Séminaire de mathématiques appliquées (archives)

Le système de magnétohydrodynamique (MHD) décrit l'évolution d'un gaz chargé qui interagit avec un champ magnétique. Pour étudier une fine couche de l'atmosphère du soleil, la tachocline, il est nécessaire d'utiliser un modèle simplifié, le système shallow water MHD est alors pertinent. On verra comment développer une méthode numérique pour approcher les solutions faibles de ce système, et démontrer qu'elle est précise et robuste.

Le recuit simulé est un algorithme d'optimisation stochastique, basé sur la convergence à l'équilibre de dynamiques markoviennes. Pour calibrer ses paramètres, il est nécessaire de quantifier la vitesse de cette convergence, ce qui soulève quelques difficultés dès lors que pour des raisons pratiques on souhaite que le processus soit cinétique ou déterministe par morceaux. On verra comment concilier d'une part les arguments classiques concernant le recuit et d'autre part les méthodes dite hypocoercives pour traiter deux cas, la diffusion hamiltonienne de Langevin et le processus de Run & Tumble.

Le but de nos travaux est de proposer une nouvelle démonstration du théorème central limite pour des variables aléatoires réelles indépendantes identiquement distribuées, ou de manière plus précise, un théorème à la Berry-Esseen qui mesure la vitesse de convergence dans le TCL pour une certaine distance entre mesures de probabilités. L'originalité de ce travail est de tirer profit de la structure markovienne sous-jacente au cadre du TCL.

La procédure LOL (Learning Out Of Leaders) permet de résoudre des problèmes de régression en grande dimension, sans phase d’optimisation. Cette procédure, extrêmement simple, est composée de deux seuillages successifs. Le premier seuillage induit une réduction de dimension en sélectionnant les covariables potentiellement intéressantes pour le modèle de régression. Le deuxième seuillage sélectionne les coefficients du modèle à retenir. Sous des conditions de sparsité et de cohérence, cette procédure est consistante et les vitesses de convergence peuvent être calculées. Pour faciliter l'utilisation de cette procédure, une heuristique permettant la calibration des seuils théoriques est conjointement proposée.

Dans le cadre d’une collaboration entre le LPMA et RTE, nous avons appliqué cette procédure à la modélisation fonctionnelle des signaux de consommation électrique. Nous montrons qu’un ajustement parcimonieux des signaux de consommation offre des propriétés intéressantes dans un cadre de prévision.

Références: M. Mougeot, D. Picard, and K. Tribouley. Learning out of leaders. J. R. Stat. Soc. Ser. B Stat. Methodol., 74 :1{39, 2012.

M. Mougeot, D. Picard, and K. Tribouley. Sparse approximation and fit of intraday load curves in a high dimensional framework. Advances in Adaptive Data Analysis, 5,4 :1-23, 2013.

M. Mougeot, D. Picard, V Lefieux, and L Maillard-Teyssier. Forecasting intra day load curves using sparse functional regression. Modeling and Stochastic Learning for Forecasting in High Dimension, (in press).

Dans cet exposé, nous montrons que l'erreur (en norme L1) entre la solution exacte de l'équation de transport et son approximation par le schéma upwind est d'ordre h\sqrt{h}, où h est la taille typique d'une maille. La nouveauté de ce résultat est qu'on se place sur un demi-espace et non sur Rn\mathbb{R}^n tout entier, et qu'on a donc, en plus de la donnée initiale, une donnée au bord sur la partie du bord où le champs de vitesse est rentrant. Nous étendons à ce cas le résultat de convergence optimal à l'ordre 1/2 établi par Merlet et Vovelle, en gardant des conditions assez générales sur le maillage (régulier mais pas cartésien), sur les données initiale et au bord (seulement BV) et sur le champs de vitesse. Ce dernier est supposé à divergence nulle et lipschitzien en espace, mais peut varier discontinument en temps. La présence d'un bord complique singulièrement l'analyse de convergence, en particulier parce que la solution exacte est moins régulière que dans le cas de l'espace tout entier. Je présenterai la structure de la preuve et les résultats nouveaux sur la solution exacte qui permettent de conclure. Ceci est un travail avec Franck Boyer (IMT).

La simulation numérique d'une équation d'advection par des schémas classiques de type volumes finis engendre souvent des artéfacts conduisant à des effets de diffusion numérique ou d'oscillation qui peuvent dénaturer le profil asymptotique des solutions cherchées. Pour éviter ou réduire ces artéfacts numériques, des schémas ayant la propriété anti-dissipative ou la propriété non-oscillante peuvent être utilisés. C'est dans ce cadre que je présente un schéma hybride dont la motivation première est d'améliorer un schéma anti-dissipatif existant et initialement développé par B. Desprès et F. Lagoutière.

Nous nous intéressons au cadre des modèles de Markov partiellement observés (MMPO) et rappelons quelques modèles populaires de séries temporelles qui rentrent dans cette large catégorie. Dans différents travaux menés avec Randal Douc, Tepmony Sim et Jimmy Olsson, nous nous sommes attachés à établir des résultats assez généraux pour montrer la consistance du maximum de vraisemblance et de la loi a posteriori dans un cadre d'inférence bayésienne. Dans le premier cas, nous proposons une approche générale qui s'applique à la diversité des modèles qui rentrent dans le cadre des MMPO, dont beaucoup d'entre eux ont déjà été étudiés mais de façon très spécifique. Dans le second cas, nous tentons aussi de fournir une approche assez générale dans un contexte où les travaux existants semblent beaucoup plus rares. Le point central commun entre ces travaux est l'étude du comportement asymptotique de la statistique du rapport de vraisemblance.

I will focus on the existence of BV solutions to scalar conservation laws whose flux may have a non-continuous dependence on the spatial variable x. Our approach is based on the front tracking method. Such models arise in traffic flows. (work in collaboration with B. Piccoli)