Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Lorsqu'on cherche à décrire le comportement asymptotique de marches aléatoires positives en dimension trois (par exemple pour établir un théorème limite local, aussi pour calculer la probabilité de survie ou encore pour des questions plus combinatoires de comptage de chemins), des triangles sphériques apparaissent naturellement et jouent un rôle crucial (à titre d'exemple, l'exposant critique s'exprime en termes de la valeur propre principale de ces domaines sphériques pour le problème de Dirichlet).

L'objectif de l'exposé est de présenter des liens (et leurs conséquences) entre certaines propriétés du triangle sphérique (angles remarquables, propriétés de pavage, existence d'une formule close pour la valeur propre principale) et l'étude combinatoire des marches (structure d'un groupe de réflexions lié à la marche, existence d'une factorisation dite de Hadamard, existence encore d'équations différentielles vérifiées par les fonctions génératrices comptant les marches).

Il s'agit d'un travail en cours, en commun avec Beniamin Bogosel (CMAP), Vincent Perrollaz (Tours) et Amélie Trotignon (Simon Fraser University et Tours).

L’équation de Korteweg-de Vries (KdV) est une équation dispersive nonlinéaire fréquente en hydrodynamique pour modéliser le mouvement des vagues de faible amplitude en eau peu profonde. Nous proposons de discrétiser cette équation par un schéma numérique aux différences finies et étudions la convergence du schéma par une analyse de stabilité $\ell^2$ et d’erreur de consistance. L’ordre de convergence du schéma est quantifié par rapport à la régularité de Sobolev de la donnée initiale. La partie la plus délicate consiste à élaborer une méthode d’étude de stabilité $\ell^2$ qui convienne simultanément au terme nonlinéaire hyperbolique et au terme linéaire dispersif, tous deux présents dans l’équation (KdV). Dans une seconde partie, nous généralisons cette étude au système $abcd$ de type Boussinesq décrivant lui aussi le mouvement des vagues de faible amplitude à la surface de l’eau. Ce travail est en collaboration avec Cosmin Burtea, Frédéric Lagoutière et Frédéric Rousset.

Dans cette présentation, nous rappelons brièvement quelques résultats de la théorie de Freidlin et Wentzell puis nous donnons une loi de Kramers satisfaite par la diffusion de McKean-Vlasov quand le potentiel de confinement est uniformément strictement convexe. On présente brièvement deux précédentes preuves de ce résultat avant d'en donner une troisième qui est plus simple, plus intuitive et moins technique. Enfin, nous donnons des idées pour obtenir la loi de Kramers quand le potentiel de confinement est non convexe.

Le travail que je vais présenter porte sur la résolution numérique du modèle multi--dimensionnel d'écoulement cisaillé en eau peu profonde. Dans le cas d'un mouvement unidimensionnel, ces équations coïncident avec les équations de la dynamique de gaz pour un choix particulier de l'équation d'état. Dans le cas multi-dimensionnel, le système est complètement différent du modèle de la dynamique de gaz. Il s'agit d'un système EDP hyperbolique 2D non-conservatif qui rappelle un modèle de turbulence barotrope. Le modèle comporte trois types d'ondes correspondant à la propagation des ondes de surface, des ondes de cisaillement et à celle de la discontinuité de contact.

Je vais présenter dans le cas 2D un schéma numérique basé sur une nouvelle approche de ``splitting" pour les systèmes d'équations non-conservatives. Chaque sous-système ne contient qu'une seule famille d'ondes: ondes de surface ou ondes de cisaillement, et discontinuité de contact. La précision d'une telle approche est testée sur des solutions exactes 2D décrivant l'écoulement lorsque la vitesse est linéaire par rapport aux variables spatiales, ainsi que sur des solutions décrivant des trains de rouleaux 2D.

