Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Nous nous focalisons sur le problème d'eau salée dans les aquifères costaux. La dérivation du modèle est basée sur le couplage de la loi de Darcy et du principe de conservation de la masse écrit pour le domaine de l'eau douce et pour celui de l'eau salée. Le modèle final obtenu grâce à l'approche mixte entre interface diffuse et interface abrupte a l’avantage de respecter la physique du problème tout en conservant l’efficacité numérique. Je vous parlerai de la modélisation du problème, des résultats théoriques obtenus et des simulations numériques sur la comparaison du modèle 2D&3D.

Nous présentons des méthodes permettant d’inférer un graphe à partir de signaux, afin de modéliser le support des données à classifier. Ensuite, des translations préservant les voisinages des sommets sont identifiées sur le graphe inféré. Enfin, ces translations sont utilisées pour déplacer un noyau convolutif sur le graphe, afin de définir un réseau de neurones convolutif adapté aux données d’entrée.

Dans cet exposé, nous présentons une nouvelle discrétisation hybride d'ordre élevé pour des problèmes elliptiques d'ordre quatre résultant de la modélisation du comportement en flexion des plaques de Kirchhoff-Love, comprenant l'équation biharmonique comme cas particulier. La méthode proposée supporte des ordres d'approximation arbitraires sur des maillages polygonaux généraux, et reproduit les relations clefs d'équilibre mécanique localement, dans chaque élément du maillage. Lorsqu'on utilise des polynômes de degré $k \ge 1$ comme inconnues, nous montrons la convergence en $h^{k+1}$ (avec $h$ désignant, comme d'habitude, le pas de maillage) dans une norme d'énergie opportune. De nouveaux résultats d'approximation pour le projecteur biharmonique oblique sur des espaces polynomiaux locaux sont un ingrédient clef dans la preuve de telle convergence. En outre, sous des hypothèses de régularité biharmonique, nous obtenons une estimation en $h^{k+3}$ dans la norme $L^2$ de l'erreur sur la déflexion. Les résultats théoriques sont validés grâce à des expériences numériques.

Dans cet exposé basé sur une série de travaux avec C. Donadello et U. Razafison (Besançon) et M.D. Rosini (Lublin, Pologne), on s'intéressera aux nouveaux modèles de trafic routier et piétonnier qui permettent de réproduire les différentes facettes du phénomène de "Capacity Drop" ("Faster Is Slower", le paradoxe de Braess...). Par exemple, il est observé que la présence d'un trop grand nombre de piétons dans une région située immédiatement en amont d'une sortie provoque une perte drastique d'efficacité de la sortie.

Les modèles développés par Rosini et al. pour décrire de tels phénomènes sont basés sur l'ajout, dans les équations classiques LWR (Lighthill-Whitham and Richards) ou ARZ (Aw-Rascle and Zhang), d'une interface interne portant une contrainte ponctuelle ; la sévérité de cette contrainte est déterminée, d'une façon non locale, par la solution elle-même. L'étude mathématique et numérique de ces modèles combine la théorie des lois de conservation "à flux discontinu" avec des arguments de splitting ou de point fixe.

Séminaire commun avec l'équipe d'analyse

Adaptive methods are well suited for approximating solutions with local singularities. Though adaptivity exploits sparsity features in pre-specified dictionaries and the resulting solutions are optimal in a sense, the "classic" adaptive approaches still scale exponentially with the dimension. Recent developments in the field of structured tensor formats and applications to high-dimensional equations suggest that certain problems can be well approximated over sparse tensor manifolds, potentially reducing the complexity in the dimension to (almost) linear.

In this talk I will introduce general notions of adaptive/non-linear approximation, specifically properties of wavelet bases and why they are well suited for adaptivity. I will discuss the basic ideas of using structured tensor formats to remedy the "curse of dimensionality". Finally, I will present some recent developments in adaptive high-dimensional approximation.

Dans cet exposé nous rapportons sur les applications des méthodes développées à l'origine pour le problème de diffusion inverse pour l'équation de Schrödinger avec champ magnétique à la tomographie acoustique de fluide en écoulement.

Ce travail vise à prédire l'issue de la compétition entre deux langues pour la conquête du plus grand nombre de locuteurs. Nous construisons un modèle champ moyen basé sur un système d'équations aux dérivées partielles en temps et en âge afin de prendre en compte le vieillissement des populations. Ce système est complété par des termes d'échanges entre les différentes populations pour modéliser l'apprentissage ou l'oubli d'une langue, et des termes de natalité de type « sexuée » et de mortalité pour prendre en compte la démographie. Une étude du comportement asymptotique de ce modèle sera illustrée par des simulations numériques. Cette technique de modélisation, qui a déjà fait ses preuves dans un contexte de modélisation en biologie, devrait permettre à terme de comprendre comment les langues « survivent » ou « se perdent ».

Les modèles qui décrivent l'activité électrique du cœur sont des EDP paraboliques couplées avec des systèmes d'EDO appelés modèles ioniques. Ces modèles appartiennent à la classe des équations de réaction diffusion raides et leur raideur provient à la fois de l'EDP et de l'EDO. Une technique usuelle pour leur résolution numérique consiste à utiliser un schéma implicite pour les termes de diffusion et explicite pour les termes de réaction, puisque ceux-ci sont non linéaires. Cependant la non linéarité des termes de réaction ne permet pas d'utiliser efficacement des schémas explicite classiques. [Rush, Larsen, IEEE TBME, 1978] ont pour cette raison proposé un schéma d'ordre un adapté à l'électrocardiologie. Plus récemment, [Perego, Venziani, ETNA, 2009] ont réinterpreté ce schéma comme un intégrateur discret exponentiel (voir [Hochkbruck, Osterman, Acta Numer, 2010]), et proposé une généralisation à l'ordre deux. En utilisant le principe des intégrateurs discrets exponentiels, je présenterai de nouveaux schémas d'ordre quelconque pour la simulation en électrophysiologie cardiaque. Je présenterai des résultats de stabilité, de consistance et de convergence de ces schémas, et j'illustrerai leurs propriétés par des tests numériques réalisés avec le modèles monodomaine couplé avec les modèles ioniques de Beeler Reuter (BR) et de TenTusscher & al (TNNP).