Les équations cinétiques collisionnelles, donc le prototype est
l'équation de Boltzmann, décrivent de manière bien plus précise que des
équations fluides de nombreux phénomènes physiques ou biologiques comme
les gaz raréfiés, les milieux granulaires ou les bancs de poisson.
Néanmoins, en raison d'un espace des phases de grande dimension, il est
très couteux d'effectuer des simulations numériques pour ce type
d'équations.
Dans ce travail en collaboration avec F. Filbet et K. Aoki, nous
construisons une hiérarchie de méthodes numériques hybrides
cinétique/fluide pour ce type d'équations multi-échelles.
Notre approche est basée sur le concept de matrice de réalisabilité des
moments, introduit par Levermore, Morokoff and Nadiga. Cela nous permet
de considérer des modèles hybrides où la partie fluide peut être donnée
par les équations d'Euler, de Navier-Stokes, ou même de Burnett et
super-Burnett. Le gain de temps de calcul rend notre méthode compétitive
avec des modèles fluides, tout en gardant la précision d'un modèle
cinétique.
Ce travail de thèse, en collaboration avec l’équipe de S. Valitutti (INSERM), étudie des propriétés probabilistes et statistiques de la dynamique entre des cellules immunitaires (Lymphocytes T Cytotoxiques, CTL) et un nodule tumoral. Etant difficile pour les biologistes de reproduire in vitro l’interaction CTL/nodule, nous proposons un modèle agent centré pour modéliser cette interaction.
Par des simulations numériques, deux paramètres se sont révélés importants dans la réponse immunitaire : i) le déplacement des CTL, les diriger vers le nodule améliore l’efficacité des CTL ; ii) le nombre de cellules tumorales éliminées par un seul CTL, plus ce nombre est grand plus la réponse est efficace.
Nous proposons un système d’EDO pour en déduire le comportement d’un nodule tumoral soumis, ou non, à une immunothérapie qui consiste à attirer les CTL vers le nodule. Puis, nous suggérons un modèle de mélange de lois de Poisson pour décrire le nombre de cellules cibles éliminées par un CTL.
On s'intéresse ici à l'approximation du problème de Stokes 2D par la
méthode Discrete Duality Finite Volume (DDFV). Cette méthode de volumes
finis (qui généralise le schéma MAC) a notamment pour avantages de
pouvoir s'adapter aisément à des maillages quelconques ou à des
écoulements bi-fluides, tout en conservant au plan discret les
propriétés principales des opérateurs différentiels mis en jeu.
Plus précisément, on étudie d'un point de vue théorique et numérique la
stabilité Inf-Sup de ce schéma pour différents types de maillages, en
particulier non conformes.
La méthode des moindres carrés partiels aussi appelée PLS est très utilisée de nos jours pour la prédiction en régression multivariée, notamment lorsque l'on a de fortes corrélations au sein des variables explicatives ou lorsque ces dernières dépassent en nombre les observations que l'on a à disposition. La PLS est une méthode de réduction de dimension astucieuse qui cherche à résoudre le problème de multicollinéarité en créant de nouvelles variables latentes qui maximisent la variance des variables initiales tout en restant optimales pour la prédiction. Si la PLS se révèle être un outil très utile et puissant dans de nombreux domaines, elle n'en reste pas moins une procédure complexe et peu de ses propriétés théoriques sont connues.
Dans cet exposé, je vous présenterai une nouvelle façon de considérer la PLS basée sur les liens étroits qu'elle a avec des polynômes orthogonaux particuliers que j'expliciterai et que nous appellerons par la suite polynômes résiduels. La théorie des polynômes orthogonaux nous permettra ensuite de donner une expression analytique explicite pour ces polynômes résiduels. Nous verrons que cette expression montre clairement de quelle façon l'estimateur PLS dépend du signal et du bruit. A la suite de quoi, nous montrerons la puissance de cette nouvelle approche dans l'analyse des propriétés statistiques de la PLS en établissant de nouveaux résultats sur son risque empirique et son erreur quadratique moyenne de prédiction. Nous évoquerons aussi certaines propriétés de seuillage de cet estimateur et ses liens avec le gradient conjugué. Nous conclurons enfin en montrant comment l'approche par polynômes orthogonaux fournit un cadre unifié permettant de retrouver directement des propriétés déjà connues de la PLS mais démontrées par des approches diverses et différentes de la notre.
Le problème de la répartition optimale de matériaux élastiques
au sein d'une structure fixe a longtemps été au coeur des préoccupations
en conception de structures, et a motivé l'élaboration d'outils
mathématiques nouveaux (par exemple, en homogénéisation).
Dans cet exposé, on s'intéresse à l'impact de la géométrie de
l'interface entre plusieurs phases aux propriétés élastiques différentes
sur la performance de la structure globale. L'un des problèmes majeurs
est que les dérivées de formes impliquées font intervenir les sauts de
quantités discontinues à travers cette interface, qui sont très
difficiles à évaluer numériquement avec précision.
Pour pallier cette difficulté, on propose un modèle approché, où
l'interface "sèche" entre les différents matériaux est "étalée" en une
bande d'épaisseur fixe (et petite). Ce changement de point de vue
s'appuie sur l'utilisation de la fonction de distance signée, et
implique l'étude de sa dépendance par rapport au domaine lui-même.
Bien que plus complexe au premier abord, ce nouveau modèle donne lieu à
des dérivées de formes plus
faciles à utiliser en pratique. On peut montrer qu'il est consistant
avec son pendant à "interface sèche". De plus, ce modèle jouit d'un
intérêt propre, par exemple pour la modélisation d'interfaces non
monotones.
Plusieurs exemples numériques sont proposés, qui permettent d'évaluer
les performance de l'analyse présentée.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec G. Allaire (CMAP), G.
Delgado (CMAP & EADS) et G. Michailidis (CMAP & Renault).
Ce travail est essentiellement consacré aux problèmes de stabilité liés au
développement de schémas numériques associés à deux modèles d’écoulement
classiques. Dans un premier temps nous détaillons la construction d’une approche
Volumes Finis pour le système Shallow Water avec termes sources
sur maillages non structurés. En se basant sur une reformulation appropriée
des équations, nous mettons en place un schéma équilibré et préservant la
positivité de la hauteur d’eau, et suggérons une extension MUSCL adaptée.
Le schéma est capable de gérer des topographies irrégulières et exhibe de
fortes propriétés de stabilité. Nous proposons ensuite son extension aux approches
Elements Finis type Galerkin discontinu. L’inclusion des termes de
friction est aussi évoquée. Des résultats numériques sont exposés et la méthode
se révèle bien adaptée à la description d’une large variété d’écoulements.
Partant de ces observations nous proposons finalement d’exploiter ces caractéristiques
pour étendre l’approche à une nouvelle famille d’équations type
Green-Naghdi. Des validations numériques sont également proposées pour
valider le modèle numérique.
