds number up to 10 000 and Bingham number up to 100.

During this talk, we will focus on the problem of testing the equality of metric measure spaces (mm-spaces) up to an isomorphism (a measure-preserving isometry), giving samples on these spaces. For this purpose, we introduce a new shape signature, the distance-to-a-measure signature, which is a probability measure on R+ built from the mm-space of interest. To reach our goal, we use bootstrap methods, involving Wasserstein metrics.

Le résumé est visible ici.

Les methodes dite hypocoercives permettent de montrer le retour exponentiel en temps vers l'equilibre Maxwellien pour une grande classe d'equations cinétiques inhomogènes. Elles sont basées sur des estimations de type commutateurs d'inspiration microlocale. Nous montrerons dans cet exposé que ces methodes permettent egalement de montrer le retour vers l'equilibre pour des nouveaux schemas cinetiques semi-discrets ou discrets, meme s'il n'y plus de commutateurs au sens continu du terme et que la notion meme d'equilibre est ambigue. Nous en profiterons pour parler egalement du cas coercif (homogene) qui est une des premieres etapes non triviale de l'analyse discrete. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Pauline Laffite (Centrale-Supelec) et Guillaume Dujardin (Université de Lille).