Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Cet exposé traitera de modèles d'EDPs avec contraintes issues de la mécanique des fluides qui permettent de décrire en temps et en espaces des systèmes physiques et/ou biologiques complexes au travers de quantités physiques telles que la densité et la vitesse. La première partie de l'exposé sera consacrée à la présentation d'une approche numérique explicite/implicite basée sur un splinting en temps qui permet d'alléger la contrainte de stabilité (CFL) pour le système de trafic routier d'Aw-Rascle avec contrainte. La seconde partie portera sur la modélisation à l'aide de la théorie des mélanges de systèmes biophysiques : après avoir présenté un modèle pour la croissance de biofilm de micro-algues nous décrirons l'approche numérique élaborée et nous commenterons les résultats de certaines simulations.

Nous étudierons le modèle de régression linéaire usuel dans le cas où le processus des erreurs est supposé strictement stationnaire. Nous expliquerons un résultat de Hannan (1973) qui a prouvé un Théorème Limite Central pour l'estimateur des moindres carrés usuel dans le cas dépendant, sous des conditions très souples sur le processus des erreurs et sur le design. Grâce à ce théorème, nous montrerons que, pour une grande classe de designs, la matrice de covariance asymptotique s'écrit presque aussi simplement que dans le cas i.i.d.. Ensuite, nous estimerons la matrice de covariance en utilisant un estimateur de la densité spectrale dont la consistance est prouvée sous de faibles conditions. Afin d'appliquer ces résultats, nous montrerons comment modifier les tests de Fischer usuels dans le cas dépendant, et nous illustrerons la performance de cette procédure grâce à des simulations.

Dans cet exposé nous présenterons une classe de processus ponctuels spatiaux sur R^d utilisés pour modéliser des données au caractère répulsif, appelés processus ponctuels déterminantaux (ou DPP). Nous nous intéresserons en particulier à la propriété de dépendance négative des DPPs. Peu exploitée dans la littérature des processus ponctuels, nous montrerons en quoi elle implique des propriétés de alpha-mélange ainsi qu'un TCL pour une grande classe de fonctionnelles de DPPs éventuellement non-stationnaires, plus fort que les TCLs usuels des processus ponctuels alpha-mélangeants.

Nous présenterons des schémas numériques pour résoudre des modèles de type Saint-Venant dont le problème en vitesse est une inéquation variationnelle. Ce type de formulation intervient lorsque l’on s’intéresse à des écoulements de matériaux viscoplastiques, par exemple en géophysique (glissement de terrain, avalanche de neige dense pouvant être décrits par une loi de type Bingham). Nous illustrerons cela sur des topographies satellite 2D en présence de fronts secs.

Nous nous focalisons sur le problème d'eau salée dans les aquifères costaux. La dérivation du modèle est basée sur le couplage de la loi de Darcy et du principe de conservation de la masse écrit pour le domaine de l'eau douce et pour celui de l'eau salée. Le modèle final obtenu grâce à l'approche mixte entre interface diffuse et interface abrupte a l’avantage de respecter la physique du problème tout en conservant l’efficacité numérique. Je vous parlerai de la modélisation du problème, des résultats théoriques obtenus et des simulations numériques sur la comparaison du modèle 2D&3D.

Nous présentons des méthodes permettant d’inférer un graphe à partir de signaux, afin de modéliser le support des données à classifier. Ensuite, des translations préservant les voisinages des sommets sont identifiées sur le graphe inféré. Enfin, ces translations sont utilisées pour déplacer un noyau convolutif sur le graphe, afin de définir un réseau de neurones convolutif adapté aux données d’entrée.

Dans cet exposé, nous présentons une nouvelle discrétisation hybride d'ordre élevé pour des problèmes elliptiques d'ordre quatre résultant de la modélisation du comportement en flexion des plaques de Kirchhoff-Love, comprenant l'équation biharmonique comme cas particulier. La méthode proposée supporte des ordres d'approximation arbitraires sur des maillages polygonaux généraux, et reproduit les relations clefs d'équilibre mécanique localement, dans chaque élément du maillage. Lorsqu'on utilise des polynômes de degré $k \ge 1$ comme inconnues, nous montrons la convergence en $h^{k+1}$ (avec $h$ désignant, comme d'habitude, le pas de maillage) dans une norme d'énergie opportune. De nouveaux résultats d'approximation pour le projecteur biharmonique oblique sur des espaces polynomiaux locaux sont un ingrédient clef dans la preuve de telle convergence. En outre, sous des hypothèses de régularité biharmonique, nous obtenons une estimation en $h^{k+3}$ dans la norme $L^2$ de l'erreur sur la déflexion. Les résultats théoriques sont validés grâce à des expériences numériques.

Dans cet exposé basé sur une série de travaux avec C. Donadello et U. Razafison (Besançon) et M.D. Rosini (Lublin, Pologne), on s'intéressera aux nouveaux modèles de trafic routier et piétonnier qui permettent de réproduire les différentes facettes du phénomène de "Capacity Drop" ("Faster Is Slower", le paradoxe de Braess...). Par exemple, il est observé que la présence d'un trop grand nombre de piétons dans une région située immédiatement en amont d'une sortie provoque une perte drastique d'efficacité de la sortie.

Les modèles développés par Rosini et al. pour décrire de tels phénomènes sont basés sur l'ajout, dans les équations classiques LWR (Lighthill-Whitham and Richards) ou ARZ (Aw-Rascle and Zhang), d'une interface interne portant une contrainte ponctuelle ; la sévérité de cette contrainte est déterminée, d'une façon non locale, par la solution elle-même. L'étude mathématique et numérique de ces modèles combine la théorie des lois de conservation "à flux discontinu" avec des arguments de splitting ou de point fixe.

Séminaire commun avec l'équipe d'analyse

Adaptive methods are well suited for approximating solutions with local singularities. Though adaptivity exploits sparsity features in pre-specified dictionaries and the resulting solutions are optimal in a sense, the "classic" adaptive approaches still scale exponentially with the dimension. Recent developments in the field of structured tensor formats and applications to high-dimensional equations suggest that certain problems can be well approximated over sparse tensor manifolds, potentially reducing the complexity in the dimension to (almost) linear.

In this talk I will introduce general notions of adaptive/non-linear approximation, specifically properties of wavelet bases and why they are well suited for adaptivity. I will discuss the basic ideas of using structured tensor formats to remedy the "curse of dimensionality". Finally, I will present some recent developments in adaptive high-dimensional approximation.