Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Ce travail est essentiellement consacré aux problèmes de stabilité liés au développement de schémas numériques associés à deux modèles d’écoulement classiques. Dans un premier temps nous détaillons la construction d’une approche Volumes Finis pour le système Shallow Water avec termes sources sur maillages non structurés. En se basant sur une reformulation appropriée des équations, nous mettons en place un schéma équilibré et préservant la positivité de la hauteur d’eau, et suggérons une extension MUSCL adaptée. Le schéma est capable de gérer des topographies irrégulières et exhibe de fortes propriétés de stabilité. Nous proposons ensuite son extension aux approches Elements Finis type Galerkin discontinu. L’inclusion des termes de friction est aussi évoquée. Des résultats numériques sont exposés et la méthode se révèle bien adaptée à la description d’une large variété d’écoulements. Partant de ces observations nous proposons finalement d’exploiter ces caractéristiques pour étendre l’approche à une nouvelle famille d’équations type Green-Naghdi. Des validations numériques sont également proposées pour valider le modèle numérique.

Afin de développer de nouveaux schémas numériques préservant l’asymptotique pour des équations cinétiques en régimes hyperbolique ou diffusif, il est intéressant d’appliquer la technique d’intégration projective introduite par Gear et Kevrekidis pour des grands systèmes différentiels apparaissant en chimie. Après avoir introduit l’intégration projective pour les équations cinétiques, j’exposerai notamment une méthode pour la montée en ordre de ces schémas.

Au cours de cet exposé, je présenterai une propriété d'hypercoercivité non-linéaire en mécanique des fluides. Je montrerai que sous cet objet mathématique se cache la présence de deux vitesses et d'une fraction de mélange $\kappa$. Cela permettra notamment de démontrer le caractère bien posé globalement en temps pour des systèmes de type faible nombre de Mach ou pour Navier-Stokes compressible avec viscosité dégénérée. Je discuterai également de plusieurs extensions de ces résultats. Cet exposé est le fruit de collaborations avec B. Desjardins, V. Giovangigli et E. Zatorska.

We consider the regression model\begin{equation} Y_{i}=g(x_i)+\varepsilon _{i},\,\,\,\,i=0,1,2...,n, \end{equation}where the regression function derivative has a jump point at an unknown position $\theta .$ We propose a nonparametric Kernel-based estimator of the jump location $\theta .$ Assume that $\sup_{\left| i-j\right| \geq k}\left| Cov\left( \varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\right) \right|\leq Ck^{-\rho }$ for $0<\rho \leq 1.$ Under very general conditions, we prove the $(nh)^{\frac{-\rho}{2}}$ convergence rate of the estimator, where $h$ is the window of the kernel. This includes short-range dependent as well as long-range dependent and even non-stationary errors. Finally, we gives conditions on the windows $h$ to obtain the best rate of convergence. The obtained rate is known to be optimal for i.i.d. errors as well as for LRD errors

Cette présentation porte sur les équations gyro-cinétiques et traite un développement rigoureux des limites de l'équation de Vlasov avec différents opérateurs de collision dans un champ magnétique fort, ainsi que du développement de méthodes numériques basées sur une décomposition micro-macro de la fonction de distribution des particules.

We present a discretization strategy for compressible fluids systems for unstrutctured grids based a Lagrange-Remap approach that does not involve any moving mesh. We present the stability properties of this solver and present a natural semi-implicit extension of the method that allows to remain stable under a CFL condition involving only the material velocity. We present another modification of the solver that allows to provide an accurate and stable solver for simulation involving low-Mach regions in the flow. This work is a collaboration with Christophe CHALONS and Mathieu GIRARDIN.

Un certain nombre d'équations aux dérivées partielles stochastiques très singulières présentent des problèmes dans leur définition même. C'est le cas, entre autres, de l'équation de KPZ, mais aussi de l'équation de quantisation stochastique en dimension 3. Les méthodes classiques d'analyse ne permettent pas de définir cette équation, et il s'avère que pour lui donner un sens, il est nécessaire de soustraire un constante infinie et de considérer formellement un nouveau problème. La théorie des distributions paracontrolées, qui combine des idées de la théorie des chemins rugueux avec la décomposition de Paley-Littlewood et le paraproduit, est un bon cadre pour donner un sens à cette renormalisation, et résoudre (localement) cette équation.

Dans une première partie nous introduirons donc la notion de distributions paracontrolées, et dans une deuxième partie, nous montrerons comment cette théorie peut s'appliquer à l'équation de quantisation stochastique en dimension 3.

Chemotaxis is the phenomenon in which cells direct their motion according to a chemical present in their environment. Since experimental observations have shown that the motion of bacteria (e.g. Escherichia Coli) is due to the alternation of 'runs and tumbles', mathematical modelling thanks to a kinetic description has been proposed. The starting point of the study is the so-called Othmer-Dunbar-Alt model governing the dynamics of the distribution function of cells. From this system, macroscopic model can be derived after rescaling. When the taxis is small compared to the unbiased movement of cells, the scaling must be of diffusive type.