Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

The so-called pair correlation function is a fundamental spatial point process characteristic that, given the intensity function, determines second order moments of the point process. Computation of a non-parametric estimate of the pair correlation function is a typical initial step of a statistical analysis of a spatial point pattern. Kernel estimates are popular non-parametric estimates but especially for clustered point patterns suffer from bias for small spatial lags. We introduce a new orthogonal series estimate which is much less biased for clustered point patterns. We consider consistency and asymptotic normality of the new estimate and also finite sample properties in a simulation study. Estimates are finally compared in an application to a data set of tropical rain forest tree locations.

Les systèmes de réaction-diffusion croisée ont été introduits en dynamique des populations par Shigesada et al. pour tenir compte de l'influence des populations sur les taux de diffusion inter et intra spécifiques (on parle de diffusion croisée et auto-diffusion). Nous nous intéresserons à une gamme de systèmes généralisant ceux de Shigesada et. al. pour lesquels nous établirons un résultat d'existence de solutions faibles globales, en toute dimension d'espace. Ce résultat d'existence repose sur une fonctionnelle d'entropie " cachée " du système et sur un Lemme de dualité de Michel Pierre. On présentera également le schéma d'approximation permettant de conserver la positivité des solutions et les estimations précédentes.

I will present anisotropic scaling limits of the random grain model on the plane with heavy-tailed grain area distribution. They have either independent or completely dependent increments along one or both coordinate axes and include stable, Gaussian and 'intermediate' infinitely divisible random fields. I will also give the asymptotic form of the covariance function of the random grain model and present some applications to superposed network traffic. The talk is based on a joint work with Donatas Surgailis (Vilnius University, Lithuania).

The extreme value theory is used by many authors to model exceedances in several fields such as hydrology, insurance, finance and environmental science, see Furlan (2010), Coles and Sparks (2006), Moscadelli (2004). Since Balkema-DeHaan (1974) and Pickands (1975), it is well known that the conditional distribution of any random variable over a high threshold has approximately a generalized Pareto distribution (GPD). However, the theory shows some surprises in practical applications. The goal is to find distributions so close to the Pareto distribution as determined by the data, but with greater flexibility in some sense. A new statistical approach to the issue is provided for non-light tails.

Je présenterai la problématique de l'approximation de la distribution invariante d'Equations aux Dérivés Partielles Stochastiques (EDPS), de type parabolique, semilinéaires, et des techniques d'analyse de l'erreur de discrétisation en temps et en espace. En utilisant des travaux récents concernant le cas des Equations Différentielles Stochastiques (EDS), je présenterai un nouveau schéma pour ces EDPS, qui augmente l'ordre de convergence par rapport à la discrétisation en temps. Enfin, je présenterai les challenges théoriques pour prouver ce résultat en toute généralité. L'exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Gilles Vilmart (Genève).

Dans cet exposé nous décrirons un moyen de dériver de façon systématique la représentation sous incertitude d’un écoulement fluide aux grandes échelles. Cette incertitude, encodée sous la forme d’un champs de variables aléatoires, représente les effets des petites échelles négligées dans la représentation grande échelle. Le système dynamique représentant l’évolution des grandes échelles est obtenu au moyen d’une représentation stochastique du théorème de transport de Reynolds. Cette représentation permet, comme dans le cas déterministe, une dérivation systématique du système stochastique recherché. Nous passerons ainsi en revu et discuterons la représentation sous incertitude d’un certain nombre de systèmes classiques.

Les travaux présentés ici s'inscrivent dans une démarche de constructions de schémas numériques permettant de calculer des écoulement à tout nombre de Mach. Le cadre est ici le développement de schémas d'ordre élevé pour les équations d'Euler compressible.

Les schémas sont découplés en temps et une discrétisation spatiale de type maillage décalé est adoptée. Les inconnues scalaires sont définies au centre des cellules d'un premier maillage alors que les inconnues de vitesses sont définies sur un second maillage centré sur les faces du premier. La formulation en énergie interne des équations est utilisée afin de garantir sa positivité et éviter une discrétisation fastidieuse de l'équation de bilan d'énergie total sur un maillage décalé. Un bilan d'énergie cinétique discret est obtenu et un terme source est ajouté dans le bilan d'énergie interne pour retrouver un bilan d'énergie total à la limite. Des techniques d'interpolations d'ordre élevé de type MUSCL sont utilisées dans les opérateurs convectifs discrets. Elles se basent uniquement sur la vitesse matérielle du fluide et permettent de garantir sous condition de CFL la positivité de la masse volumique et de l'énergie interne. On s'assure ainsi que l'énergie totale ne peut croître et on obtient de plus une inégalité d'entropie discrète. Sous des hypothèses de contrôle des normes des solutions discrètes des schémas, on prouve que toute suite convergente de ces solutions va nécessairement converger vers une solution faible des équations d'Euler. De plus elles vérifient une inégalité d'entropie faible à la limite.