Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Je présenterai tout d'abord les différents types de circulations océaniques et leur lien avec les changements climatiques. Puis je parlerai brièvement des différents modèles mathématiques de l'océan ayant vu le jour dans les 50 dernières années. L'analyse portera principalement sur le modèle de Saint-Venant qui permet de simuler la propagation d'ondes typiques : Kelvin, Inertie-gravité, Rossby, impliquées dans le phénomène El Nino. La plupart des méthodes numériques utilisées pour résoudre les équations de Saint-Venant conduisent à l'apparition de solutions non physiques et/où à des problèmes de dispersion/dissipation dans la représentation des ondes. Après un survol de ces difficultés, je montrerai que la méthode de Galerkin discontinue, selon le choix du flux numérique, possède de bonnes propriétés pour bien résoudre les écoulements océaniques. Les travaux analytiques seront illustrées par la simulation numérique de tourbillons océaniques (Gulf Stream) et d'ondes équatoriales.

Les modèles aux moments angulaires constituent des descriptions intermédiaires entre les modèles cinétiques et les modèles fluides. Dans ce travail, les modèles aux moments angulaires basés sur un principe de minimisation d'entropie sont étudiés pour des applications en physique des plasmas. La présentation est organisée en trois parties. La première est une contribution à la modélisation en physique des plasmas à travers le formalisme des modèles aux moments angulaires. Dans celle-ci, le domaine de validité de ces modèles est étudié en régimes non-collisionels. Il est également montré que les opérateurs de collisions proposés pour le modèle M1 permettent de retrouver des coefficients de transport plasma précis. La deuxième partie de cette présentation concerne la dérivation de méthodes numériques pour l'étude du transport de particules en temps long. Dans ce cadre, des schémas numériques appropriés pour le modèle M1, préservant l'asymptotique, sont construits et validés numériquement. La troisième partie représente un premier pas significatif vers la modélisation multi-espèces. Ici, le modèle aux moments angulaire M1, considéré dans le référentiel de vitesse moyenne des particules, est appliqué à la dynamique des gaz raréfiés. Les propriétés de ce modèle sont détaillées, un schéma numérique est proposé et une validation numérique est menée.

In this talk we consider the effect of randomness in kinetic equations that preserve mass. The analysis is carried out in a general setting, with the regularity result not depending on the specific form of the collision term, the probability distribution of the random variables, or the regime the system is in. The proof relies on the explicit expression of the high order derivatives of the solution in the random space, and the convergence in time is mainly based on hypocoercivity, which, despite the popularity in PDE analysis of kinetic theory, has rarely been used for numerical algorithms.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la dynamique des fluides isothermes évoluant dans le domaine de communication extérieur d'un trou noir de Schwarzschild. Nous présenterons plusieurs méthodes numériques basées sur la géométrie de Schwarzschild et étudierons numériquement la stabilité nonlinéaire des solutions `` équilibre'' et le comportement asymptotique des solutions générales de l'équation d'Euler et de l'équation de Burgers. Les schémas proposés fournissent un outils numérique capable de préserver exactement les équilibres et nous permettent d'analyser l'evolution de fluides avec effets géométriques.

In this talk, we will study a complex network composed of fibers having the ability to cross-link or unlink each other and to align with each other at the cross links. This model aims to describe networks of collagen fibers in a fibrous tissue. We will first present a microscopic model which features the following basic rules: We assume the existence of a fiber unit element (or monomer) modeled as a line segment of fixed length. We suppose that two fiber elements that cross each other may form a link, thereby creating a longer fiber. The fibers have the ability to branch off and to achieve complex network topologies. We include fiber resistance to bending by assuming the existence of a torque which, in the absence of any other force, makes the two linked fiber elements align with each other. Fibers are also subject to random positional and orientational noise and to external positional and orientational potential forces. Finally, cross-links may also be removed to model possible fiber breakage or depolymerization. We then formally derive a kinetic model for the fiber and cross-links distribution functions, and consider the fast linking/unlinking regime in which the model can be reduced to the fiber distribution function only. Then, we investigate its diffusion limit. The resulting macroscopic model consists of a system of nonlinear diffusion equations for the fiber density and mean orientation. In the case of a homogeneous fiber density, we show that the model is elliptic. We finally will present simulation results which show the good correspondence between the microscopic and the macroscopic models.

Durant cet exposé, je présenterai d'abord le système de Vlasov-Poisson avec un champ magnétique extérieur fort qui permet de confiner le plasma. Ensuite, je rappellerai différents modèles mathématiques que l'on obtient lorsque l'amplitude de de champ magnétique tend vers l'infini. Je proposerai enfin des méthodes numériques qui permettent de capturer cette asymptotique.

Les séries chronologiques à coefficients aléatoires sont devenues très populaires au fil des années, en raison de leur grande flexibilité. Il est cependant contre-intuitif de supposer l'indépendance des coefficients lorsque le modèle est chronologique, ce qui est généralement fait. Dans cet exposé, on proposera une première approche dans laquelle les coefficients sont corrélés. On montrera en particulier dans le cadre d'un exemple autorégressif simple que l'estimateur usuel, tout en restant asymptotiquement normal, n'est plus consistant, ce qui pose certains problèmes d'interprétation sur les données réelles. On souhaitera également par ce travail motiver l'étude de dépendances plus générales dans les coefficients.

The collapse transition of self-interacting random walks is a challenging issue, arising in the study of an homopolymer dipped in a repulsive solvent. Different mathematical models have been built by physicists to try and improve their understanding of this phenomenon. For such models, the possible spatial configurations of the polymer are provided by self-avoiding walk trajectories. However, self avoiding walks, especially in dimension 2 and 3, are complicated objects.

This is the reason why, in the mathematical literature, collapse transition models were rather built by either relaxing the self-avoiding feature of the walk or by considering partially directed path. In our main result, we prove the existence of a collapse transition for a non-directed model built with prudent paths, i.e., non-directed self-avoiding paths which can not take a step towards a previously visited lattice site. The prudent self-avoiding walk has attracted the attention of the combinatorics community over recent years and an open problem is to find out the exponential growth rate of the set of prudent paths. As a by product of our results we are able to solve this problem.

In the first part of the talk we discuss the main models already studied in the literature, while in the second part of the talk we present our main results.

The presentation will be kept at an elementary level: only a basic probabilistic background is assumed.

(Joint work with Nicolas Pétrélis)

The so-called pair correlation function is a fundamental spatial point process characteristic that, given the intensity function, determines second order moments of the point process. Computation of a non-parametric estimate of the pair correlation function is a typical initial step of a statistical analysis of a spatial point pattern. Kernel estimates are popular non-parametric estimates but especially for clustered point patterns suffer from bias for small spatial lags. We introduce a new orthogonal series estimate which is much less biased for clustered point patterns. We consider consistency and asymptotic normality of the new estimate and also finite sample properties in a simulation study. Estimates are finally compared in an application to a data set of tropical rain forest tree locations.