Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Les plasmas magnétiques peuvent être décrit au niveau cinétique par le système d'équations de Vlasov-Maxwell, modèle très coûteux à résoudre numériquement car il prend en compte les différentes échelles de la magnéto-hydrodynamique. Nous présenterons et nous étudierons dans cet exposé un modèle simplifié de ces équations, qui garde la précision de la description cinétique pour les ions ainsi que l'effet Hall des équations de Maxwell.

Dans cet exposé, nous introduisons une notion de quantile multivarié qui n'est pas basée sur une M-estimation globale mais une M-estimation directionnelle. Ceci est aussi une généralisation du quantile univarié. Nous nous intéresserons ensuite au quantile empirique associé qui présente de bonnes propriétés géométriques. Puis nous établirons une loi des grands nombres uniforme, un théorème central limite, ainsi qu'un principe d'invariance forte et enfin une généralisation du théorème de Bahadur-Kiefer au cas multivarié.

We consider the problem of statistical learning when we observe a contaminated sample. We state minimax fast rates of convergence in classification with errors in variables for deconvolution empirical risk minimizers. These rates depend on the ill-posedness, the margin and the complexity of the problem. The cornerstone of the proof is a bias variance decomposition of the excess risk. After that, we investigate the problem of adaptation to the unknown smoothness. We introduce a new selection rule called ERC (Empirical Risk Comparison), that allows us to obtain adaptive fast rates of convergence in noisy clustering. The method is based on the Lepski's procedure, where empirical risks associated with different bandwidths are compared. This adaptive rule can be used in many statistical problems of M-estimation, where the empirical risk depends on a nuisance parameter.

Les travaux présentés ici s'inscrivent dans une démarche d'amélioration d'un schéma existant pour les équations de Navier-Stokes à masse volumique variable sur des maillages non structurés, pour qu'il satisfasse les propriétés suivantes: le contrôle de l'énergie cinétique et la précision pour des écoulements à convection dominante. On commencera par présenter le schéma de départ, à savoir une méthode à pas fractionnaires (correction de pression) discrétisée en espace par l'élément fini de Rannacher-Turek. Après avoir mis en évidence les défauts de ce schéma sur plusieurs cas tests, on répondra à la problématique. Tout d'abord, on présentera un schéma de type Crank-Nicolson et on montrera que la dissipation numérique est réduite grâce à cette discrétisation. Ensuite, on présentera la construction d'un schéma basé sur l'enrichissement de l'espace discret pour la pression. Enfin, on illustrera les capacités des schémas proposés.

A partir d'un modèle cinétique de chimiotactisme, on établit un système qui, contrairement aux équations de Keller-Segel, comporte une équation d'advection. Les phénomènes de concentration apparaissent ici sous forme de solutions à valeurs mesures (les agrégats sont des masses de Dirac). On discutera les problèmes d'analyse mathématique que cela pose ainsi que les solutions théoriques possibles. On pourra aborder également la discrétisation de ces équations.

Cet exposé traite le problème de l'estimation d'une spline cubic dont les valeurs sur les noeuds sont bruitées. On propose des estimateurs basés sur la régression linéaire par la norme l1 (appelée aussi les moindres déviations (MD)). Contrairement à la régression linéaire par la norme l2, les (MD) ne peuvent être obtenus qu'à l'aide d'un algorithme. L'état de l'art des algorithmes qui calculent les (MD) sera donné dans cet exposé.

La simulation des performances énergétiques ne parvient généralement pas à prédire l’efficacité énergétique réelle du bâtiment. Cet écart entre la prédiction et la situation réelle est en partie dû aux incertitudes importantes présentes dans les données d’entrée de ces outils de simulation. Ces erreurs sont particulièrement importantes dans le cas des bâtiments existants, pour lesquels la quantité d’information sur les caractéristiques physiques est faible. Cependant, l’efficacité de la réhabilitation de ces ouvrages est conditionnée par la connaissance précise du bâtiment. Celle-ci peut s’obtenir de manière non intrusive grâce à la calibration de modèles numériques par des mesures in situ. De nombreux travaux ont analysé l’utilisation de techniques d’identification pour calibrer des modèles. Nous étudions l’utilisation de ces techniques afin de fournir une procédure d’audit énergétique apportant une aide conséquente dans le choix des opérations à effectuer lors de la réhabilitation.

L’identification de paramètres et d’états permet de déterminer les sources de chaleur ainsi que les propriétés intrinsèques du bâtiment à partir d’observations partielles de l’état thermique de l’ouvrage. D’après la théorie du contrôle optimal, cela se formule mathématiquement comme un problème de minimisation dans lequel les inconnues sont les arguments qui minimisent une fonction objectif évaluant la différence entre les mesures et la réponse d’un modèle mathématique du bâtiment. Dans cette étude, nous utilisons la modélisation multizone nodale standard pour la température de l’air, et des équations aux dérivées partielles pour le flux thermique de l’enveloppe. De tels problèmes sont mal posés au sens de Hadamard, ce qui signifie que leur solution, lorsqu’elle existe et est unique, ne dépend pas de manière continue des données. Afin d’obtenir un schéma numérique stable, il faut introduire de la régularisation. Nous utilisons la régularisation de Tikhonov, qui consiste à ajouter un terme à la fonction objectif pour améliorer la convexité et obtenir ainsi un problème bien posé. La minimisation s’effectue par un algorithme de descente de gradient, et ce gradient est calculé par la méthode de l’état adjoint. Cette méthode permet d’obtenir le gradient en résolvant un problème ayant la même structure que le problème direct de modélisation du bâtiment. Cela signifie que les mêmes outils peuvent être utilisés pour les deux calculs. De plus, l’état adjoint donne automatiquement une analyse de sensibilité locale complète du modèle.

Les propriétés thermiques des parois et les débits d’infiltration sont des variables importantes dans le bilan thermique du bâtiment. Il est donc important d’avoir accès à des mesures précises pour ces grandeurs. Cependant, les techniques utilisées pour obtenir ces paramètres sont habituellement onéreuses et difficiles à mettre en place. Nous nous intéressons ici à l’identification des conductivités thermiques et du débit d’infiltration à partir de simples mesures de température. Nous présentons des résultats numériques mettant en évidence la performance de cette approche. Pour simplifier l’exposé, nous illustrons notre méthode sur un cas test de bâtiment composé d’une seule pièce.