Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

In this talk, we study a stochastic mass conserved reaction-diffusion equation with a linear or nonlinear diffusion term and an additive noise corresponding to a Q-Brownian motion. We prove the existence and the uniqueness of the weak solution. The proof is based upon the monotonicity method. This is joint work with D.Hilhorst and K.Lee.

Dans cet exposé nous présenterons des contributions à la fois d’ordre théorique, numérique et allant jusqu’à des comparaisons avec l’expérience, autour de la modélisation du transport et du dépôt de particules. La motivation de ces recherches est l’étude de l’interaction fluide-particules dans le cadre de la respiration. Les sprays thérapeutiques ou les particules polluantes rentrent dans la catégorie des sprays fins et peuvent donc être décrits par des équations mésoscopiques de type cinétiques. Le système fluide-particules est alors un système qui couple fortement les équations de Navier-Stokes et l’équation de Vlasov. Pour ce type de système couplé, nous montrerons un résultat d’existence de solutions faibles dans le cas de domaines mobiles, avec des conditions d’absorption pour le spray (qui traduisent le dépôt de particules). Nous présenterons ensuite un schéma explicite permettant de simuler efficacement ce dépot. Nous montrerons numériquement que le dépôt peut être favorisé, pour des particules dont l’inertie est suffisamment grande, par la prise en compte de la force de rétroaction du spray sur le fluide. Cependant, compte tenu de la petite inertie des particules de certains spray thérapeutiques, cette rétroaction peut être négligée, découplant les équations fluides de la dynamique des particules. Enfin, des modèles permettant de décrire la dynamique de l’interaction fluide-particules au cours de tout le cycle respiratoire dans tous l’arbre bronchique seront introduits. Dans la partie proximale (3D) de l'arbre bronchique les particules sont décrites individuellement (description microscopique). Dans sa partie distale, l’évolution de la concentration des particules est régie par des équations mono-dimensionnelles de type advection-diffusion, qui prennent en compte les différents mécanismes de dépôt et en donnée d’entrée le débit de l’air. Ce débit d'entrée est calculé par les similations couplées 3D-0D de la partie fluide. Les modèles obtenus peuvent être calibrés de façon à prendre en compte les hérogénéités physiologiques, géométriques ou encore les spécificités des aérosols inhalés et donnent de bons résultats en comparaison avec des données expérimentales de dépôt obtenues sur des rats sains.

Nous nous intéressons à la résolution numérique des équations d'évolution scalaires à diffusion rapide ou lente telles que par exemple l'équation de milieux poreux, l'équation de Richards ou l'équation de Hele-Shaw. Les systèmes non linéaires obtenus en discrétisant telles équations peuvent être difficiles à résoudre. Dans cette exposé je parlerai de divers schémas de linéarisation incluant les variantes de la méthode de Picard et de Newton. Je présenterai les résultats théorique et les expériences numérique concernant les propriétés de convergence locale et globale de ces méthodes.

In this talk, I will present first a mesh generation though a photo and a xyz file, and a new adaptmesh technique applied on a water wave modeling : simplified Boussinesq system of BBM(Benjamin Bona Mahony) type derived by Dimitrios Mitsotakis and the Shallow Water system. I will also present FreeVol++ the code to solve numerically finite volume method on a unstructured grid using with FreeFem++, which is an ongoing work with Frédéric Hecht, Pierre Jolivet and Nicolas Seguin, and give it's first application on the advection 2D equation and on the Shallow Water system with the new adaptmesh technique and its parallel version.

Lorsqu'on cherche à décrire le comportement asymptotique de marches aléatoires positives en dimension trois (par exemple pour établir un théorème limite local, aussi pour calculer la probabilité de survie ou encore pour des questions plus combinatoires de comptage de chemins), des triangles sphériques apparaissent naturellement et jouent un rôle crucial (à titre d'exemple, l'exposant critique s'exprime en termes de la valeur propre principale de ces domaines sphériques pour le problème de Dirichlet).

L'objectif de l'exposé est de présenter des liens (et leurs conséquences) entre certaines propriétés du triangle sphérique (angles remarquables, propriétés de pavage, existence d'une formule close pour la valeur propre principale) et l'étude combinatoire des marches (structure d'un groupe de réflexions lié à la marche, existence d'une factorisation dite de Hadamard, existence encore d'équations différentielles vérifiées par les fonctions génératrices comptant les marches).

Il s'agit d'un travail en cours, en commun avec Beniamin Bogosel (CMAP), Vincent Perrollaz (Tours) et Amélie Trotignon (Simon Fraser University et Tours).

L’équation de Korteweg-de Vries (KdV) est une équation dispersive nonlinéaire fréquente en hydrodynamique pour modéliser le mouvement des vagues de faible amplitude en eau peu profonde. Nous proposons de discrétiser cette équation par un schéma numérique aux différences finies et étudions la convergence du schéma par une analyse de stabilité $\ell^2$ et d’erreur de consistance. L’ordre de convergence du schéma est quantifié par rapport à la régularité de Sobolev de la donnée initiale. La partie la plus délicate consiste à élaborer une méthode d’étude de stabilité $\ell^2$ qui convienne simultanément au terme nonlinéaire hyperbolique et au terme linéaire dispersif, tous deux présents dans l’équation (KdV). Dans une seconde partie, nous généralisons cette étude au système $abcd$ de type Boussinesq décrivant lui aussi le mouvement des vagues de faible amplitude à la surface de l’eau. Ce travail est en collaboration avec Cosmin Burtea, Frédéric Lagoutière et Frédéric Rousset.