Finalement, je vais présenter la modélisation d'un ressaut hydraulique circulaire formé dans un écoulement convergent radial d'eau. Les résultats numériques obtenus sont clairement similaires à ceux obtenus expérimentalement: oscillations du ressaut et son rotation avec formation du point singulier.

L'ensemble des validations proposées démontre les aptitudes du modèle et de la méthode numérique pour la résolution des problèmes complexes d'écoulements cisaillés en eau peu profonde multidimensionnels.

Mots-clés: équations d'écoulement cisaillé en eau peu profonde, équations hyperboliques non-conservatives, schéma de Godunov, ondes de choc, trains de rouleaux, ressaut hydraulique circulaire

La migration cellulaire est un processus biologique complexe de la vie des cellules et qui intervient de façon importante lors du développement du cancer. Son étude constitue un enjeu de santé publique majeur permettant, à terme, d'envisager de nouveaux types de thérapies ciblées ainsi qu'une meilleure compréhension de la maladie. Le travail que je vais présenter se concentre sur le rôle des microtubules, qui sont des éléments dynamiques du cytosquelette sur la migration. Je détaillerai tout d'abord la modélisation EDP que nous avons développée pour décrire l'action des microtubules puis les différents outils numériques de type DDFV que nous avons mis en place pour la résolution des équations. Enfin, je présenterai les travaux et premiers résultats concernant le mécanisme d'action sur le comportement migratoire des cellules d'un agent antimicrotubule, la vincristine.

Dans cet exposé nous traiterons de l'approximation numérique d'un modèle de plasma quasi-neutre dans le régime de dérive. Plus précisément, on introduira un schéma de volumes finis utilisant des grilles décalés pour l'approximation du système d'Euler-Boltzmann quasi-neutre. Le régime de dérive correspond à la limite du système lorsque qu'un petit paramètre tend vers zéro. On montrera que le schéma ainsi introduit est inconditionnellement stable. La preuve repose sur la conservation de la positivé et la décroissance d'une énergie discrète. La non linéarité du schéma étant le prix à payer pour obtenir de la stabilité inconditionnelle, nous proposerons un schéma itératif linéaire pour le résoudre pour lequel il est prouvé qu'il est linéairement stable L2 indépendamment du paramètre asymptotique et préserve la positivité. Quelques illustrations numériques seront données et nous comparerons le coût du schéma avec un schéma explicite.

Cet exposé traitera de modèles d'EDPs avec contraintes issues de la mécanique des fluides qui permettent de décrire en temps et en espaces des systèmes physiques et/ou biologiques complexes au travers de quantités physiques telles que la densité et la vitesse. La première partie de l'exposé sera consacrée à la présentation d'une approche numérique explicite/implicite basée sur un splinting en temps qui permet d'alléger la contrainte de stabilité (CFL) pour le système de trafic routier d'Aw-Rascle avec contrainte. La seconde partie portera sur la modélisation à l'aide de la théorie des mélanges de systèmes biophysiques : après avoir présenté un modèle pour la croissance de biofilm de micro-algues nous décrirons l'approche numérique élaborée et nous commenterons les résultats de certaines simulations.

Nous étudierons le modèle de régression linéaire usuel dans le cas où le processus des erreurs est supposé strictement stationnaire. Nous expliquerons un résultat de Hannan (1973) qui a prouvé un Théorème Limite Central pour l'estimateur des moindres carrés usuel dans le cas dépendant, sous des conditions très souples sur le processus des erreurs et sur le design. Grâce à ce théorème, nous montrerons que, pour une grande classe de designs, la matrice de covariance asymptotique s'écrit presque aussi simplement que dans le cas i.i.d.. Ensuite, nous estimerons la matrice de covariance en utilisant un estimateur de la densité spectrale dont la consistance est prouvée sous de faibles conditions. Afin d'appliquer ces résultats, nous montrerons comment modifier les tests de Fischer usuels dans le cas dépendant, et nous illustrerons la performance de cette procédure grâce à des simulations.