Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Nous nous intéressons à la résolution d’équations de diffusion anisotropes elliptiques ou paraboliques par des méthodes de type Volumes Finis. Les dernières années ont vu se développer de nombreuses méthodes linéaires, c’est à dire consistant à résoudre un système linéaire lorsque le problème est linéaire. Ces méthodes ont toute le défaut de ne pas préserver certaines propriétés fondamentales du problème continu, comme le principe du maximum où la décroissance de certaines entropies d’intérêt. Cela pousse donc à considérer des méthodes non-linéaires. Deux familles de méthodes seront discutées: i) une première, consistant à corriger un schéma donné par des termes non-linéaires ad hoc afin d’imposer des propriétés de monotonie; ii) une seconde, consistant à discrétiser une équation reformulée du problème permettant d’assurer la décroissance au niveau discret d’entropies bien choisie, assurant la positivité de la solution.

Ce travail est le fruit d’une collaboration avec M. Cathala, C. Guichard et Ch. Le Potier.

Les plasmas magnétiques peuvent être décrit au niveau cinétique par le système d'équations de Vlasov-Maxwell, modèle très coûteux à résoudre numériquement car il prend en compte les différentes échelles de la magnéto-hydrodynamique. Nous présenterons et nous étudierons dans cet exposé un modèle simplifié de ces équations, qui garde la précision de la description cinétique pour les ions ainsi que l'effet Hall des équations de Maxwell.

Dans cet exposé, nous introduisons une notion de quantile multivarié qui n'est pas basée sur une M-estimation globale mais une M-estimation directionnelle. Ceci est aussi une généralisation du quantile univarié. Nous nous intéresserons ensuite au quantile empirique associé qui présente de bonnes propriétés géométriques. Puis nous établirons une loi des grands nombres uniforme, un théorème central limite, ainsi qu'un principe d'invariance forte et enfin une généralisation du théorème de Bahadur-Kiefer au cas multivarié.

We consider the problem of statistical learning when we observe a contaminated sample. We state minimax fast rates of convergence in classification with errors in variables for deconvolution empirical risk minimizers. These rates depend on the ill-posedness, the margin and the complexity of the problem. The cornerstone of the proof is a bias variance decomposition of the excess risk. After that, we investigate the problem of adaptation to the unknown smoothness. We introduce a new selection rule called ERC (Empirical Risk Comparison), that allows us to obtain adaptive fast rates of convergence in noisy clustering. The method is based on the Lepski's procedure, where empirical risks associated with different bandwidths are compared. This adaptive rule can be used in many statistical problems of M-estimation, where the empirical risk depends on a nuisance parameter.

Les travaux présentés ici s'inscrivent dans une démarche d'amélioration d'un schéma existant pour les équations de Navier-Stokes à masse volumique variable sur des maillages non structurés, pour qu'il satisfasse les propriétés suivantes: le contrôle de l'énergie cinétique et la précision pour des écoulements à convection dominante. On commencera par présenter le schéma de départ, à savoir une méthode à pas fractionnaires (correction de pression) discrétisée en espace par l'élément fini de Rannacher-Turek. Après avoir mis en évidence les défauts de ce schéma sur plusieurs cas tests, on répondra à la problématique. Tout d'abord, on présentera un schéma de type Crank-Nicolson et on montrera que la dissipation numérique est réduite grâce à cette discrétisation. Ensuite, on présentera la construction d'un schéma basé sur l'enrichissement de l'espace discret pour la pression. Enfin, on illustrera les capacités des schémas proposés.

A partir d'un modèle cinétique de chimiotactisme, on établit un système qui, contrairement aux équations de Keller-Segel, comporte une équation d'advection. Les phénomènes de concentration apparaissent ici sous forme de solutions à valeurs mesures (les agrégats sont des masses de Dirac). On discutera les problèmes d'analyse mathématique que cela pose ainsi que les solutions théoriques possibles. On pourra aborder également la discrétisation de ces équations.

Cet exposé traite le problème de l'estimation d'une spline cubic dont les valeurs sur les noeuds sont bruitées. On propose des estimateurs basés sur la régression linéaire par la norme l1 (appelée aussi les moindres déviations (MD)). Contrairement à la régression linéaire par la norme l2, les (MD) ne peuvent être obtenus qu'à l'aide d'un algorithme. L'état de l'art des algorithmes qui calculent les (MD) sera donné dans cet exposé.