Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Ce travail s'inscrit dans le cadre d'un projet interdisciplinaire VIVABRAIN, financé par l'ANR, qui a pour objectif final de simuler des images angiographiques cérébrales virtuelles. Nous nous intéresserons en particulier à la partie simulation de l'écoulement sanguin dans tout le réseau cérébral (artériel et/ou veineux) obtenu à partir d'angiographies cérébrales 3D. Nous détaillerons les différentes étapes de ce travail : le passage des images médicales au maillage de calcul, la modélisation adéquate, la simulation réalisée à l'aide de logiciels d'éléments finis libres, comme FreeFEM++ et l'étape de validation.

Nous étudions dans cet exposé un modèle hyperbolique inspiré de la mécanique des fluides pour la modélisation du chimiotactisme, et plus particulièrement de la vasculogénèse. Ce modèle a été proposé par Gamba et Preziosi et reste très peu étudié jusqu'à présent à cause des difficultés analytiques qu'il présente, puisque les solutions développent des zones de vide au cours du temps. Après un bref rappel sur d'autres modèles pour le chimiotactisme, nous présenterons une étude complète des solutions stationnaires du système. Nous décrirons un schéma numérique adapté pour ce système et nous étudierons la propriété "Asymptotic Preserving" de ce schéma dans la limite temps long-forte friction.

Nous nous intéressons à la résolution d’équations de diffusion anisotropes elliptiques ou paraboliques par des méthodes de type Volumes Finis. Les dernières années ont vu se développer de nombreuses méthodes linéaires, c’est à dire consistant à résoudre un système linéaire lorsque le problème est linéaire. Ces méthodes ont toute le défaut de ne pas préserver certaines propriétés fondamentales du problème continu, comme le principe du maximum où la décroissance de certaines entropies d’intérêt. Cela pousse donc à considérer des méthodes non-linéaires.

Les plasmas magnétiques peuvent être décrit au niveau cinétique par le système d'équations de Vlasov-Maxwell, modèle très coûteux à résoudre numériquement car il prend en compte les différentes échelles de la magnéto-hydrodynamique. Nous présenterons et nous étudierons dans cet exposé un modèle simplifié de ces équations, qui garde la précision de la description cinétique pour les ions ainsi que l'effet Hall des équations de Maxwell.

Dans cet exposé, nous introduisons une notion de quantile multivarié qui n'est pas basée sur une M-estimation globale mais une M-estimation directionnelle. Ceci est aussi une généralisation du quantile univarié. Nous nous intéresserons ensuite au quantile empirique associé qui présente de bonnes propriétés géométriques. Puis nous établirons une loi des grands nombres uniforme, un théorème central limite, ainsi qu'un principe d'invariance forte et enfin une généralisation du théorème de Bahadur-Kiefer au cas multivarié.

We consider the problem of statistical learning when we observe a contaminated sample. We state minimax fast rates of convergence in classification with errors in variables for deconvolution empirical risk minimizers. These rates depend on the ill-posedness, the margin and the complexity of the problem. The cornerstone of the proof is a bias variance decomposition of the excess risk. After that, we investigate the problem of adaptation to the unknown smoothness. We introduce a new selection rule called ERC (Empirical Risk Comparison), that allows us to obtain adaptive fast rates of convergence in noisy clustering. The method is based on the Lepski's procedure, where empirical risks associated with different bandwidths are compared.

Les travaux présentés ici s'inscrivent dans une démarche d'amélioration d'un schéma existant pour les équations de Navier-Stokes à masse volumique variable sur des maillages non structurés, pour qu'il satisfasse les propriétés suivantes: le contrôle de l'énergie cinétique et la précision pour des écoulements à convection dominante. On commencera par présenter le schéma de départ, à savoir une méthode à pas fractionnaires (correction de pression) discrétisée en espace par l'élément fini de Rannacher-Turek. Après avoir mis en évidence les défauts de ce schéma sur plusieurs cas tests, on répondra à la problématique. Tout d'abord, on présentera un schéma de type Crank-Nicolson et on montrera que la dissipation numérique est réduite grâce à cette discrétisation.

A partir d'un modèle cinétique de chimiotactisme, on établit un système qui, contrairement aux équations de Keller-Segel, comporte une équation d'advection. Les phénomènes de concentration apparaissent ici sous forme de solutions à valeurs mesures (les agrégats sont des masses de Dirac). On discutera les problèmes d'analyse mathématique que cela pose ainsi que les solutions théoriques possibles. On pourra aborder également la discrétisation de ces équations.

Cet exposé traite le problème de l'estimation d'une spline cubic dont les valeurs sur les noeuds sont bruitées. On propose des estimateurs basés sur la régression linéaire par la norme l1 (appelée aussi les moindres déviations (MD)). Contrairement à la régression linéaire par la norme l2, les (MD) ne peuvent être obtenus qu'à l'aide d'un algorithme. L'état de l'art des algorithmes qui calculent les (MD) sera donné dans cet exposé.