Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Ce travail de thèse, en collaboration avec l’équipe de S. Valitutti (INSERM), étudie des propriétés probabilistes et statistiques de la dynamique entre des cellules immunitaires (Lymphocytes T Cytotoxiques, CTL) et un nodule tumoral. Etant difficile pour les biologistes de reproduire in vitro l’interaction CTL/nodule, nous proposons un modèle agent centré pour modéliser cette interaction. Par des simulations numériques, deux paramètres se sont révélés importants dans la réponse immunitaire : i) le déplacement des CTL, les diriger vers le nodule améliore l’efficacité des CTL ; ii) le nombre de cellules tumorales éliminées par un seul CTL, plus ce nombre est grand plus la réponse est efficace. Nous proposons un système d’EDO pour en déduire le comportement d’un nodule tumoral soumis, ou non, à une immunothérapie qui consiste à attirer les CTL vers le nodule. Puis, nous suggérons un modèle de mélange de lois de Poisson pour décrire le nombre de cellules cibles éliminées par un CTL.

On s'intéresse ici à l'approximation du problème de Stokes 2D par la méthode Discrete Duality Finite Volume (DDFV). Cette méthode de volumes finis (qui généralise le schéma MAC) a notamment pour avantages de pouvoir s'adapter aisément à des maillages quelconques ou à des écoulements bi-fluides, tout en conservant au plan discret les propriétés principales des opérateurs différentiels mis en jeu. Plus précisément, on étudie d'un point de vue théorique et numérique la stabilité Inf-Sup de ce schéma pour différents types de maillages, en particulier non conformes.

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La méthode des moindres carrés partiels aussi appelée PLS est très utilisée de nos jours pour la prédiction en régression multivariée, notamment lorsque l'on a de fortes corrélations au sein des variables explicatives ou lorsque ces dernières dépassent en nombre les observations que l'on a à disposition. La PLS est une méthode de réduction de dimension astucieuse qui cherche à résoudre le problème de multicollinéarité en créant de nouvelles variables latentes qui maximisent la variance des variables initiales tout en restant optimales pour la prédiction. Si la PLS se révèle être un outil très utile et puissant dans de nombreux domaines, elle n'en reste pas moins une procédure complexe et peu de ses propriétés théoriques sont connues. Dans cet exposé, je vous présenterai une nouvelle façon de considérer la PLS basée sur les liens étroits qu'elle a avec des polynômes orthogonaux particuliers que j'expliciterai et que nous appellerons par la suite polynômes résiduels. La théorie des polynômes orthogonaux nous permettra ensuite de donner une expression analytique explicite pour ces polynômes résiduels. Nous verrons que cette expression montre clairement de quelle façon l'estimateur PLS dépend du signal et du bruit. A la suite de quoi, nous montrerons la puissance de cette nouvelle approche dans l'analyse des propriétés statistiques de la PLS en établissant de nouveaux résultats sur son risque empirique et son erreur quadratique moyenne de prédiction. Nous évoquerons aussi certaines propriétés de seuillage de cet estimateur et ses liens avec le gradient conjugué. Nous conclurons enfin en montrant comment l'approche par polynômes orthogonaux fournit un cadre unifié permettant de retrouver directement des propriétés déjà connues de la PLS mais démontrées par des approches diverses et différentes de la notre.

Le problème de la répartition optimale de matériaux élastiques au sein d'une structure fixe a longtemps été au coeur des préoccupations en conception de structures, et a motivé l'élaboration d'outils mathématiques nouveaux (par exemple, en homogénéisation). Dans cet exposé, on s'intéresse à l'impact de la géométrie de l'interface entre plusieurs phases aux propriétés élastiques différentes sur la performance de la structure globale. L'un des problèmes majeurs est que les dérivées de formes impliquées font intervenir les sauts de quantités discontinues à travers cette interface, qui sont très difficiles à évaluer numériquement avec précision. Pour pallier cette difficulté, on propose un modèle approché, où l'interface "sèche" entre les différents matériaux est "étalée" en une bande d'épaisseur fixe (et petite). Ce changement de point de vue s'appuie sur l'utilisation de la fonction de distance signée, et implique l'étude de sa dépendance par rapport au domaine lui-même. Bien que plus complexe au premier abord, ce nouveau modèle donne lieu à des dérivées de formes plus faciles à utiliser en pratique. On peut montrer qu'il est consistant avec son pendant à "interface sèche". De plus, ce modèle jouit d'un intérêt propre, par exemple pour la modélisation d'interfaces non monotones. Plusieurs exemples numériques sont proposés, qui permettent d'évaluer les performance de l'analyse présentée. Il s'agit d'un travail en collaboration avec G. Allaire (CMAP), G. Delgado (CMAP & EADS) et G. Michailidis (CMAP & Renault).

Ce travail est essentiellement consacré aux problèmes de stabilité liés au développement de schémas numériques associés à deux modèles d’écoulement classiques. Dans un premier temps nous détaillons la construction d’une approche Volumes Finis pour le système Shallow Water avec termes sources sur maillages non structurés. En se basant sur une reformulation appropriée des équations, nous mettons en place un schéma équilibré et préservant la positivité de la hauteur d’eau, et suggérons une extension MUSCL adaptée. Le schéma est capable de gérer des topographies irrégulières et exhibe de fortes propriétés de stabilité. Nous proposons ensuite son extension aux approches Elements Finis type Galerkin discontinu. L’inclusion des termes de friction est aussi évoquée. Des résultats numériques sont exposés et la méthode se révèle bien adaptée à la description d’une large variété d’écoulements. Partant de ces observations nous proposons finalement d’exploiter ces caractéristiques pour étendre l’approche à une nouvelle famille d’équations type Green-Naghdi. Des validations numériques sont également proposées pour valider le modèle numérique.

Afin de développer de nouveaux schémas numériques préservant l’asymptotique pour des équations cinétiques en régimes hyperbolique ou diffusif, il est intéressant d’appliquer la technique d’intégration projective introduite par Gear et Kevrekidis pour des grands systèmes différentiels apparaissant en chimie. Après avoir introduit l’intégration projective pour les équations cinétiques, j’exposerai notamment une méthode pour la montée en ordre de ces schémas.

Au cours de cet exposé, je présenterai une propriété d'hypercoercivité non-linéaire en mécanique des fluides. Je montrerai que sous cet objet mathématique se cache la présence de deux vitesses et d'une fraction de mélange $\kappa$. Cela permettra notamment de démontrer le caractère bien posé globalement en temps pour des systèmes de type faible nombre de Mach ou pour Navier-Stokes compressible avec viscosité dégénérée. Je discuterai également de plusieurs extensions de ces résultats. Cet exposé est le fruit de collaborations avec B. Desjardins, V. Giovangigli et E. Zatorska.