Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

L'immersion d'une population de macro-particules dans un bain de monomères donne naissance à des phénomènes d'interaction qui provoquent un mécanisme de grossissement des particules de grandes tailles au détriment de celles de petites tailles. La dynamique d'évolution d'une telle interaction est très intrigante lorsqu'on s'intéresse à son comportement asymptotique en temps. Ainsi dans cet exposé on étudiera le profil asymptotique en temps et on introduira un nouveau schéma volumes finis adapté à sa reconstruction numérique. On présentera également l'effet des éventuelles collisions entre macro-particules sur ce profil asymptotique ainsi qu'une extension en dimension spatiale de ce modèle d'interaction.

In this talk we present a new algorithm based on Cartesian mesh for the numerical approximation of the kinetic models on complex geometry boundary. Due to the high dimensional property, numerical algorithms based on unstructured meshes for a complex geometry are not appropriate. Here we propose to adapt the inverse Lax-Wendroff procedure, which was recently introduced for conservation laws \cite{bibTS}, to the kinetic equations. We first apply this algorithm for Boltzmann type operators (BGK, ES-BGK models) in $1D\times 3D$ and $2D\times 3D$. Then we extend a similar method to bacterial chemotaxis models, which is a coupling problem of kinetic equation and parabolic equation. Numerical results illustrate the accuracy properties of these algorithms.
S. Tan and C.-W. Shu, Inverse Lax-Wendroff procedure for numerical boundary conditions of conservation laws, Journal of Computational Physics, 229 (2010), 8144--8166.

On analyse un schéma volumes finis pour un modèle de Keller-Segel en dimension 2 avec diffusion croisée étudié par S. Hittmeir et A. Jüngel dans un article de 2011. On considère le modèle parabolique-elliptique, avec l'ajout d'un terme de diffusion croisée dans l'équation elliptique. Ce terme empêche l'explosion des solutions en temps fini, qui peut avoir lieu pour le système de Keller-Segel classique. On considère une discrétisation volumes finis en espace et implicite en temps. Après avoir prouvé l'existence d'une solution au schéma, on obtient une inégalité d'entropie en utilisant des versions discrètes d'inégalités de Sobolev, et on peut finalement en déduire des estimations a priori. On obtient alors grâce à ces estimations la compacité d'une famille de solutions approchées et on peut passer à la limite dans le schéma. Dans le cas où le coefficient devant le terme de diffusion croisée est suffisamment grand, on peut prouver la convergence en temps long de la solution vers l'état stationnaire homogène en utilisant l'inégalité d'entropie. On obtient de plus une estimation du taux de convergence grâce à une inégalité de Sobolev logarithmique discrète.

L'érosion hydrique est un phénomène naturel qui représente un risque important pour les espaces agricoles et les zones situées à l'aval: pertes en terre, coulées de boue, turbidité et pollution des eaux. L'érosion des sols résulte de nombreux processus qui jouent au niveau de trois phases: le détachement des particules, le transport solide et la sédimentation. La modélisation de ces processus se situe aux interfaces de domaines scientifiques variés et nécessite une approche multidisciplinaire. Le modèle à base physique, basé sur le principe de conservation, est reconnu comme un outil efficace pour prédire ce phénomène. L'objectif global de ce travail est d'étudier une modélisation multi échelle et de développer une méthode adaptée pour la simulation numérique du processus d'érosion à l'échelle du bassin versant.

Nous nous intéressons à la résolution de problèmes inverses provenant d'une modélisation multi-échelle de l'écoulement de l'air dans les poumons. Dans un premier temps, nous considérons une version simplifiée du modèle de l'écoulement de l'air dans les poumons : l'écoulement est modélisé par les équations de Stokes incompressibles avec des conditions aux limites de type Robin sur une partie du bord. Nous cherchons à identifier le coefficient de Robin défini sur une partie non accessible du bord à partir de mesures de la vitesse et de la pression disponibles sur une autre partie du bord.
Après avoir quantifié des résultats de continuation unique pour le système de Stokes, nous établissons une inégalités de stabilité logarithmique. Ce résultat est basé sur des inégalités de Carleman locales. De plus, sous l'hypothèse a priori que le coefficient de Robin est constant par morceaux, nous prouvons une inégalité de stabilité Lipschitzienne pour le problème stationnaire. Nous concluons, en revenant au problème initial pour lequel nous imposons des conditions au bord non-standard faisant intervenir le flux. En particulier, nous obtenons des premiers résultats numériques encourageants concernant l'identification de certains paramètres du modèle (résistances à l'écoulement de l'air, élasticité des tissus).

