Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Cet exposé traite le problème de l'estimation d'une spline cubic dont les valeurs sur les noeuds sont bruitées. On propose des estimateurs basés sur la régression linéaire par la norme l1 (appelée aussi les moindres déviations (MD)). Contrairement à la régression linéaire par la norme l2, les (MD) ne peuvent être obtenus qu'à l'aide d'un algorithme. L'état de l'art des algorithmes qui calculent les (MD) sera donné dans cet exposé.

La simulation des performances énergétiques ne parvient généralement pas à prédire l’efficacité énergétique réelle du bâtiment. Cet écart entre la prédiction et la situation réelle est en partie dû aux incertitudes importantes présentes dans les données d’entrée de ces outils de simulation. Ces erreurs sont particulièrement importantes dans le cas des bâtiments existants, pour lesquels la quantité d’information sur les caractéristiques physiques est faible. Cependant, l’efficacité de la réhabilitation de ces ouvrages est conditionnée par la connaissance précise du bâtiment. Celle-ci peut s’obtenir de manière non intrusive grâce à la calibration de modèles numériques par des mesures in situ. De nombreux travaux ont analysé l’utilisation de techniques d’identification pour calibrer des modèles. Nous étudions l’utilisation de ces techniques afin de fournir une procédure d’audit énergétique apportant une aide conséquente dans le choix des opérations à effectuer lors de la réhabilitation.

L’identification de paramètres et d’états permet de déterminer les sources de chaleur ainsi que les propriétés intrinsèques du bâtiment à partir d’observations partielles de l’état thermique de l’ouvrage. D’après la théorie du contrôle optimal, cela se formule mathématiquement comme un problème de minimisation dans lequel les inconnues sont les arguments qui minimisent une fonction objectif évaluant la différence entre les mesures et la réponse d’un modèle mathématique du bâtiment. Dans cette étude, nous utilisons la modélisation multizone nodale standard pour la température de l’air, et des équations aux dérivées partielles pour le flux thermique de l’enveloppe. De tels problèmes sont mal posés au sens de Hadamard, ce qui signifie que leur solution, lorsqu’elle existe et est unique, ne dépend pas de manière continue des données. Afin d’obtenir un schéma numérique stable, il faut introduire de la régularisation. Nous utilisons la régularisation de Tikhonov, qui consiste à ajouter un terme à la fonction objectif pour améliorer la convexité et obtenir ainsi un problème bien posé. La minimisation s’effectue par un algorithme de descente de gradient, et ce gradient est calculé par la méthode de l’état adjoint. Cette méthode permet d’obtenir le gradient en résolvant un problème ayant la même structure que le problème direct de modélisation du bâtiment. Cela signifie que les mêmes outils peuvent être utilisés pour les deux calculs. De plus, l’état adjoint donne automatiquement une analyse de sensibilité locale complète du modèle.

Les propriétés thermiques des parois et les débits d’infiltration sont des variables importantes dans le bilan thermique du bâtiment. Il est donc important d’avoir accès à des mesures précises pour ces grandeurs. Cependant, les techniques utilisées pour obtenir ces paramètres sont habituellement onéreuses et difficiles à mettre en place. Nous nous intéressons ici à l’identification des conductivités thermiques et du débit d’infiltration à partir de simples mesures de température. Nous présentons des résultats numériques mettant en évidence la performance de cette approche. Pour simplifier l’exposé, nous illustrons notre méthode sur un cas test de bâtiment composé d’une seule pièce.

L’objet de cette communication est de présenter une nouvelle technique pour l’estimation de la fonction de régression dans un cadre univarié et lorsque celle-ci est à variation bornée. Partant du résultat selon lequel une telle fonction se décompose en la somme d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante, l’idée est de combiner deux méthodes classiques en statistique non paramétrique : la régression isotonique d’une part, l’estimation des modèles additifs de l’autre. Plus précisément, la méthode consiste à itérer la régression isotonique selon l’algorithme backfitting. On dispose ainsi à chaque itération d’un estimateur de la fonction de régression résultant de la somme d’une partie croissante et d’une partie décroissante. Nous illustrerons tout d’abord le comportement de l’estimateur lorsque le nombre de points est fixé. On montrera en particulier que le fait d’itérer l’algorithme tend à reproduire les données. On verra également comment l’égalité de l’algorithme avec celui consistant à itérer la régression isotonique selon un algorithme de type réduction itérée du biais permet d’identifier les limites individuelles des séquences croissante et décroissante. Nous présenterons ensuite le résultat de consistance qui a été obtenu. Dans une seconde partie, nous nous pencherons sur l’étude pratique de l’estimateur. Comme augmenter le nombre d’itérations conduit au sur-ajustement, il n’est pas souhaitable d’itérer la méthode jusqu’à la convergence. Nous verrons en particulier comment adapter, à notre cadre non linéaire, des critères usuellement employés dans le cadre des méthodes linéaires de lissage (AIC, BIC,...). L’étude pratique montrant un comportement intéressant lorsque la fonction de régression possède des points de rupture, nous appliquerons l’algorithme à des données réelles de type puces CGH où la détection de ruptures est d’un intérêt crucial.

En physiques des plasmas, le transport des électrons peut être décrit par des modèles cinétiques ou des modèles fluides. Cependant chacune de ces méthodes présente des désavantages et ne peut être considéré pour des applications concrètes pour la fusion par confinement inertiel. C'est pour cela que nous proposons un nouveau modèles qui est intermédiaire entre ces deux descriptions. Plus précisément, la construction de tels modèles est obtenue via une fermeture entropique en angle. Le modèle ainsi construit satisfait aux propriétés fondamentales (positivité de la fonction de distribution, lois de conservation, dissipation de l'entropie,...). Enfin, nous proposons une discrétisation de la variable d'énergie qui soit entropique.

On développe une méthode probabiliste en utilisant des techniques de martingales et d'équations différentielles stochastiques pour établir des estimés de gradient de solutions de certaines EDP semi-linéaires ou quasi-linéaires. On applique notre méthode à l'EDP aux milieux poreux.

Le but est de décrire la loi conditionnelle d'un processus markovien multidimensionnel connaissant la valeur de certaines combinaisons linéaires de ses coordonnées à des instants donnés. La description recherchée consiste à mettre en évidence un processus de même type, facile à simuler, dont la loi est équivalente à la loi conditionnelle ciblée. Une application du résultat pour les diffusions est également proposée dans le cadre de la reconstruction de la dynamique d'un écoulement fluide à partir d'une vidéo.

On s'intéressera dans cet exposé à la simulation numérique de problèmes multi-échelles issus de la physique des plasmas. On présentera notamment un schéma préservant l'asymptotique, basé sur une décomposition micro-macro de la fonction de distribution, pour les équations de Vlasov-BGK-Poisson modélisant un plasma avec collisions. La partie macroscopique (fluide) est résolue par un schéma de volumes finis alors que la partie microscopique (cinétique) est résolue par une méthode Particle-In-Cell (PIC). Cette technique de couplage fluide-cinétique permet d'obtenir un schéma très performant, notamment dans le régime fluide car très peu de particules sont alors suffisantes pour représenter la partie cinétique. On présentera également un couplage entre un schéma préservant l'asymptotique (2D) et son modèle limite (1D) pour une équation elliptique modélisant le plasma ionosphérique. La réduction de la dimension dans une partie du domaine permet une diminution du temps de calcul.