Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

L'analyse topologique des données désigne un ensemble de méthodes et d'algorithmes dont l'objectif est l'estimation des propriétés topologiques d'une forme géométrique. Dans une première partie de l'exposé, je proposerai une introduction aux principales méthodes de l'analyse topologique des données. Je présenterai en particulier la persistance homologique et je donnerai quelques résultats statistiques récents dans ce cadre. Cette approche s'appuie sur des fonctions distance aux sous-ensembles compacts. En remplaçant les sous-ensembles compacts par des mesures, Chazal, Cohen-Steiner et Mérigot (2011) ont proposé d'étendre le cadre des fonctions distance en remplaçant les sous-ensembles compacts par des mesures. Cette nouvelle fonction distance est beaucoup plus robuste et permet d'aborder l'analyse topologique des données avec un point de vue plus probabiliste. Dans la seconde partie de l'exposé, je présenterai quelques résultats statistiques récents sur l'estimation de cette distance à la mesure.

Travail en collaboration avec Mélisande Albert, Yann Bouret et Patricia Reynaud-Bouret.

Dans la perspective d’un déchiffrage du code neuronal, la détection du phénomène de syn- chronisation de potentiels d’action ou spikes apparaît aujourd’hui comme une question fonda- mentale en neurosciences, traitée par de nombreux auteurs (c.f. Pipa et Grün (2003), Grün et al. (2010), Tuleau-Malot et al. (2014)). Aucun modèle statistique paramétrique pour les trains de spikes n’étant communément accepté par les neuroscientifiques, nous considérons cette ques- tion sous l’angle d’un problème de test non paramétrique d’indépendance entre deux processus ponctuels. Nous proposons des tests basés sur des U -statistiques de processus ponctuels et sur des approches de bootstrap ou de permutation. Sans hypothèse contraignante sur la distribution des processus observés, nous obtenons des résultats généraux de consistance par rapport à la distance de Wasserstein pour les deux approches. Ces résultats nous permettent de montrer que nos tests sont de taille asymptotique attendue et consistants, les tests par permutation ayant de plus l’avantage d’être exactement du niveau attendu. Une étude expérimentale, dans laquelle nous comparons nos tests à ceux utilisés jusqu’à présent en neurosciences, vient illustrer l’étude théorique. Enfin, pour pouvoir détecter plus précisément la localisation des synchronisations de potentiels d’action, nous intégrons les tests par permutation développés ici dans une procédure de tests multiples, que nous appliquons à des données neuronales réelles.

Résumé

Chercher une aiguille dans une botte de foin est le défi quotidien posé par l'analyse statistique des données massives (en neuro-imagerie ou en génomique par exemple). A cette fin, de nombreuses stratégies statistiques ont été mises en place, souvent basées sur des modèles dits de "grande dimension".

Dans cet exposé, nous explorons la méthodologie liée au test multiple d'hypothèses, qui a rencontré un engouement particulièrement important ces dernières décennies, notamment après le fameux papier de Benjamini et Hochberg (1995). Nous débuterons par une partie non-technique qui nous permettra de nous familiariser avec le problème. Le deuxième volet de l'exposé présentera certains aspects de ma recherche dans ce domaine, en particulier pour traiter le problème délicat de la dépendance entre les tests.

(En collaboration avec Aude Bernard-Champmartin et Nicolas Seguin)

Nous nous intéressons à l'obtention de la stabilité de méthode volumes finis dédiées aux équations de transport en dimension deux d'espace sur des maillages courbes non structurés. L'approximation d'ordre élevée (2 ou 3) de la géométrie étant obtenue par des mailles dont les arêtes peuvent représenter de manière exacte des portions de droite, ellipse (cercle), parabole, et d'hyperbole. Les reconstructions des quantités conservatives sont issues de méthode d'ordre 2 ou 3 (méthode des moindres carrés). L'obtention de la stabilité (définie par la nature du champ (scalaire ou vectoriel) et son type (volumique ou massique)) est réalisée grâce à une extension de la méthode APITALI (A Posteriori ITerAtive LImitation), et nous comparons numériquement avec la méthode MOOD (Multi-dimensionnal Optimal Order Detection) vue comme un cas particulier. Les flux des schéma volumes finis pouvant être définis soit aux arêtes (quasi 1D) soit aux nœuds (multi-D).