Plus d'infos : http://anum-maths.univ-rennes1.fr/JourneesNantesRennes/2013/

Nous présentons une méthode permettant de simuler le mouvement de particules rigides immergées dans un fluide visqueux incompressible. On considère un domaine perforé dans lequel on veut résoudre les équations de Stokes incompressible avec une condition de mouvement rigide sur le bord des inclusions (qui représentent les particules rigides) avec une méthode élément finis.

La méthode présentée est une méthode de type domaine fictif ce qui permet l'utilisation de maillage cartésien fixe ainsi que de solveur rapide. Les méthodes de domaine fictif prolonge la solution au domaine tout entier et souffre d'une perte d'ordre de l'erreur en espace dans le cas ou ce prolongement n'est pas régulier. Ainsi, pour prendre en compte la contrainte de mouvement rigide sur le bord de chaques inclusions, on cherche un prolongement régulier de la solution du problème de départ. Pour cela, on résout les équations de Stokes incompressibles dans le domaine fictif avec un prolongement du terme source choisit de façon à obtenir la solution du problème de départ en prenant la restriction, sur le domaine perforé, de la solution calculée.

Tout le problème revient donc à trouver un tel prolongement du terme source qui est trouvé en minimisant une fonction coût avec un algorithme de gradient conjugué. On ne résout que des problèmes de Stokes classiques, non contraint, où seul le terme source dépend de la position des particules.

Nous présentons donc la méthode en détails ainsi que l'algorithme utilisé pour résoudre le problème. On résout deux problèmes de Stokes par itérations du gradient conjugué dont l'un fait intervenir une distribution simple couche. Nous présentons l'analyse numérique de l'approximation de cette distribution par une combinaison de masses de Dirac. Enfin nous présentons quelques simulations en deux et trois dimensions obtenues avec le code de calcul développé.

Les processus markoviens déterministes par morceaux (PDMP's pour l'anglais piecewise-deterministic Markov processes) sont une classe générale de modèles stochastiques non-diffusifs évoluant selon un flot déterministe ponctué par des sauts aléatoires à des instants aléatoires. La loi des sauts est gouvernée par un noyau markovien $Q$ alors que celle des temps inter-sauts est donnée par un taux de saut $\lambda$. Dans cet exposé, je commencerai par définir les PDMP's et donner quelques exemples. La suite sera divisée en deux parties. Dans la première, je montrerai comment estimer la densité conditionnelle associée à $\lambda$ à partir d'une généralisation du modèle multiplicatif d'Aalen pour l'estimation de taux de saut. Dans la seconde, je m'intéresserai à l'estimation récursive du noyau $Q$. Dans les deux cas, l'estimation est réalisée à partir de l'observation en temps long d'une trajectoire d'un PDMP.

Dans cette exposé je présenterai des résultats théoriques et numériques sur quelques modèles mathématiques qui permettent de décrire la dynamique d'un tas de sables. L'étude fait intervenir de l'analyse des EDP non linéaires et de l'optimisation. Je parlerai de deux modèles déterministes et un modèle aléatoire en évoquant l'interaction avec le transport optimal de masse. Je terminerai mon exposé avec une présentation de quelques problèmes ouvert et questions qui nous nous intéresse, en particulier pour l'étude du mouvement de dune.

Dans cet exposé, je présenterai une nouvelle approche aux méthodes Volumes Finis d'ordre très élevé pour les systèmes de lois de conservation que j'ai développée durant ma thèse. Dénommée MOOD pour Multi-dimensional Optimal Order Detection, elle se base sur un traitement a posteriori (par décrémentation locale de l'ordre du schéma) des problèmes numériques engendrés par l'ordre élevé (phénomènes de Gibbs, création de valeurs non physiques...) contrastant ainsi avec les limitations a priori des méthodes classiques MUSCL ou WENO. Cette approche permet d'obtenir facilement des propriétés qui sont habituellement difficiles à prouver dans le cadre multi-dimensionel non-structuré (préservation de la positité par exemple). Pour finir je montrerai un ensemble de tests numériques 2D et 3D qui ont démontré la qualité de la méthode MOOD et son gain en termes de ressources informatiques (CPU et mémoire) par rapport aux méthodes déjà existantes.